第01届北京高中数学知识应用竞赛复赛.docx

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第01届北京高中数学知识应用竞赛复赛

第01届北京高中数学知识应用竞赛

【复赛试题】

　　1．（14分）年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货．每月月底可售出全部货物，获得毛利（当月销售收入与投入资金之差）是该月月初投入资金的20％．每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60％．此外小王每月还要支出生活费300元．余款作为下月投入资金用于进货．如此继续，问到年底小王拥有多少资金？

若贷款年利率为10.98％，问小王的纯收入为多少？

　　2．（14分）某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形（如图3—116的阴影部分）．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒．（接缝用料忽略不计）

　　问：

（1）包装盒的最大直径是多少？

（精确到0.01厘米）

（2）画出你设计的剪裁图．

　　3．（14分）一底面积为S（分米）2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水．设容器的质地是均匀的且薄厚相同（包括盖），问h为多少时使容器和水整体的重心最低．

　　4．（12分）中国邮政贺年（有奖）明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，97、98年公布的获奖号码（其尾数）如下：

　　97年　　　　　　　　　　　　　　　　　98年

　　特等奖400656　　　　　　　　　　　一等奖963639

　　一等奖877175　　　　　　　　　　　二等奖07594

　　二等奖50725，20460　　　　　　　　三等奖7655，6839，4754

　　三等奖2463，5502　　　　　　　　　四等奖090，433

　　四等奖626　　　　　　　　　　　　　　　　803，796

　　五等奖84　　　　　　　　　　　　　　　　　624

　　纪念奖3　　　　　　　　　　　　　　五等奖9

　　试问：

（1）哪一年获奖的概率大？

（注：

发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5％）

（2）若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？

　　5．（12分）家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架．主要有四道工序：

打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：

贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．

　　6．（12分）现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？

　　7．（污水处理问题）（12分）沿河有三城镇1、2和3，其地理位置如图3—117所示，污水需处理后方可排入河中．用Q表示污水量（吨/秒），L表示管道长度（公里），按照经验公式，建污水处理厂的费用为P1＝73Q0.712（千元），铺设管道的费用为P2＝0.66Q0.51L（千元），已知三城镇的污水量分别为Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5，L的数值如图所示．三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送．试问：

（1）从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；

（2）如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：

联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担．试计算在上述建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；

