新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案.docx
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新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案
2014新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案
目录
1.1.1任意角
1.1.2弧度制
1.2.1任意角的三角函数
1.2.2同角的三角函数的基本关系
1.3.1三角函数的诱导公式
（一）
1.3.2三角函数诱导公式
（二）
1.4.1正弦函数,余弦函数的图象
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
1.4.3正切函数的图像与性质
1.5函数的图象
1.6三角函数模型的简单应用
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.4平面向量共线的坐标表示
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.5平面向量应用举例
3.1.1两角差的余弦公式
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式
3.2简单的三角恒等变换
1.1.1任意角
一、教材分析
“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念,它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后,对三角函数有一定的了解的基础上,进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标
1.理解任意角的概念;
2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点
1.判断已知角所在象限;
2.终边相同的角的书写。
四、学情分析
五、教学方法
1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下,学生发现就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用,是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.
2.学案导学:
见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:
预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
七、课时安排:
1课时
八、教学过程
（一）复习引入:
1.初中所学角的概念。
2.实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解:
1.角的定义:
一条射线绕着它的端点,从起始位置旋转到终止位置,形成
一个角,点是角的顶点,射线分别是角的终边、始边。
说明:
在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记为.
2.角的分类:
正角:
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;
负角:
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
零角:
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。
说明:
零角的始边和终边重合。
3.象限角:
在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负轴重合,则
（1）象限角:
若角的终边（端点除外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。
例如:
都是第一象限角;是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）:
如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
例如:
等等。
说明:
角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。
因为
轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4.终边相同的角的集合:
由特殊角看出:
所有与角终边相同的角,连同角
自身在内,都可以写成的形式;反之,所有形如的角都与角的终边相同。
从而得出一般规律:
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,
即:
任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。
说明:
终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。
5.例题分析:
例1在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角?
（1）
（2）（3）
解:
（1）,
所以,与角终边相同的角是,它是第三象限角;
（2）,
所以,与角终边相同的角是角,它是第四象限角;
（3）,
所以,角终边相同的角是角,它是第二象限角。
例2若,试判断角所在象限。
解:
∵
∴与终边相同,所以,在第三象限。
写出下列各边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素
写出来:
（1）;
（2）;（3）.
解:
（1）,
中适合的元素是
（2）,
S中适合的元素是（3）
S中适合的元素是
（三）反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:
引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
（课堂实录）
（四）发导学案、布置预习。
九、板书设计
十、教学反思
以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思:
（1）学生对课堂提问,回答是否积极?
学生能否独立或通过合作探索出问题的结果?
（2）学生处理课堂练习题情况如何?
可能的原因是什么?
（3）教学任务是否完成?
下面我们着重分析一下提问的效果。
在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题1:
任意画一个锐角α,借助三角板,找出sinα的近似值.”和“问题5:
现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢?
”
对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角α,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因,他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。
对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样?
”后,有学生开始尝试回答。
这说明这个问题要求的思维概括水平较高,学生仅利用锐角三角函数的有关知识,难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。
因此,教师必须要提供必要的脚手架。
在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!
十一、学案设计见下页
1.1.1任意角
课前预习学案
一、预习目标
1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性;
3、能用集合和数学符号表示象限角;
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
二、预习内容
1.回忆:
初中是任何定义角的?
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语:
“转体720o”（即转体2周）,“转体1080o”（即转体3周）;再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?
如果慢了5分钟,又该如何校正?
2.角的概念的推广:
?
3.正角、负角、零角概念
4.象限角
思考三个问题:
1.定义中说:
角的始边与x轴的非负半轴重合,如果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么?
2.定义中有个小括号,内容是:
除端点外,请问课本为什么要加这四个字?
3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?
4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
（1）4200;
（2）-750;（3）8550;（4）-5100.
5.终边相同的角的表示
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;
（2）理解任意角以及象限角的概念;
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法;
学习重难点:
重点:
理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点:
把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、学习过程
例1.例1在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.（注:
是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
（三）【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题
（2）补充:
时针经过3小时20分,则时针转过的角度为,分针转过的角度为。
注意:
（1）;
（2）是任意角（正角、负角、零角）;（3）终边相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍.
2.学习小结
你知道角是如何推广的吗?
象限角是如何定义的呢?
3你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?
四当堂检测
1.设,,那么有（?
）.
A.B.C.（）D.
2.用集合表示:
（1）各象限的角组成的集合.
（2）终边落在轴右侧的角的集合.
3.在~间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角
（1）;
（2）;（3）.
3.解:
（1）∵
∴与角终边相同的角是角,它是第三象限的角;
（2）∵
∴与终边相同的角是,它是第四象限的角;
（3）
所以与角终边相同的角是,它是第二象限角.
课后练习与提高
1.若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?
2.下列命题正确的是:
（）（A）终边相同的角一定相等。
（B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。
（D）小于的角都是锐角。
3.若a是第一象限的角,则是第象限角。
4.一角为,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__.
5.集合M=αk,k∈Z中,各角的终边都在（）
A.轴正半轴上,B.轴正半轴上,
C.轴或轴上,D.轴正半轴或轴正半轴上
6.设,
C=α|αk180o+45o,k∈Z,
则相等的角集合为__.
