集合专题.docx
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集合专题
集合与常用逻辑用语专题
A卷
一、选择题
1．（2014·陕西高考）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝（ ）
A．[0,1]B．[0,1）
C．（0,1]D．（0,1）
【解析】 ∵N＝（－1,1），∴M∩N＝[0,1），故选B.
【答案】 B
2．（2014·安徽高考）命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x
<0
D．∃x0∈R，|x0|＋x
≥0
【解析】 ∀x∈R，|x|＋x2≥0的否定是∃x0∈R，|x0|＋x
<0.故选C.
【答案】 C
3．（2014·浙江高考）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝（ ）
A．∅B．{2}
C．{5}D．{2,5}
【解析】 ∵A＝{x∈N|x≥
}＝{x∈N|x≥3}，
∁UA＝{x∈N|2≤x<3}＝{2}，故选B.
【答案】 B
4．（2014·韶关二模）命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是（ ）
A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0
B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0
C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0
D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
【解析】 a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0，故选D.
【答案】 D
5．（2014·宁德一模）一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
【解析】 在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．
【答案】 C
6．（2014·天津高考）设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2b；若a≥0，b<0，则a>b.
综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．
【答案】 C
7．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1]B．[1，＋∞）
C．[－1,1]D．（－∞，－1]∪[1，＋∞）
【解析】 由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，∴－1≤a≤1，故选C.
【答案】 C
8．（2014·佛山模拟）给定命题p：
若x∈R，则x＋
≥2；
命题q：
若x≥0，则x2≥0.
则下列各命题中，假命题的是（ ）
A．p∨qB．（綈p）∨q
C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）
【解析】 由题意，命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，故D是假命题．
【答案】 D
9．（2014·宁德模拟）已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为（ ）
A．－2B．－1
C．0D．1
【解析】 ∵A⊆B，∴a＋2＝1，解得a＝－1.故选B.
【答案】 B
10．（2014·广州第二次联考）已知全集U＝R，集合A＝{x|0图1－1－1
A．3个B．4个
C．5个D．无穷多个
【解析】 集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，而阴影部分所示集合为B∩∁RA，所以阴影部分集合中含有－3，－2，－1,0共4个元素，故选B.
【答案】 B
11．（2014·武汉模拟）下列四种说法中，正确的是（ ）
A．A＝{－1,0}的子集有3个
B．“若am2C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件
D．命题“∀x∈R，均有x2－3x－2≥0”的否定是：
“∃x∈R，使得x2－3x－2≤0”
【解析】 命题p∨q为真，说明p，q中至少一个为真即可，命题p∧q为真，则p，q必须同时为真，故“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件．
【答案】 C
12．设p：
|4x－3|≤1，q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C．（－∞，0]∪
D．（－∞，0）∪
【解析】 p：
|4x－3|≤1⇒－1≤4x－3≤1，∴
≤x≤1；q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0⇒（x－a）[x－（a＋1）]≤0.
若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，故
则0≤a≤
.
【答案】 A
二、填空题
13．（2014·江苏高考）已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________.
【解析】 ∵A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，
∴A∩B＝{－1,3}．
【答案】 {－1,3}
14．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.
【解析】 集合A中只有一个元素等价于方程ax2＋ax＋1＝0有且只有一个实数解．
（1）若a＝0，则方程1＝0不成立．
（2）若a≠0，则有Δ＝a2－4a＝0，即a＝4.
【答案】 4
15．设p：
<0，q：
0【解析】 p：
02.
【答案】 （2，＋∞）
16．（2014·安徽六校测试）若命题“∀x∈[－1,1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命题，则实数a的最小值为________．
【解析】 先求∀x∈[－1,1]，1＋2x＋a·4x<0恒成立的a值，最后求其补集即可．变形得a<－
＝－
＋
2＋
，令t＝
，则a<－
2＋
，
∵x∈[－1,1]，∴t∈
，
∴f（t）＝－
2＋
在
上是减函数．
∴a<[f（x）]min＝f
（2）＝－
2＋
＝－6，
∴a≥－6，
故实数a的最小值为－6.
【答案】 －6
B卷
一、选择题
1．（2014·青岛一模）已知命题p：
任意x∈R，x>sinx，则p的否定是（ ）
A．綈p：
存在x∈R，xB．綈p：
任意x∈R，x≤sinx
C．綈p：
存在x∈R，x≤sinx
D．綈p：
任意x∈R，x【解析】 p的否定是：
存在x∈R，x≤sinx.
【答案】 C
2．（2014·商丘模拟）设集合A＝{2，lnx}，B＝{x，y}，若A∩B＝{0}，则y的值为（ ）
A.
B．1
C．eD．0
【解析】 由A∩B＝{0}知lnx＝0，∴x＝1，∴y＝0.