　　（3）请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议．并计算各城镇的费用．

　　8．（10分）中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：

12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：

（1）胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；

（2）球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；

　　（3）积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球（踢进球数减被踢入球数）多的队排名在前．

　　（4）若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前．

　　以下是甲B联赛（共赛22轮）第19轮后的形势：

　　队名　　　　胜　　平　　负　　得失球　　积分

　　武汉雅琪　　10　　6　　　3　　29/18　　　36

　　深圳平安　　9　　5　　　5　　34/27　　　32

　　深圳金鹏　　8　　　5　　　6　　32/38　　　29

　　河南建业　　8　　　5　　　6　　20/18　　　29

　　广州松日　　7　　　7　　　5　　27/19　　　28

　　沈阳海狮　　7　　　7　　　5　　28/23　　　28

　　佛山佛斯弟　8　　　2　　　9　　26/28　　　26

　　辽宁双星　　7　　　4　　　8　　20/19　　　25

　　上海浦东　　7　　　4　　　8　　28/23　　　25

　　上海豫园　　6　　　5　　　8　　23/29　　　23

　　天津万科　　5　　　7　　　7　　22/23　　　22

　　火车头杉杉　2　　　3　　　14　　14/48　　　9

　　还剩三轮，对阵表如下：

　　上海浦东——深圳平安　　　　广州松日——河南建业

　　深圳平安——辽宁双星　　　　河南建业——上海浦东

　　深圳平安——沈阳海狮　　　　上海豫园——河南建业

　　深圳金鹏——上海豫园　　　　武汉雅琪——佛斯弟

　　沈阳海狮——深圳金鹏　　　　天津万科——佛斯弟

　　辽宁双星——深圳金鹏　　　　佛斯弟——杉杉

　　杉杉——广州松日

　　广州松日——天津万科

　　辽宁双星——天津万科

　　沈阳海狮——杉杉

　　上海豫园——武汉雅琪

　　武汉雅琪——上海浦东

　　试问：

武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？

说明理由．

　　【复赛试题解答要点与参考答案】

　　1．设第n个月月底的资金为an元，贷款金额为a0，则

　　an+1＝an·（1＋20％）－an·20％·60％－300

　　　　＝1.08an－300，……………………………………5分

　　又a0＝10000元，于是a1＝10500元．

　　依题意，b＝10500，c＝1.08，d＝－300，

　　纯收入为a12－10000（1＋10.98％）＝8390.6元．……………14分

　　答：

小王年底有资金19488.6元，纯收入为8390.6元．

　　2．如图3—118建立直角坐标系：

　　………………………………………………………………………3分

　　依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．

　　设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故

　　AD＝2r，AB＝2πr，………………………………………6分

　　于是A点的坐标为（πr，r）．

　　⊙O′的方程为：

（x－20）2＋（y－20）2＝202．

（2）

　　………………………………………………………………………10分

　　将

（1）代入

（2）得

（πy－20）2＋（y－20）2＝202，

　　求解得　　y1≈3.01（cm），y2≈12.23（cm）（舍去）．

　　……………………………………………………………………12分

　　∴r≈3.01（cm）．

　　于是O″（0，6.02），O′（20，20），

　　而r＋20＝23.01＜24.41，

　　所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆（⊙O″）．这样，每块余料做一圆柱形（直径与高相等）的包装盒，底面最大直径是6.02（cm）．………………………………………14分

　　3．解法一容器质地均匀且薄厚相同（包括盖），故其重心高度为

　　设容器和水整体的重心高度为x分米，则x满足以下方程：

　　它恰好等于水面高度h．

　　………………………………………………………………………6分

整理得Sh2－2Shx＋MH－2Mx＝0，

　　由于h是非负实数，所以，

　　　　　　x2S2－M（H－2x）≥0．

（2）………………………8分

　　使重心位置最低的x一定是使（4）成立的x最小非负值．由二次不等式可知，使

（2）成立的x值为

　　因此，x的最小值为

　　4．设发行了n张明信片，其中k张获奖，则任买一张，获奖概率为

　　1997、1998两年明信片号码均为六个数组成，可以认为发行了106张．…………2分

（1）由于两年发行明信片数均为n＝106，为了比获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少．

　　1997年获奖明信片张数为1＋1＋20＋200＋1000＋10000＋100000＝111222．

　　1998年获奖明信片张数为1＋10＋300＋5000＋100000＝105311．

　　故1997年获奖概率大于1998年获奖概率．……8分

　　相差为1.12％－0.53％＝0.59％……………………………12分

　　5．我们用字母来表示工序：

S—抛光；P—喷涂保护层；A—组装；N—贴厂名标签．

　　解法一按题目的工艺流程要求，全部可能的生产流程及所用的时间可由图3—119给出．

　　图中箭头所示方向为工艺的流程，每个箭头下方的字母为所执行的工序，上方为该工序所用的时间，方括号内为已完成的工序．………………………………………………………………………10分

　　所有可能的流程共四条：

ASPN、SAPN、SPAN、SPNA，所用的时间分别为16分钟、18分钟、18分钟、18分钟，生产流程ASPN所用时间最少．即为了使加工时间最短，应先组装，然后抛光，再喷涂保护层，最后贴厂名标签．……………………………………………12分

　　解法二将生产流程图画成“树”

　　（画出流程图10分，计算出时间12分）

　　解法三按工艺流程的要求，S、P、N三个工序，只能有顺序S→P→N，而A可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程

　　　　A→S→P→N

　　　　S→A→P→N

　　　　S→P→A→N

　　　　S→P→N→A…………………………………………………10分

　　计算各流程所用时间，得出最优流程．………………………12分

　　6．甲厂只生产上衣1350件/月，甲厂只生产裤子2700件/月；乙厂只生产上衣2000件/月，乙厂只生产裤子3000件/月．………………………………………………………………………4分