参考答案
1.解:
2小时40分小时,
故分针走过的角为480。
2.C3.一或三45.C6._B=D,C=E
1.1.2弧度制【教学目标】①了解弧度制,能进行弧度与角度的换算②认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题【教学重难点】重点:
了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算难点:
弧度的概念及其与角度的关系【教学过程】
（一）复习引入复习初中学习过的知识:
角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题:
①初中的角是如何度量的?
度量单位是什么?
②1°的角是如何定义的?
弧长公式是什么?
③角的范围是什么?
如何分类的?
（二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
1.自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
1角的弧度制是如何引入的?
2为什么要引入弧度制?
好处是什么?
3弧度是如何定义的?
4角度制与弧度制的区别与联系?
2.学生动手画图来探究:
1平角、周角的弧度数
2角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?
3角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?
3.角度制与弧度制如何换算?
rad1
归纳:
把角从弧度化为度的方法是:
把角从度化为弧度的方法是:
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°90°120°150°270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度:
1
（2）34
解:
1
（2）34
变式练习:
把下列各角从度化为弧度:
122o30′
（2）?
210o31200o解:
1
（2）3
例2、把下列各角从弧度化为度:
（1）23.5324
解:
（1）108o2200.5o3114.6o445o
变式练习:
把下列各角从弧度化为度:
（1）
（2）?
（3）解:
（1）15o
（2）-240o（3）54o
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式:
因为（其中表示所对的弧长）,所以,弧长公式为.
扇形面积公式:
.
说明:
以上公式中的必须为弧度单位.
例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,,求该扇形的面积。
解:
因为2R+2R8,所以R2,S4
变式练习:
1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案:
2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的2倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是4cm2.
4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦的长度为,所对的圆心角
的弧度数为.
课堂小结:
1、弧度制的定义;
2、弧度制与角度制的转换与区别;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;
（四）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。
（五）课后检测
1.在中,若,求A,B,C弧度数。
答案:
ABC
2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?
答案:
3.选做题
如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。
答案:
〖板书设计〗
1.1.2弧度制
（一）复习引入
概念形成例1例2
（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式
例3小结:
1.1.2弧度制
课前预习学案
一、预习目标:
1.了解弧度制的表示方法;
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
角的弧度制是如何引入的?
为什么要引入弧度制?
好处是什么?
弧度是如何定义的?
角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数?
2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?
课内探究学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义;
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算;
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长,为圆半径）;
4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算;
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
（一）复习:
初中时所学的角度制,是怎么规定角的?
角度制的单位有哪些,是多少进制的?
（二）为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制?
?
弧度制。
我们规定叫做1弧度的角,用符号表示,读作。
练习:
圆的半径为,圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少?
思考:
圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:
如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么,角的弧度数的绝对值是:
的正负由决定。
正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是。
说明:
我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或经常省略,即只写一实数表示角的度量。
例如:
当弧长且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是.
（三）角度与弧度的换算
rad1
归纳:
把角从弧度化为度的方法是:
把角从度化为弧度的方法是:
试一试:
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°90°120°150°270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度:
1
（2）34
变式练习:
把下列各角从度化为弧度:
122o30′
（2）?
210o31200o
例2、把下列各角从弧度化为度:
（1）23.5324
变式练习:
把下列各角从弧度化为度:
（1）
（2）?
（3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式:
因为（其中表示所对的弧长）,所以,弧长公式为.
扇形面积公式:
.
说明:
以上公式中的必须为弧度单位.
例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,,求该扇形的面积。
变式练习1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是.
4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦的长度为,所对的圆心角
的弧度数为.
课堂小结:
1、弧度制的定义;
2、弧度制与角度制的转换与区别;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;
（七）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。
课后练习与提高
1.在中,若,求A,B,C弧度数。
2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?
3.选做题
如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。
1.2.1任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法;
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;
（4）掌握并能初步运用公式一;
（5）树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
【教学重难点】
重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;三角函数线的正确理解.
【教学过程】
一、【创设情境】
提问:
锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
;思考:
对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
;;
思考:
上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
1叫做的正弦sine,记做,即;
（2）叫做的余弦cossine,记做,即;
（3）叫做的正切tangent,记做,即.
注意:
当α是锐角时,此定义与初中定义相同（指出对边,邻边,斜边所在）;当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限
角度制弧度制
5.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
其中
6.三角函数线
设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点
过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出:
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
7.例题讲解
例1.已知角α的终边经过点,求α的三个函数制值。
解:
变式训练1:
已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.
解:
,例2.求下列各角的三个三角函数值:
（1）;
（2）;（3）.解:
（1）sin00cos01tan00
（2）（3）变式训练2:
求的正弦、余弦和正切值例3.已知角α的终边过点,求α的三个三角函数值解析:
计算点到原点的距离时应该讨论a的正负变式训练3:
求函数的值域.
解析:
分四个象限讨论.
答案:
2,-2,0例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:
1.与2.tan与tan三、【学习小结】
1本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
2你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
3请写出各三角函数的定义域;
4终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
5三角函数线的做法.
四、【作业布置】
作业:
习题1.2A组第1,2题.
五、【板书设计】1.2.1任意角的三角函数
（一）复习引入
概念形成1.三角函数定义2.三角函数线
（三）例题讲解小结:
1.21任意角的三角函数
课前预习学案
一、预习目标:
1.了解三角函数的两种定义方法;
2.知道三角函数线的基本做法.
二、预习内容:
根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空.
三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）
升级会员 