高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点文1.docx
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高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点文1
高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点文1
必考点一 三角恒等变换与求值
[高考预测]——运筹帷幄
1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．
2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．
[速解必备]——决胜千里
1．诱导公式都可写为sin或cos的形式．
根据k的奇偶性：
“奇变偶不变（函数名），符号看象限”．
2．公式的变形与应用
（1）两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）；
tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）．
（2）升幂公式
1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2.
（3）降幂公式
sin2α＝；cos2α＝.
（4）其他常用变形
sin2α＝＝；
cos2α＝＝；
1±sinα＝2；
tan＝＝.
3．角的拆分与组合
（1）已知角表示未知角
例如，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β），
α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，
α＝－＝＋.
（2）互余与互补关系
例如，＋＝π，
＋＝.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
[速解方略]——不拘一格
类型一 三角函数概念，同角关系及诱导公式
[例1]
（1）（2016·高考全国乙卷）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：
基本法：
将θ－转化为－.
由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以
cos>0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.
答案：
－
速解法：
由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，
∴θ＝α－，
∴tan＝tan＝－tan.
如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝可得，
BC＝3，AB＝5，AC＝4，
∴∠B＝－α，∴tanB＝，
∴tanB＝－.
答案：
－
（2）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0
C．sin2α＞0D．cos2α＞0
解析：
基本法：
由tanα＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α＝2sinαcosα知sin2α＞0，C正确；α取时，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.
速解法：
∵tanα＝＞0，即sinαcosα＞0，
∴sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.
答案：
C
方略点评：
1基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tanα及sin2α的公式特征判断符号，更简单.
2知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解.
3知弦求切.常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用.
4知切求弦.通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后利用平方关系求解.
1．（2016·河北唐山模拟）已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（ ）
A．－B.
C．－或0D.或0
解析：
基本法：
∵，
∴或
∴tan2α＝0或tan2α＝.
答案：
D
2．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．
解析：
基本法：
由sinα＋2cosα＝0得tanα＝－2.
∴2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝＝－1.
答案：
－1
类型二 三角函数的求值与化简
[例2]
（1）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
基本法：
原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝，故选D.
速解法：
从题目形式上看应是sin（α＋β）公式的展开式．
又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin30°＝.
答案：
D
方略点评：
基本法是构造sinα＋β的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.
（2）设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A．3α－β＝B．3α＋β＝
C．2α－β＝D．2α＋β＝
解析：
基本法：
由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin（α－β）＝cosα，又cosα＝sin，所以sin（α－β）＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.
速解法一：
∵tan＝，
由tanα＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.
把β＝2α－代入
＝
＝＝tanα，题设成立．故选C.
速解法二：
＝＝tan
∴tanα＝tan
又∵α∈，β∈，∴∈，
∴＋∈，∴α＝＋，
∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.
答案：
C
方略点评：
1基本法是切化弦，利用正弦等式寻找角的关系.速解法都是利用tan的公式及特征，代入验证或者转化正切等式.
2已知值求角时，注意角的范围，要尽量使范围“小”一点.
1．若tanα＝2tan，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
基本法：
＝
＝＝
＝，
∵tanα＝2tan，∴＝＝3.故选C.
答案：
C
2．（2016·河北石家庄模拟）已知tan（3π－α）＝－，tan（β－α）＝－，则tanβ＝________.
解析：
基本法：
依题意得tanα＝，又tan（β－α）＝－，
∴tanβ＝tan[（β－α）＋α]＝＝.
答案：
[终极提升]——登高博见
解选择题、填空题的方法——特征分析法
方法诠释
特征分析法：
不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题的条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系，只要发现了这些特殊关系就能很快作出选择．特征分析法是指根据题目所提供的信息，抓住数值特征、结构特征、位置特征（比如：
定点、定线、拐点）进行大跨度、短思维链的推理、判断的方法．它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与状态把握，直觉、联想、猜想是思维的联结点．
适用范围
从表面上看已知条件式子，庞大而复杂，直接进行代数推理计算会很麻烦，可考虑各种方法.
限时速解训练八 三角恒等变换与求值
（建议用时40分钟）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知sin＝，那么cosα＝（ ）
A．－ B．－
C.D.
解析：
选C.sin＝sin＝cosα＝.
2．若tanα＝，tan（α＋β）＝，则tanβ＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A.tanβ＝tan
＝
＝＝＝，故选A.
3．设cos（－80°）＝k，那么tan100°＝（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选B.sin80°＝
＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－，故选B.
4．已知sinα＋cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（ ）
A．－1B．－
C.D．1
解析：
选D.法一：
由sinα＋cosα＝得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1，又因为α∈（0，π），则当cosα＝0时，sinα＝1，不符合题意，所以cosα≠0，所以＝＝1，解得tanα＝1，故选D.
法二：
由sinα＋cosα＝得：
sin＝，即sin＝1，∵0＜α＜π，
∴＜α＜，
∴α＋＝，即α＝
故tanα＝1，故选D.
5．若＝，则sinαcosα＝（ ）
A．－B．－
C．－D.
