高考数学刷刷这常考的十类应用题专项.docx

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高考数学刷刷这常考的十类应用题专项

高考数学：

刷刷这常考的十类应用题专项

2019年1月13日

临近期末考试，为浴血奋战的学子们搜集和整理了一些迎考资料，今天给大家奉上应用题专栏。

源1：

基本不等式之窗格型

题1：

（2012届苏锡常镇二模）如图，已知矩形油画的长为a，宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S.

（1）用x，y，a，b表示S；

（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值.

题2：

（2014届南京高三9月期初）

如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分）．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？

并求出其最大面积.

题3：

（2008届苏锡常镇高三一模）

如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间格栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:

2，此铝合金窗占用墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a，b，铝合金的透光部分的面积为S.

（1）试用a,b表示S；

（2）若要S使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

题4：

（2016届苏州高三指导卷2）

中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图

（1）为一花窗；图

（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．

（1）试用x，y表示L；

（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？

源2：

函数y=a/x^2+b/（c-x）^2型

题5：

（2011连云港一模）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与污染源距离的平方成反比，比例常数为k.现已知相距18km的A、B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两家化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x.

（1）试将y表示为x的函数；

（2）若a=1,x=6时，取得最小值，试求b的值.  

题6：

如图，为相距的两个工厂，以AB的中点为圆心，半径为2km画圆弧,为圆弧上两点，且MA⊥AB，NB⊥AB，在圆弧MN上一点P处建一座学校.学校P受工厂A的噪音影响度与AP的平方成反比，比例系数为1，学校P受工厂B的噪音影响度与BP的平方成反比，比例系数为4.学校P受两工厂的噪音影响度之和为y,且设AP=xkm.

（1）求 y=f（x），并求其定义域；

（2）当AP为多少时，总噪音影响度最小？

题7：

（2012镇江高三一模）一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为k1），与距离的平方成反比（比例系数都为k2），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍.

（1）设乙油井排出的浓度为a（a为常数）度假村P距离甲油井xkm，度假村P受到甲乙两油井的污染程度和记为f（x），求f（x）的表达式并求定义域；

（2）度假村P距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？

题8：

（2009山东高考）两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：

垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论

（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由. 

源3:

分段函数型

题9：

经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：

L）与速度v（单位：

km/h）的关系近似地满足

除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为7.5元/L.

（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；

（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

源4：

三次函数型

题10：

（2015苏北四市期末）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km.地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF（EF与AC相切），E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：

km），△BEF的面积为S（单位：

km2）．

（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？

并说明理由．

源5：

分式函数型

题11：

（2015江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以l1,l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=a/x^2+b（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？

求出最短长度.

源6：

三角函数型

题12：

（2015届苏锡常镇一模）如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.

（1）求烟囱AB的高度；

（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．

源7：

解析几何型

题13：

如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA =10，OB =20，C在O的北偏西45°方向上，CO=5根号2．

（1）求居民区A与C的距离；

（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE =θ（0≤θ <），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．

①求w关于θ的函数表达式；

②求w的最小值及此时的值．

源8：

立体几何型

题14：

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：

米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π/3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）.设该容器的建造费用为y千元.

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的r.

题15：

（2006江苏高考）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

题16：

（苏州2016高二数学统测）如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；

②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．

源9：

经济学利润型

题17：

某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a元（常数a，且2≤a≤5）．设每升产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升．

（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；

（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？

并求出最大值．

源10：

y=asin2x+bsinx（bcosx）型

题19：

（2014苏锡常镇连徐调研

（一））一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC＝θ，木梁的体积为V（单位：

m3），表面积为S（单位：

m2）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求体积V的最大值；

（3）问：

当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？

请说明理由．

题20：

如图，实线部分的月牙形公园是由分别在半径都是2km的圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧构成，点P在圆Q上，点Q在圆P上，现在要在公园里建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

题21：

在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为O）与此公路所在直线L相切于点A，点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q，计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化，设△PAQ的面积为S（单位：

m2），

（1）设∠BOP=α，将S表示为α的函数；

（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

题22：

（2018江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:

3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

源11：

y=asinx+b/ccosx+d形

题23:

（2014苏州暑假调查）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB＝60m，BC＝80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α.

（1）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式；

（2）求排管的最小费用及相应的角α.

题24：

（2014泰州期末）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB＝BD＝l，∠B＝

的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面（C不与A，B重合），且CD可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v.为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．

（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数（用含有v和l的式子表示）；

（2）当t最小时，点C应设计在AB的什么位置？

源12：

同时含有sinx±cosx,sinx·cosx

题25：

已知A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC内种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．

（1）用θ及R表示S1和S2；

（2）求S1/S2的最小值．

题26：

某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．

（1）过点的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点，且与走廊的一边的夹角为θ，将线段AB的长度l表示为θ的函数；

（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？

请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．