【答案】 D
3．（2014·长春高三月考）已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝
，则A∪B为（ ）
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵A∩B＝
，∴
，
∴A∪B＝
.故选D.
【答案】 D
4．（2014·德化联考）已知集合A＝{－1,2,5}，B＝{－1,1}，下列结论成立的是
（ ）
A．B⊆AB．A∪B＝A
C．A∩B＝BD．A∩B＝{－1}
【解析】 ∵A＝{－1,2,5}，B＝{－1,1}，∴A∩B＝{－1}．故选D.
【答案】 D
5．（2014·吉林模拟）已知命题p：
“a＝1是x>0，x＋
≥2的充分必要条件”；命题q：
“∃x0∈R，x
＋x0－2>0”．则下列命题正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“（綈p）∧q”是真命题
C．命题“p∧（綈q）”是真命题
D．命题“（綈p）∧（綈q）”是真命题
【解析】 由已知条件可知，命题p是假命题，命题q是真命题，根据命题的真值表，可得命题“（綈p）∧q”是真命题，故选B.
【答案】 B
6．（2014·湖北高考）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁UB，此时A⊆C，必要性成立．故选C.
【答案】 C
7．（2014·黄冈模拟）已知a，b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）为一次函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）＝a·bx2＋（b2－a2）x－a·b，若“函数f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f（x）＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”是“函数f（x）＝（xa＋b）·（xb－a）为一次函数”的必要不充分条件．
【答案】 B
8．（2014·忻州四校联考）命题p：
∃x0∈R，使得x2＋x＋1<0，命题q：
∀x∈
，x>sinx，则下列命题中真命题为（ ）
A．p∧qB．p∨（綈q）
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∧q
【解析】 x2＋x＋1<0在实数范围内无解，故命题p为假命题，綈p为真命题；利用单位圆和正弦函数的定义可知q为真命题（x表示弧长，sinx用正弦线表示），可见（綈p）∧q为真，选D.
【答案】 D
9．（2014·陕西五校模拟）已知p：
存在x0∈R，mx
＋2≤0；q：
任意x∈R，x2－2mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]
C．（－∞，－2]D．[－1,1]
【解析】 若存在x0∈R，mx
＋2≤0成立，则m<0，所以若p为假命题，m的取值范围是[0，＋∞）；若任意x∈R，x2－2mx＋1>0，则Δ＝4m2－4<0，即－1【答案】 A
10．（2014·福州高三联考）设p：
x2－x－20>0，q：
log2（x－5）<2，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由x2－x－20>0得x<－4或x>5，由log2（x－5）<2得5【答案】 B
11．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是（ ）
A．7B．10C．25D．52
【解析】 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
因为x∈A∩B，所以x可取0,1；
因为y∈A∪B，所以y可取－1,0,1,2,3.
则（x，y）的可能取值如下表所示：
y
x
－1
0
1
2
3
0
（0，－1）
（0,0）
（0,1）
（0,2）
（0,3）
1
（1，－1）
（1,0）
（1,1）
（1,2）
（1,3）
故A*B中的元素共有10个．
【答案】 B
12．（2014·新余联考）给出下列四个结论：
①若命题p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1<0，则綈p：
∀x∈R，x2＋x＋1≥0；
②“（x－3）（x－4）＝0”是“x－3＝0”的充分而不必要条件；
③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：
“若方程x2＋x－m＝0没有实数根，则m≤0”；
④若a>0，b>0，a＋b＝4，则
＋
的最小值为1.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 ①正确，綈p是p的否命题；
②不正确，（x－3）（x－4）＝0，则x＝3或x＝4，应该是必要不充分条件；
③正确，两命题互为逆否命题；
④正确，因为a＋b≥2
，∴ab≤
2＝4，
∴
≥1，
所以
＋
＝
＝
≥1.
【答案】 C
二、填空题
13．（2014·唐山模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且（∁UA）∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，∴∁UA＝{x|x≤1}．
由（∁UA）∪B＝R可知a≤1.
【答案】 a≤1
14．（2014·汕头模拟）设命题p：
≤0，命题q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：
≤0⇒
≤x<1，q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）<0⇒a因为p是q的充分不必要条件，所以
，解得0≤a<
.
【答案】
15．（2014·福州模拟）已知集合A＝{（x，y）|y＝lgx}，B＝{（x，y）|x＝a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
【解析】 依题意得方程组
没有实数解，于是有a≤0.
【答案】 a≤0
16．已知c>0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上递减；q：
函数f（x）＝x2－2cx－1在
上为增函数．若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围为________．
【解析】 由函数y＝cx在R上递减可知0由函数f（x）在
上为增函数可知c≤
.
又p∧q为假，p∨q为真，所以p、q一真一假．
（1）若p真q假，则
（2）若p假q真，则这样的实数c不存在．
综上可知，实数c的取值范围为
.
【答案】
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