北航计算机研究生课程 算法设计与分析Assignment1.docx
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北航计算机研究生课程算法设计与分析Assignment1
一、解：
设第k月的需求量为Nk（k=1,2,3,4）
状态变量Xk：
第k月初的库存量，X1=X5=0，0≤Xk≤Nk+…+N4
决策变量Uk：
第k月的生产量，max{0，Nk-Xk}≤Uk≤min{6，Nk+…+N4-Xk}
状态转移方程：
Xk+1=Uk+Xk–Nk
第k月的成本Vk=0.5*（Xk-Nk）Uk=0
3+Uk+0.5*（Uk+Xk-Nk）Uk≠0
设Fk（Xk）是由第k月初的库存量Xk开始到第4月份结束这段时间的最优成本
则Fk（Xk）=min{Vk+Fk+1（Xk+1）}1≤k≤4
=min{3+Uk+0.5*（Uk+Xk-Nk）+Fk+1（Uk+Xk-Nk）}Uk≠0
min{0.5*（Xk-Nk）+Fk+1（Xk-Nk）}Uk=0
F5（X5）=0
四个月内的最优成本为F1（X1）=F1（0）
详细计算步骤如下：
（1）k=4时
0≤X4≤4，max{0，4-X4}≤U4≤min{6，4-X4}
X4
U4
X5
V4
F5（X5）
V4+F5（X5）
0
4
0
7
0
7=F4（0）
1
3
0
6
0
6=F4
（1）
2
2
0
5
0
5=F4
（2）
3
1
0
4
0
4=F4（3）
4
0
0
0
0
0=F4（4）
即对于状态X4的每个取值，都有唯一确定的决策变量U4使得F4（X4）最优
（2）k=3时
0≤X3≤6，max{0，2-X3}≤U3≤min{6，6-X3}
X3
U3
X4
V3
F4（X4）
V3+F4（X4）
0
2
0
5
7
12
3
1
6.5
6
12.5
4
2
8
5
13
5
3
9.5
4
13.5
6
4
11
0
11=F3（0）
1
1
0
4
7
11
2
1
5.5
6
11.5
3
2
7
5
12
4
3
8.5
4
12.5
5
4
10
0
10=F3
（1）
2
0
0
0
7
7=F3
（2）
1
1
4.5
6
10.5
2
2
6
5
11
3
3
7.5
4
11.5
4
4
9
0
9
3
0
1
0.5
6
6.5=F3（3）
1
2
5
5
10
2
3
6.5
4
10.5
3
4
8
0
8
4
0
2
1
5
6=F3（4）
1
3
5.5
4
9.5
2
4
7
0
7
5
0
3
1.5
4
5.5=F3（5）
1
4
6
0
6
6
0
4
3
0
2=F3（6）
（3）k=2时
0≤X2≤9，max{0，3-X2}≤U2≤min{6，9-X2}
X2
U2
X3
V2
F3（X3）
V2+F3（X3）
0
3
0
6
11
17
4
1
7.5
10
17.5
5
2
9
7
16=F2（0）
6
3
10.5
6.5
17
1
2
0
5
11
16
3
1
6.5
10
16.5
4
2
8
7
15=F2
（1）
5
3
9.5
6.5
16
6
4
11
6
17
2
1
0
4
11
15
2
1
5.5
10
15.5
3
2
7
7
14=F2
（2）
4
3
8.5
6.5
15
5
4
10
6
16
6
5
11.5
5.5
17
3
0
0
0
11
11=F2（3）
1
1
4.5
10
14.5
2
2
6
7
13
3
3
7.5
6.5
14
4
4
9
6
15
5
5
10.5
5.5
16
6
6
12
2
14
4
0
1
0.5
10
10.5=F2（4）
1
2
5
7
13
2
3
6.5
6.5
13
3
4
8
6
14
4
5
9.5
5.5
15
5
6
11
2
13
5
0
2
1
7
8=F2（5）
1
3
5.5
6.5
12
2
4
7
6
13
3
5
8.5
5.5
14
4
6
10
2
12
6
0
3