解析：
选B.法一：
由＝，得2（sinα＋cosα）＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又sinαcosα＝＝＝－，故选B.
法二：
由题意得＝，即
4＋8sinαcosα＝1－2sinαcosα
∴10sinαcosα＝－3
即sinαcosα＝－，故选B.
6．若θ∈，sin2θ＝，则tanθ＝（ ）
A.B.
C．2D.
解析：
选C.法一：
∵sin2θ＝2sinθcosθ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，∴sinθ＋cosθ＝，
sinθ－cosθ＝，
∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝2，故选C.
法二：
由θ∈知tanθ≥1，
∴sin2θ＝，∴＝
∴＝解得tanθ＝（舍）或tanθ＝2.
7．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanA·tanB等于（ ）
A．4B.
C．－4D．－
解析：
选B.由条件得3×＋5×＝4，即3cos（A－B）＋5cosC＝0，所以3cos（A－B）－5cos（A＋B）＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝，故选B.
8．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin的值等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A.∵α为第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－，则sin＝×－×＝，故选A.
9．若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选D.由题意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－.
10．（2016·贵州贵阳检测）已知sin＝，则cos的值是（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选D.cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝2×－1＝－.
11．已知α满足sinα＝，那么sin·sin的值为（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选A.原式＝sincos
＝sin＝cos2α＝（1－2sin2α）＝，故选A.
12．（2016·山西运城高三质检）已知向量a＝，b＝（4,4cosα－），若a⊥b，则sin＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
选B.∵a⊥b，
∴a·b＝4sin＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－
＝4sin－＝0，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
二、填空题（把答案填在题中横线上）
13.已知tan（3π－x）＝2，则＝________.
解析：
tan（3π－x）＝tan（π－x）＝－tanx＝2，故tanx＝－2.故＝＝＝－3.
答案：
－3
14．若tanθ＝2，则2sin2θ－3sinθcosθ＝________.
解析：
法一：
原式＝cos2θ（2tan2θ－3tanθ）＝（2tan2θ－3tanθ）＝×（2×22－3×2）＝.
法二：
原式＝＝＝＝.
答案：
15．已知α∈，tan＝，则sinα＋cosα＝________.
解析：
依题意，＝，解得tanα＝－＝，因为sin2α＋cos2α＝1且α∈，解得sinα＝，cosα＝－，故sinα＋cosα＝－＝－.
答案：
－
16．已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，则sinα＋cosα的值为________．
解析：
根据已知得sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，所以sin2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝－×＋×＝－，所以（sinα＋cosα）2＝1＋sin2α＝1－＝.因为＜α＜，所以sinα＋cosα＞0，所以sinα＋cosα＝.
答案：
必考点二 三角函数图象与性质
[高考预测]——运筹帷幄
1．以图象为工具，求三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．
2．通过三角函数的图象及性质，考查函数y＝Asin（ωx＋φ）的变换和性质．
[速解必备]——决胜千里
1．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ），其中cosφ＝，sinφ＝或tanφ＝.
2．已知图象求解析式y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
（2）求ω，已知函数的周期T，则ω＝.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时，A，ω，B已知），或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间还是下降区间）．
②五点法：
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点）为ωx＋φ＝0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3．三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法
（1）若f（x）＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ＝kπ＋（k∈Z），同时当x＝0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）＝Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z），同时当x＝0时，f（x）＝0.
（2）求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ）的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．
（3）对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
[速解方略]——不拘一格
类型一 三角函数图象及其变换
[例1]
（1）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：
基本法：
由函数图象知T＝2×＝2.
∴＝2，即ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨设φ＝.
∴f（x）＝cos
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π得，
2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故选D.
速解法：
由题图可知＝－＝1，所以T＝2.
结合题图可知，在（f（x）的一个周期）内，函数f（x）的单调递减区间为.由f（x）是以2为周期的周期函数可知，f（x）的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
答案：
D
方略点评：
基本法是根据图象写出解析式后，求出减区间；速解法是根据图象特征直接写出减区间，较简单.
（2）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
解析：
基本法：
根据三角函数图象的变换关系求解．
由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
速解法：
将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位可得到函数y＝sin＝sin的图象．故选B.
答案：
B
方略点评：
1基本法是将要得到的函数进行变形使x的系数为1根据“左加右减”得出答案.,速解法根据“左加右减”法则，直接验证B选项.
2y＝sinx与y＝Asinωx＋φ的平移关系，要分清哪个是被平移的函数，哪个是所得函数.
3由y＝Asinωx得到y＝Asinωx＋φ时，需要平移的单位数是||，而不是|φ|，即左右平移的单位个数是相对“x”而言，而不是“ωx”.如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定平移的单位长度和方向.如本例.
1．（2016·五校高三联考）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：
基本法：
利用图象上的信息求周期到求ω，利用特殊点求φ，确定f（x）解析式再平移．
由图象知：
＝－，∴T＝π.又π＝，∴ω＝2.
由f＝0得：
2×＋φ＝kπ（k∈Z），即φ＝kπ－（k∈Z）．∵|φ|＜，∴φ＝，即f（x）＝sin＝
sin，故选A.
