届高考物理总复习讲义 电磁感应中的动力学能量和动量问题.docx

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届高考物理总复习讲义电磁感应中的动力学能量和动量问题

第4节　电磁感应中的动力学、能量和动量问题

高考对本节内容的考查常以压轴计算题的形式呈现，即便以选择题的形式考查，通常题目难度也较大，因为这类题目可以说是以电磁感应为载体，把直线运动、相互作用、牛顿运动定律、机械能、动量、电路、磁场，甚至包括电场和交变电流等力学、电学知识全部综合到一起进行考查。

考点一　电磁感应中的动力学问题[多维探究类]

1．两种状态及处理方法

状态

特征

处理方法

平衡态

加速度为零

根据平衡条件列式分析

非平衡态

加速度不为零

根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析

2．抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

考法

（一）　导体棒在磁场中静止

[例1]　（2017·天津高考）如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。

金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。

现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是（　　）

A．ab中的感应电流方向由b到a

B．ab中的感应电流逐渐减小

C．ab所受的安培力保持不变

D．ab所受的静摩擦力逐渐减小

[解析]　根据楞次定律，可判断ab中感应电流方向从a到b，A错误；磁场变化是均匀的，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势恒定不变，感应电流I恒定不变，B错误；安培力F＝BIL，由于I、L不变，B减小，所以ab所受的安培力逐渐减小，根据力的平衡条件，静摩擦力逐渐减小，C错误，D正确。

[答案]　D

考法

（二）　导体棒在磁场中做匀速运动

[例2]　（2016·全国卷Ⅱ）如图，水平面（纸面）内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。

t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。

t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。

杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。

重力加速度大小为g。

求：

（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

（2）电阻的阻值。

[思路点拨]

分别画出金属杆进入磁场前、后的受力示意图，有助于快速准确的求解问题。

[解析]　

（1）设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得

ma＝F－μmg①

设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有

v＝at0②

当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为

E＝Blv③

联立①②③式可得

E＝Blt0。

④

（2）设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律

I＝⑤

式中R为电阻的阻值。

金属杆所受的安培力为

F安＝BlI⑥

因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得

F－μmg－F安＝0⑦

联立④⑤⑥⑦式得

R＝。

⑧

[答案]　

（1）Blt0　

（2）

考法（三）　导体棒在磁场中做加速运动

[例3]　（2018·江苏高考）如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。

质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。

金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。

求下滑到底端的过程中，金属棒

（1）末速度的大小v；

（2）通过的电流大小I；

（3）通过的电荷量Q。

[解析]　

（1）金属棒做匀加速直线运动，

根据运动学公式有v2＝2as

解得v＝。

（2）金属棒所受安培力F安＝IdB

金属棒所受合力F＝mgsinθ－F安

根据牛顿第二定律有F＝ma

解得I＝。

（3）金属棒的运动时间t＝，

通过的电荷量Q＝It

解得Q＝。

[答案]　

（1）　

（2）

（3）

[易错提醒]

导体棒或线框做匀变速直线运动时，才能应用牛顿第二定律和运动学公式解题，如果是加速度变化的问题，一般要应用能量或动量观点。

考点二　电磁感应中的能量与动量问题[多维探究类]

考法

（一）　电磁感应中的能量问题

[例1]　如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN。

Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5T。

在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1kg、电阻R1＝0.1Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。

然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4kg、电阻R2＝0.1Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。

cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10m/s2，问：

（1）cd下滑的过程中，ab中的电流方向；

（2）ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大？

（3）从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？

[解析]　

（1）由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则ab中电流方向为由a流向b。

（2）开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsinθ①

设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv②

设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有

I＝③

设ab所受安培力为F安，有F安＝BIL④

此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，

由平衡条件有F安＝m1gsinθ＋Fmax⑤

综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5m/s。

（3）设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gxsinθ＝Q总＋m2v2

又Q＝Q总

解得Q＝1.3J。

[答案]　

（1）由a流向b　

（2）5m/s　（3）1.3J

电磁感应问题中的能量转化及焦耳热的求法

（1）能量转化

（2）求解焦耳热Q的三种方法

焦耳定律

功能关系

能量转化

Q＝I2Rt

Q＝W克服安培力

Q＝ΔE其他能的减少量

考法

（二）　电磁感应中的动量问题

[例2]　（多选）如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。

在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。

ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．两金属棒组成的系统的动量守恒

B．两金属棒组成的系统的动量不守恒

C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率

D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和

[解析]　开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向（俯视）的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确。