1.5
6.5
8=F2（6）
1
4
6
6
12
2
5
7.5
5.5
13
3
6
9
2
11
7
0
4
2
6
8=F2（7）
1
5
6.5
5.5
12
2
6
8
2
10
8
0
5
2.5
5.5
8=F2（8）
1
6
7
2
9
9
0
6
3
2
5=F2（9）
（4）k=1时
X1=0，max{0，2}≤U1≤min{6，11}
X1
U1
X2
V1
F2（X2）
V1+F2（X2）
0
2
0
5
16
21
3
1
6.5
15
21.5
4
2
8
14
22
5
3
9.5
11
20.5=F1（0）
6
4
11
10.5
21.5
由以上计算可得，4个月的总最优成本为F1（0）=20.5（千元）
从k=1回溯，可得最优结果中各阶段的状态变量Xk和决策变量Uk如下表：
月份k
产量Uk
月初库存量Xk
需求量Nk
每月成本Vk
1
5
0
2
9.5
2
0
3
3
0
3
6
0
2
11
4
0
4
4
0
二、解：
1、变量设定
阶段k：
已遍历过k个结点，k=1,2…6,7。
K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1
状态变量Xk=（i，Sk）：
已遍历k个结点，当前位于i结点，还未遍历的结点集合为Sk。
则X1=（1，{2,3,4,5,6}），X6=（i，Φ），X7=（1，Φ）
决策变量Uk=（i，j）：
已遍历k个结点，当前位于i结点，下一个结点选择j。
状态转移方程：
Xk+1=T（Xk，Uk）=（j，Sk-{j}）
第k阶段的指标函数Vk=D[i,j]。
最优指标函数Fk（Xk）=Fk（i，Sk）：
已遍历k个结点，当前从i结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。
则Fk（i，Sk）=min{D[i,j]+Fk+1（j，Sk-{j}）}1≤k≤6
F7（X7）=F7（1，Φ）=0
2、分析：
（1）k=6时，F6（i，Φ）=min{D[i,1]+F7（X7）}=D[i,1]i=2,3,4,5,6
X6=（i，Φ）
U6=（i，j）
X7=（1，Φ）
V6=D[i,j]
F7（1，Φ）
V6+F7（X7）
（2，Φ）
（2，1）
（1，Φ）
12
0
12=F6（2,Φ）
（3，Φ）
（3，1）
（1，Φ）
23
0
23=F6（3,Φ）
（4，Φ）
（4，1）
（1，Φ）
34
0
34=F6（4,Φ）
（5，Φ）
（5，1）
（1，Φ）
45
0
45=F6（5,Φ）
（6，Φ）
（6，1）
（1，Φ）
56
0
56=F6（6,Φ）
即k=6时，对于每一种状态X6，都有唯一的决策U6。
（2）k=5时，F5（i，S5）=min{D[i,j]+F6（j，Φ）}i=2,3,4,5,6
X5=（i,S5）
U5=（i,j）
X6=（j,Φ）
V5=D[i,j]
F6（j,Φ）
V5+F6（X6）
（2,{6}}
（2,6）
（6，Φ）
21
56
77=F5（2,{6}）
（2,{5}}
（2,5）
（5，Φ）
25
45
70=F5（2,{5}）
（2,{4}}
（2,4）
（4，Φ）
30
34
64=F5（2,{4}）
（2,{3}}
（2,3）
（3，Φ）
18
23
41=F5（2,{3}）
（3,{6}）
（3,6）
（6，Φ）
15
56
71=F5（3,{6}）
（3,{5}）
（3,5）
（5，Φ）
10
45
55=F5（3,{5}）
（3,{4}）
（3,4）
（4，Φ）
5
34
39=F5（3,{4}）
（3,{2}）
（3,2）
（2，Φ）
19
12
31=F5（3,{2}）
（4,{6}）
（4,6）
（6，Φ）
16
56
72=F5（4,{6}）
（4,{5}）
（4,5）
（5，Φ）
8
45
53=F5（4,{5}）
（4,{3}）
（4,3）
（3，Φ）
4
23
27=F5（4,{3}）