速解法：
利用周期和零点求出在原点右侧的零点，观察平移．
＝2＝
∴f（x）在原点左侧的第一个零点为
x＝－＝－，故向右平移，图象过原点．
答案：
A
2．（2016·高考全国甲卷）函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sinD．y＝2sin
解析：
根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．
由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋（k∈Z），故φ＝2kπ－（k∈Z），结合选项可知y＝2sin.
答案：
A
类型二 三角函数性质及应用
[例2]
（1）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（ ）
解析：
基本法：
用排除法排除错误选项．
当x∈时，f（x）＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.
速解法：
当x＝时，f＝1＋.
x＝时，f＝2，显然f＜f排除C、D.
又∵x为角度，f（x）不是一次函数，排除A，故选B.
答案：
B
方略点评：
两种解法都采用特值验证法，基本法当x∈时，求f（x）的解析式，速解法是利用特征排除A.
（2）函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．
解析：
基本法：
利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式．
∵f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）
＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）
＝sin（x＋φ）cosφ＋cos（x＋φ）sinφ－2sinφcos（x＋φ）
＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ
＝sin[（x＋φ）－φ]＝sinx，
∴f（x）的最大值为1.
速解法：
∵φ为常数，令φ＝0时，f（x）＝sinx.
若φ＝，则f（x）＝sin－cos＝sinx
猜想f（x）＝sinx
f（x）max＝1.
答案：
1
（3）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在单调递减
B．f（x）在单调递减
C．f（x）在单调递增
D．f（x）在单调递增
解析：
基本法：
f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）
＝sin，
∵T＝＝π，∴ω＝2.又f（－x）＝f（x），即f（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝·sin＝cos2x，令2kπ＜2x＜2kπ＋π
得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴f（x）在上单调递减，故选A.
速解法：
由f（x）＝sin知T＝＝π，
∴ω＝2.
f（x）为偶函数，∴φ＋＝，∴φ＝.
∴f（x）＝cos2x依据图象特征可得f（x）在为减区间．
答案：
A
方略点评：
1由周期求ω，由奇偶性求φ，基本法采用的是定义法求φ.速解法是利用了y＝cosx为偶函数的特征得出φ，较简单.
2求函数性质，关键将函数式化为fx＝Asinωx＋φ的形式，注意ωx＋φ整体换元方法的应用.
1．（2016·陕西西安八校联考）若函数y＝cos（ω∈N*）图象的一个对称中心是，则ω的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．4D．8
解析：
由题意知＋＝kπ＋（k∈Z）⇒ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N*，∴ωmin＝2，故选B.
答案：
B
2．（2016·高考全国甲卷）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（ ）
A．4B．5
C．6D．7
解析：
f（x）＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝5.
答案：
B
[终极提升]——登高博见
选择题、填空题的解法——等价转化法
方法诠释
等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．
方法特点
等价转化方法的特点是灵活性和多样性．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.
限时速解训练九 三角函数图象与性质
（建议用时40分钟）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．函数f（x）＝的最小正周期是（ ）
A. B.
C．πD．2π
解析：
选C.函数f（x）＝＝|sinx|的最小正周期T＝π，故选C.
2．设函数f（x）＝3sin（x∈R）的图象为C，则下列表述正确的是（ ）
A．点是C的一个对称中心
B．直线x＝是C的一条对称轴
C．点是C的一个对称中心
D．直线x＝是C的一条对称轴
解析：
选D.令2x＋＝kπ，k∈Z得x＝－＋，k∈Z，
所以函数f（x）＝3sin的对称中心为，k∈Z，排除A、C.令2x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，所以函数f（x）＝3sin的对称轴为x＝＋，k∈Z，排除B，故选D.
3．（2016·江西八所重点学校联考）函数f（x）＝Asinωx（A>0，ω>0）的部分图象如图所示，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2017）的值为（ ）
A.
B．3
C．6
D．－
解析：
选A.由图象可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，
∴f（x）＝2sinx，
∴f
（1）＝，f
（2）＝2，f（3）＝，f（4）＝0，f（5）＝－，
f（6）＝－2，f（7）＝－，f（8）＝0，∴f（x）是周期为8的周期函数，
而2017＝8×252＋1，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2017）＝.
4．函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω≠0）对任意x都有f＝f，则f等于（ ）
A．2或0B．－2或2
C．0D．－2或0
解析：
选B.由f＝f得x＝是函数f（x）的一条对称轴，所以f＝±2，故选B.
5．若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且图象关于点对称，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝2sin2x－1D．y＝cos
解析：
选D.依次判断各选项，A项周期不符；B项函数图象不关于点成中心对称；C错，因为y＝2sin2x－1＝－cos2x，同样点不是图象的对称中心，故选D.
6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D.函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，其中k∈Z.依题意，则有－π＋2kπ≤＋＜ωx＋＜ωπ＋≤2kπ（ω＞0）得4k－≤ω≤2k－，由－≤0且4k－＞0得k＝1，因此ω的取值范围是
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