初中数学二次函数压轴题的最佳的4种解法.docx

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初中数学二次函数压轴题的最佳的4种解法

初中数学二次函数（压轴题）的最佳的4种解法

在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。

1题目

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

（1）抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；

（2）Q（－1，2）；

下面着重探讨求第（3）小题中面积最大值的几种方法．

解法1补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

方法二 如图4，设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

（下略．）

解法2“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：

S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

根据上述方法，本题解答如下：

解 如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

∴点P坐标为（－3/2，15/4）

解法3切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点（即点P）时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解 如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：

y＝x＋b．

=27/8

解法4三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得．

解 如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

则F（x，x＋3）．

从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。