（4,{2}）
（4,2）
（2，Φ）
32
12
44=F5（4,{2}）
（5,{6}）
（5,6）
（6，Φ）
18
56
74=F5（5,{6}）
（5,{4}）
（5,4）
（4，Φ）
10
34
44=F5（5,{4}）
（5,{3}）
（5,3）
（3，Φ）
11
23
34=F5（5,{3}）
（5,{2}）
（5,2）
（2，Φ）
27
12
39=F5（5,{2}）
（6,{5}）
（6,5）
（5，Φ）
12
45
57=F5（6,{5}）
（6,{4}）
（6,4）
（4，Φ）
20
34
54=F5（6,{4}）
（6,{3}）
（6,3）
（3，Φ）
16
23
39=F5（6,{3}）
（6,{2}）
（6,2）
（2，Φ）
22
12
34=F5（6,{2}）
即k=时，对于每一种状态X5，都有唯一决策U5。
（3）k=4时，F4（i,S4）=min（D[i,j]+F5（j,S5））i=2,3,4,5,6
X4=（i,S4）
U4=（i,j）
X5=（j,S5）
V4=D[i,j]
F5（j,S5）
V4+F5（j,S5）
（2,{3,4}）
（2,3）
（3,{4}）
18
39
57=F4（2,{3,4}）
（2,4）
（4,{3}）
30
27
57=F4（2,{3,4}）
（2,{4,5}）
（2,4）
（4,{5}）
30
53
83
（2,5）
（5,{4}）
25
44
69=F4（2,{4,5}）
（2,{5,6}）
（2,5）
（5,{6}）
25
74
99
（2,6）
（6,{5}）
21
57
78=F4（2,{5,6}）
（2,{3,5}）
（2,3）
（3,{5}）
18
55
73
（2,5）
（5,{3}）
25
34
59=F4（2,{3,5}）
（2,{3,6}）
（2,3）
（3,{6}）
18
71
89
（2,6）
（6,{3}）
21
39
60=F4（2,{3,6}）
（2,{4,6}）
（2,4）
（4,{6}）
30
72
102
（2,6）
（6,{4}）
21
54
75=F4（2,{4,6}）
（3,{2,4}）
（3,2）
（2,{4}）
19
64
83
（3,4）
（4,{2}）
5
44
49=F4（3,{2,4}）
（3,{2,5}）
（3,2）
（2,{5}）
19
70
89
（3,5）
（5,{2}）
10
39
49=F4（3,{2,5}）
（3,{2,6}）
（3,2）
（2,{6}）
19
77
96
（3,6）
（6,{2}）
15
34
49=F4（3,{2,6}）
（3,{4,5}）
（3,4）
（4,{5}）
5
53
58
（3,5）
（5,{4}）
10
44
54=F4（3,{4,5}）
（3,{4,6}）
（3,4）
（4,{6}）
5
72
77
（3,6）
（6,{4}）
15
54
69=F4（3,{4,6}）
（3,{5,6}）
（3,5）
（5,{6}）
10
74
84
（3,6）
（6,{5}）
15
57
72=F4（3,{5,6}）
（4,{2,3}）
（4,2）
（2,{3}）
32
41
73
（4,3）
（3,{2}）
4
31
34=F4（4,{2,3}）
（4,{2,5}）
（4,2）
（2,{5}）
32
70
102
（4,5）
（5,{2}）
8
39
47=F4（4,{2,5}）
（4,{2,6}）
（4,2）
（2,{6}）
32
77
109
（4,6）
（6,{2}）
16
34
50=F4（4,{2,6}）
（4,{3,5}）
（4,3）
（3,{5}）
4
55
59
（4,5）
（5,{3}）
8
34
42=F4（4,{3,5}）
（4,{3,6}）
（4,3）
（3,{6}）
4
71
75
（4,6）
（6,{3}）
16
39
55=F4（4,{3,6}）
（4,{5,6}）
（4,5）
（5,{6}）
8
74
82
（4,6）
（6,{5}）
16
57
