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123事件与概率讲解
第十二章 统计与概率
§12.3 事件与概率
【知识回顾】
1．事件
（1）不可能事件、必然事件、随机事件：
在同样的条件下重复进行试验时，有的结果____________，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中____________，它称为必然事件；有的结果____________，也____________，它称为随机事件．
（2）基本事件、基本事件空间：
试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最______的____________；所有____________构成的______称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．
2．概率与频率
（1）概率定义：
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率
，当n很大时，总是在某个______附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个______叫做事件A的概率，记作P（A）．
（2）概率与频率的关系：
______可以通过______来“测量”，______是______的一个近似值．
3．事件的关系与运算
名称
定义
并事件（和事件）
由事件A和B______________所构成的事件C
互斥事件
不可能______________的两个事件A，B
互为对立事件
不能___________且______________的两个事件A，B
4.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
______________.
（2）必然事件的概率P（E）＝____.
（3）不可能事件的概率P（F）＝____.
（4）互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝______________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝______________.
参考答案：
1．
（1）始终不会发生，一定会发生，可能发生，可能不发生，
（2）简单，随机事件；基本事件，集合
2．
（1）常数，常数
（2）概率，频率，频率，概率
3．至少有一个发生，同时发生，同时发生，必有一个发生
4.
（1）0≤P（A）≤1.
（2）1.（3）0.（4）①P（A）＋P（B）．②1－P（B）．
【基础训练】
1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）事件发生的频率与概率是相同的．（×）
（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（√）
（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．（×）
（4）两个事件对立时一定互斥，但两个事件是互斥时这两个事件未必对立．（√）
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
解析 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
答案 D
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]（单位：
cm）内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为（ ）
A．0.2B．0.3
C．0.7D．0.8
解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.
答案 B
4．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．
解析 ∵P（A）＝
，P（B）＝
，且A与B是互斥事件．
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
＋
＝
＝
.
答案
5．若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）________1（填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”）．
答案 ≤
【例题分析】
例1．某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少（结果保留到小数点后三位）?
解
（1）依据公式f＝
，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.
（2）由
（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
规律方法 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
变式练习1：
假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示．
（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解
（1）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
＝
，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
.
（2）根据抽样结果，可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145（个），其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
＝
.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
.
例2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
解析 根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω（Ω为必然事件），故事件B，C是对立事件．
答案 D
规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
变式练习2：
对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
例3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
规律方法
（1）解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（
）求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．
变式练习3：
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）．
解
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9（分钟）．
（2）记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P（A1）＝
＝
，P（A2）＝
＝
，P（A3）＝
＝
.
因为A＝A1∪A2∪A3，且事件A1，A2，A3彼此互斥，
所以P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝
＋
＋
＝
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.
【课后练习】
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非对立事件B．对立事件
C．相互独立事件D．以上都不对
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.
答案 A
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P（A）＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P（A）＝1－0.65＝0.35.
答案 C
3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析 对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立．
答案 D
4．对一批产品的长度（单位：
毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（ ）
A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45
解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－（0.3＋0.25）＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45.
答案 D
5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是
，乙获胜的概率是
，则乙不输的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 乙不输包含两种情况：
一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为
＋
＝
.
答案 A
6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
答案 ③ ② ①
7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）＝
，P（B）＝
，则出现奇数点或2点的概率为________．
解析 因为事件A与事件B是互斥事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
＋
＝
.
答案
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析 摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.30＝15.
答案 15
9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝
＝0.15，P（B）＝
＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 法一 （利用互斥事件求概率）
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P（A1）＝
，P（A2）＝
＝
，P（A3）＝
＝
，
P（A4）＝
，
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝
＋
＝
.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝
＋
＋
＝
.
法二 （利用对立事件求概率）
（1）由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）
＝1－
－
＝
.
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－
＝
.
11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
答案 D
12．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是
，那么概率是
的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡
解析 因为
＝1－
，而“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，故选A.
答案 A
13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝
＝
.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－
＝
.
答案
14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解
（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44（人），
∴用频率估计相应的概率为0.44.
（2）选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
（3）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由
（2）知P（A1）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P（A2）＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择L1.
同理，P（B1）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P（B2）＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P（B1）＜P（B2），∴乙应选择L2.
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