　　我们的目的是设计一种方案使总产量超过原总产量900＋1200＝2100．

　　发挥乙厂生产上衣的优势，让乙厂全部生产上衣，共2000件，让甲

　　这样的生产方案可生产2233套成衣，超过原总产量133套．……………………………12分

　　7．设Ci为城镇i单独建污水厂所需费用（i＝1，2，3），则

　　　　C1＝73×50.712≈230（千元），C2＝73×30.712≈160（千元），C3＝C1≈230（千元）．

　　若城镇i，j合作在城镇j建厂，设Cij（i＜j）为从城i到城j铺设管道的费用（i，j＝1，2，3），则

　　　　C12＝73×（5＋3）0.712＋0.66×50.51×20＝350（千元），

　　　　C13＝73×（5＋5）0.712＋0.66×50.51×（20＋38）＝463（千元），

　　　　C23＝73×（5＋3）0.712＋0.66×30.51×38＝365（千元）．

（1）按题设三城镇的污水处理只有五种方案．

　　方案1各城分别建厂处理污水，总费用

　　　　C1＋C2＋C3＝230＋160＋230＝620（千元）……………1分

　　方案2城1，城2合作处理污水，城3单独处理污水，总费用

　　　　C12＋C3＝350＋230＝580（千元）……………………2分

　　方案3城1，城3合作处理污水，城2单独处理污水，总费用

　　　　C13＋C2＝463＋160＝623（千元）………………3分

　　方案4城2，城3合作处理污水，城1单独处理污水，总费用

　　　　C23＋C1＝365＋230＝595（千元）……………………4分

　　方案5三厂合作在城3建厂，并铺设城1及城2到城3的管道，总费用为

　　　　73×（5＋3＋5）0.712＋0.66×50.51×20＋0.66×（5＋3）0.51×38

　　　＝453.4＋30＋72.4＝555.8（千元）………………………5分

　　方案5所用费用最少，三厂合作在城3建厂并铺设管道是最优方案．

（2）三城合作建污水厂费用为73×（5＋3＋5）0.712＝453.4（千元）．按三城镇污水量的比例5∶3∶5来分担这一费用，城1，

104.6（千元），174.4（千元）．城1到城2的管道费0.66×50.51×20＝30（千元）应由城1负担，城2到城3的管道费0.66×（5＋3）0.51×38＝72.4（千元）按城1，城2污水量的比例5∶3，由城1，

　　因此，城1负担费用为174.4＋30＋45.25＝249.65（千元）………………………………………………………………………6分

　　城2负担费用为104.6＋27.15＝131.75（千元），城3负担费用为174.4（千元），三城总负担费用249.65＋131.75＋174.4＝555.8（千元）………………………………………………………………………8分

　　但由于249.65＞230＝C1，即此时城1负担的费用比它单独建污水厂所付费用还多，这对城1是不公平的，分配方案有不合理之处．………………………………………………………………………10分

　　（3）这小题没有标准答案，答案是开放性的，比如把总费用555.8（干元）按C1，C2，C3的比例分别负担等，只要能设计出“合理”的方案均可．………………………………………………………………12分

　　8．使用排除法．

　　排除法的目的是确定“是否存在一种使雅琪队无法出线的比赛结果”．排除的原则是“排除那些有利于雅琪队出线的情况，仅考虑尽量少的不利雅琪队出线的情况”．这个思想明确，可以清楚地确定出以下原则：

　　原则1：

设后三轮雅琪队均以大比分告负；

　　原则2：

除了雅琪队其余各队分为二类：

第一类队在后三轮即使全胜，其积分也少于36分；第二类队后三轮全胜积分可以达到或超过36分．

　　原则3：

使第二类中尽量多的队积分达到或超过36分，为此可以任意决定第一类队的比赛结果．

　　根据以上三原则施行如下步骤：

　　1°根据原则2，第一类队包括排在第七位（佛斯第队）以后的各队，

　　　第二类队包括：

平安队、金鹏队、建业队、松日队和海狮队．

　　2°设第二类的队与第一类队或雅琪队的比赛中均以大比分取胜，其

结果为：

　　平安队胜浦东队和双星队，积36分；

　　金鹏队胜豫园队和双星队，积35分；

　　建业队胜豫园队和浦东队，积35分；

　　松日队胜万科队和杉杉队，积34分；

　　海狮队胜杉杉队，积31分．

　　3°设平安队积36分便可以净胜球排在雅琪队之前，这样，平安队即使负于海狮队亦可排在雅琪队之前．这样可使海狮队从平安队处得3分．积34分．

　　4°这样，还有两场比赛即：

金鹏对海狮，松日对建业，其中金鹏积35分，海狮积34分；松日积34分，建业积35分．显然，在金鹏与海狮之间，松日与建业之间，至多有一个队可达到或超过36分．这就是说，第二类队中至多有三个队排在雅琪队之前，

　　而甲B有四支队可晋升甲A，故雅琪队一定可以晋升甲A．

　　注解决这类问题，还可以使用穷举法，罗列出后三轮的所有可能的比赛结果，每一种比赛的结果都可以得到一种球队的排序，如果存在着一种比赛结果的排序使雅琪队被列在第五位或低于第五位，则说明雅琪队不能“一定晋升”．否则的话，就说明无论后三轮怎样的比赛结果的排序中雅琪队都在前四名，故雅琪队“一定晋升”．这种方法是可行的方法，尤其是比赛球队不多的情况下，穷举法的核心是要保证列举出“所有可能”，做到这一点并非容易，常常借助于计算机，给出“列出所有可能”的程序，由计算机来完成罗列和判别．一般说这种方法过于繁杂，在球队很多时，即使用计算机亦难于实现．例如此题：

仅就积分结果来说，还须比赛18场，每场两个结果（或分胜负，或平），共计218种！

人为列举是无法实现的，计算机也要工作一段时间．