73=F4（4,{5,6}）
（5,{2,3}）
（5,2）
（2,{3}）
27
41
68
（5,3）
（3,{2}）
11
31
42=F4（5,{2,3}）
（5,{2,4}）
（5,2）
（2,{4}）
27
64
91
（5,4）
（4,{2}）
10
44
54=F4（5,{2,4}）
（5,{2,6}）
（5,2）
（2,{6}）
27
77
104
（5,6）
（6,{2}）
18
34
52=F4（5,{2,6}）
（5,{3,4}）
（5,3）
（3,{4}）
11
39
50
（5,4）
（4,{3}）
10
27
37=F4（5,{3,4}）
（5,{3,6}）
（5,3）
（3,{6}）
11
71
82
（5,6）
（6,{3}）
18
39
57=F4（5,{3,6}）
（5,{4,6}）
（5,4）
（4,{6}）
10
72
82
（5,6）
（6,{4}）
18
54
72=F4（5,{4,6}）
（6,{2,3}）
（6,2）
（2,{3}）
22
41
63
（6,3）
（3,{2}）
16
31
47=F4（6,{2,3}）
（6,{2,4}）
（6,2）
（2,{4}）
22
64
86
（6,4）
（4,{2}）
20
44
64=F4（6,{2,4}）
（6,{2,5}）
（6,2）
（2,{5}）
22
70
92
（6,5）
（5,{2}）
12
39
51=F4（6,{2,5}）
（6,{3,4}）
（6,3）
（3,{4}）
16
39
55
（6,4）
（4,{3}）
20
27
47=F4（6,{3,4}）
（6,{3,5}）
（6,3）
（3,{5}）
16
55
71
（6,5）
（5,{3}）
12
34
46=F4（6,{3,5}）
（6,{4,5}）
（6,4）
（4,{5}）
20
53
73
（6,5）
（5,{4}）
12
44
56=F4（6,{4,5}）
（4）k=3时，F3（i,S3）=min{D[i,j]+F4（j,S4）}i=2,3,4,5,6
X3=（i,S3）
U3=（i,j）
X4=（j,S4）
V3=D[i,j]
F4（j,S4）
V3+F4（j,S4）
（2,{3,4,5}）
（2,3）
（3,{4,5}）
18
54
72
（2,4）
（4,{3,5}）
30
42
72
（2,5）
（5,{3,4}）
25
37
62=F3（2,{3,4,5}）
（2,{3,4,6}）
（2,3）
（3,{4,6}）
18
69
87
（2,4）
（4,{3,6}）
30
55
85
（2,6）
（6,{3,4}）
21
47
68=F3（2,{3,4,6}）
（2,{3,5,6}）
（2,3）
（3,{5,6}）
18
72
90
（2,5）
（5,{3,6}）
25
57
82
（2,6）
（6,{3,5}）
21
46
67=F3（2,{3,5,6}）
（2,{4,5,6}）
（2,4）
（4,{5,6}）
30
73
103
（2,5）
（5,{4,6}）
25
72
97
（2,6）
（6,{4,5}）
21
56
77=F3（2,{4,5,6}）
（3,{2,4,5}）
（3,2）
（2,{4,5}）
19
69
88
（3,4）
（4,{2,5}）
5
47
52=F3（3,{2,4,5}）
（3,5）
（5,{2,4}）
10
54
64
（3,{2,4,6}）
（3,2）
（2,{4,6}）
19
75
94
（3,4）
（4,{2,6}）
5
50
55=F3（3,{2,4,6}）
（3,6）
（6,{2,4}）
15
64
79
（3,{2,5,6}）
（3,2）
（2,{5,6}）
19
78
97
（3,5）
（5,{2,6}）
10
52
62=F3（3,{2,5,6}）
（3,6）
（6,{2,5}）
15
51
66
（3,{4,5,6}）
（3,4）
（4,{5,6}）
5
73
78
（3,5）
（5,{4,6}）