根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。

[答案]　BD

[延伸思考]

（1）双棒稳定时，是否还受安培力？

（2）若ad、bc棒的质量分别为m、2m，则两棒达到稳定时的速度为多大？

（3）接

（2）问中，ad棒向左运动的过程中，ad棒产生的总焦耳热是多少？

提示：

（1）稳定时，产生电动势相等，回路中无感应电流，不受安培力。

（2）稳定时，va＝vb，由动量定理

对ad棒：

－BLt＝mva－mv0　

对bc棒：

BLt＝2mvb－0

得va＝vb＝v0

（3）对系统应用能量守恒定律

Q总＝mv02－mva2－×2mvb2

由公式Q＝I2Rt得：

＝＝

则Qa＝mv02。

[一题悟通]

例题及相关延伸思考旨在让考生掌握利用动量、能量的观点解决电磁感应问题，会根据相关条件分析双杆切割磁感线运动问题，会用“三大力学观点”解决此类问题。

动力学

观点

通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动

能量

观点

其中一个金属杆机械能的减少量等于另一个金属杆机械能的增加量与回路中产生的焦耳热之和

动量

观点

对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题

由BL·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题

考法（三）　三大观点的综合应用

[例3]　

如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。

导轨间距为l，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。

设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求：

（1）当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小；

（2）从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为多大？

（3）两棒之间距离增长量x的上限。

[解析]　

（1）设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v′，由动量守恒定律得

mv0＝0.8mv0＋mv′①

解得：

v′＝0.2v0

此时回路的电流是I＝②

cd棒的加速度为a＝③

解得：

a＝。

（2）设两棒稳定时共同的末速度为v，据动量守恒定律得

mv0＝（m＋m）v④

解得：

v＝v0⑤

由能量守恒定律得，最终稳定后电路中产生的电能为

Q＝mv02－（m＋m）v2＝mv02。

（3）由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势

E＝＝⑥

这段时间内回路的电流为＝⑦

对cd棒由动量定理得：

－BlΔt＝mv－mv0⑧

由⑤～⑧解得Δx＝。

⑨

[答案]　

（1）　

（2）mv02　（3）

“融会贯通”归纳好——“杆＋导轨＋电阻”四种模型剖析

模型一（v0≠0）

模型二（v0＝0）

模型三（v0＝0）

模型四（v0＝0）

说明

质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L

轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定

倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L

竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L

示意图

力学

观点

杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝。

杆做减速运动：

v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止

开始时a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsinα－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝

图像

观点

能量

观点

动能全部转化为内能：

Q＝mv02

F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：

WF＝Q＋mvm2

重力做的功（或减少的重力势能）一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：

WG＝Q＋mvm2

重力做的功（或减少的重力势能）一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：

WG＝Q＋mvm2

1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。

重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：

（1）杆cd下滑的最大加速度和最大速度；

（2）上述过程中，杆上产生的热量。

解析：

（1）设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv，回路中的感应电流I＝

杆所受的安培力F＝BIL

根据牛顿第二定律有mgsinθ－＝ma

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsinθ，方向沿导轨平面向下

当杆的加速度a＝0时，速度最大，

最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下。

（2）杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q总＋mvm2

又Q杆＝Q总

所以Q杆＝mgxsinθ－。

答案：

（1）gsinθ　　

（2）mgxsinθ－

2．如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。

匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。

质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。

导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。

求：

（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；

（2）导体棒匀速运动的速度大小v；

（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。

解析：

（1）在绝缘涂层上导体棒受力平衡，有

mgsinθ＝μmgcosθ

解得μ＝tanθ。

（2）在光滑导轨上

感应电动势E＝BLv

感应电流I＝

安培力F安＝BIL

导体棒受力平衡有F安＝mgsinθ

联立解得v＝。

（3）摩擦生热Q′＝μmgdcosθ

由能量守恒定律有3mgdsinθ＝Q＋Q′＋mv2

联立解得Q＝2mgdsinθ－。

答案：

（1）tanθ　

（2）

（3）2mgdsinθ－

“杆＋导轨＋电阻”模型是电磁感应中的常见模型，选择题和计算题均有考查。

该模型以单杆或双杆在导体轨道上做切割磁感线运动为情景，综合考查电路、动力学、功能关系等知识。

在处理该模型时，要以导体杆切割磁感线的速度为主线，由楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系。