高一数学第一章知识点总结.docx

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高一数学第一章知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结 

一、集合有关概念 1. 集合的含义 

2. 

集合的中元素的三个特性：

（1） 元素的确定性, 

（2） 元素的互异性, （3） 元素的无序性,  

3.集合的表示：

{ „ } 如：

{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋} 

（1） 用拉丁字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 

（2） 集合的表示方法：

列举法与描述法。

  注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：

N 

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R  

1） 列举法：

{a,b,c„„} 

2） 描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的

方法。

{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 

3） 语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图:

 4、集合的分类：

（1） 有限集   含有有限个元素的集合 

（2） 无限集   含有无限个元素的集合 

（3） 空集     不含任何元素的集合  例：

{x|x2

=－5｝  

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 

注意：

BA有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 

2．“相等”关系：

A=B  （5≥5，且5≤5，则5=5） 

实例：

设  A={x|x2

-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等” 即：

① 任何一个集合是它本身的子集。

AA 

②真子集:

如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或

BA） 

③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB  同时 BA 那么A=B 

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 

规定:

 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

  有n个元素的集合，含有2n

个子集，2n-1

个真子集 

三、集合的运算 

运算类型 

交   集 

并   集 

补   集 

定    义 

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作

AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记

作：

AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB}）． 

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作ACS，即 CSA=},|{AxSxx且 

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韦 恩 图 示 

A

B

图1 

A

B

图2

性        质 

AA=A   AΦ=Φ AB=BA ABA  ABB 

AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB 

（CuA）  （CuB） 

= Cu （AB） （CuA）  （CuB） 

= Cu（AB） A （CuA）=U A （CuA）= Φ． 

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是                                   （   ） A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有      个   

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是          . 

4.设集合A=

12xx，B=

xxa，若AB，则a的取值范围是        

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有      人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=               . 

7.已知集合A={x| x2

+2x-8=0}, B={x| x2

-5x+6=0}, C={x| x2

-mx+m2

-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值   

二、函数的有关概念 

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

 y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A }叫做函数的值域． 注意：

1．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；  

（2）偶次方根的被开方数不小于零；    （3）对数式的真数必须大于零； 

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.   

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零，   

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 

 相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无

关）；②定义域一致 （两点必须同时具备） （见课本21页相关例2） 2．值域 :

 先考虑其定义域 

（1）观察法  

S 

A 

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（2）配方法 （3）代换法 

3. 函数图象知识归纳 

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f（x） , （x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数 y=f（x）,（x ∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上 .  

（2） 画法 

A、 描点法：

 B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1） 平移变换 2） 伸缩变换 3） 对称变换 4．区间的概念 

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间 

（2）无穷区间 

（3）区间的数轴表示． 5．映射 

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作f：

A→B 6.分段函数    

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况． 

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：

复合函数 

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则 y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）  称为f、g的复合函数。

   二．函数的性质 

1.函数的单调性（局部性质） 

（1）增函数 

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

函数的单调性是函数的局部性质； 

（2） 图象的特点 

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法 （A） 定义法：

○

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f（x1）－f（x2）； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）； ○

5 下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）． （B）图象法（从图象上看升降） （C）复合函数的单调性 

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减” 注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.  

8．函数的奇偶性（整体性质） 

（1）偶函数 一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）

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就叫做偶函数． 

（2）．奇函数 

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数． 

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征 

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f（－x）与f（x）的关系； ○

3作出相应结论：

若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数；若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数． 

（2）由 f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;  （3）利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 

（2）求函数的解析式的主要方法有：

 1） 凑配法 

2） 待定系数法 3） 换元法 4） 消参法 

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）； 

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）； 例题：

1.求下列函数的定义域：

 ⑴221533

xxyx

        ⑵

211（）

1xyx     2.设函数fx（）的定义域为[]01，，则函数fx（）2的定义域为_  _    

3.若函数

（1）fx的定义域为[]23，，则函数（21）fx的定义域是          4.函数

22

（1）

（）（12）

2

（2）xxfxxxxx

 ，若（）3fx，则x=              

6.已知函数2

（1）4fxxx，求函数（）fx，（21）fx的解析式 

7.已知函数（）fx满足2（）（）34fxfxx，则

（）fx=             。

8.设（）fx是R上的奇函数，且当[0,）x时,3（）

（1）fxxx,则当（,0）x时（）fx=     

  （）fx在R上的解析式为                         9.求下列函数的单调区间：

  ⑴ 223yxx   

（2） 

261yxx 

10.判断函数13xy的单调性并证明你的结论． 11.设函数2

211）（xxxf

判断它的奇偶性并且求证：

）（）1

（xfx

f