10
72
82
（3,6）
（6,{4,5}）
15
56
71=F3（3,{4,5,6}）
（4,{2,3,5}）
（4,2）
（2,{3,5}）
32
59
91
（4,3）
（3,{2,5}）
4
49
53
（4,5）
（5,{2,3}）
8
42
50=F3（4,{2,3,5}）
（4,{2,3,6}）
（4,2）
（2,{3,6}）
32
60
92
（4,3）
（3,{2,6}）
4
49
53=F3（4,{2,3,6}）
（4,6）
（6,{2,3}）
16
47
63
（4,{2,5,6}）
（4,2）
（2,{5,6}）
32
78
110
（4,5）
（5,{2,6}）
8
52
60=F3（4,{2,5,6}）
（4,6）
（6,{2,5}）
16
51
67
（4,{3,5,6}）
（4,3）
（3,{5,6}）
4
72
76
（4,5）
（5,{3,6}）
8
57
65
（4,6）
（6,{3,5}）
16
46
62=F3（4,{3,5,6}）
（5,{2,3,4}）
（5,2）
（2,{3,4}）
27
57
84
（5,3）
（3,{2,4}）
11
49
60
（5,4）
（4,{2,3}）
10
34
44=F3（5,{2,3,4}）
（5,{2,3,6}）
（5,2）
（2,{3,6}）
27
60
87
（5,3）
（3,{2,6}）
11
49
60=F3（5,{2,3,6}）
（5,6）
（6,{2,3}）
18
47
65
（5,{2,4,6}）
（5,2）
（2,{4,6}）
27
75
102
（5,4）
（4,{2,6}）
10
50
60=F3（5,{2,4,6}）
（5,6）
（6,{2,4}）
18
64
82
（5,{3,4,6}）
（5,3）
（3,{4,6}）
11
69
80
（5,4）
（4,{3,6}）
10
55
65=F3（5,{3,4,6}）
（5,6）
（6,{3,4}）
18
47
65=F3（5,{3,4,6}）
（6,{2,3,4}）
（6,2）
（2,{3,4}）
22
57
79
（6,3）
（3,{2,4}）
16
49
65
（6,4）
（4,{2,3}）
20
34
54=F3（6,{2,3,4}）
（6,{2,3,5}）
（6,2）
（2,{3,5}）
22
59
81
（6,3）
（3,{2,5}）
16
49
65
（6,5）
（5,{2,3}）
12
42
54=F3（6,{2,3,5}）
（6,{2,4,5}）
（6,2）
（2,{4,5}）
22
69
91
（6,4）
（4,{2,5}）
20
47
67
（6,5）
（5,{2,4}）
12
54
66=F3（6,{2,4,5}）
（6,{3,4,5}）
（6,3）
（3,{4,5}）
16
54
70
（6,4）
（4,{3,5}）
20
42
62
（6,5）
（5,{3,4}）
12
37
49=F3（6,{3,4,5}）
（5）k=2时，F2（i,S2）=min{D[i,j]+F3（j,S3）}i=2,3,4,5,6
X2=（i,S2）
U2=（i,j）
X3=（j,S3）
V2=D[i,j]
F3（j,S3）
V2+F3（j,S3）
（2,{3,4,5,6}）
（2,3）
（3,{4,5,6}）
18
71
89
（2,4）
（4,{3,5,6}）
30
62
92
（2,5）
（5,{3,4,6}）
25
65
90
（2,6）
（6,{3,4,5}）
21
49
70=F2（2,{3,4,5,6}）
（3,{2,4,5,6}）
（3,2）
（2,{4,5,6}）
19
77
96
（3,4）
（4,{2,5,6}）
5
60
65=F2（3,{2,4,5,6}）
（3,5）
（5,{2,4,6}）
10
60
70
（3,6）
（6,{2,
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