考研数学二经典知识点技巧总结高数线代.docx

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考研数学二经典知识点技巧总结高数线代

高等数学（数二）

一.重点知识标记

高等数学

科目大纲章节知识点题型重要度等级

高等数学

第一章函数、极限、连续

1.等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★

2.函数连续的概念、函数间断点的类型

3.判断函数连续性与间断点的类型★★★

第二章一元函数微分学

1.导数的定义、可导与连续之间的关系

按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★

2.函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★

3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★

第三章一元函数积分学

1.积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★

2.有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分

计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★

第四章多元函数微分学

1.隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系

2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★

3.多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★

第五章多元函数积分学

1.二重积分的概念、性质及计算

2.二重积分的计算及应用★★

第六章常微分方程

1.一阶线性微分方程、齐次方程，

2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★

一、函数、极限、连续部分：

极限的运算法则、极限存在的准则（单调有界准则和夹逼准则）、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质（尤其是介值定理），这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分：

主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。

微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。

函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。

多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。

多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。

　　三、积分学部分：

一元函数积分学

一个重点是不定积分与定积分的计算。

在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。

其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。

定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。

对于定积分在物理上的应用（数二有要求），如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。

多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。

这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。

四、微分方程：

　　这里有两个重点：

一阶线性微分方程;二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。

线性

第一章行列式

1.行列式的运算

2.计算抽象矩阵的行列式★★★

第二章矩阵

1.矩阵的运算

2.求矩阵高次幂等★★★

3.矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★

第三章向量

1.向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法

2.向量组的线性相关性★★★★★

3.线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★

第四章线性方程组

1.齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

2.求齐次线性方程组的基础解系、通解★★★★★

第五章矩阵的特征值和特征向量

1.实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法

2.有关实对称矩阵的问题★★★★★

3.相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题★★★

第六章二次型

1.二次型的概念求二次型的矩阵和秩★★

2.合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵★★

二.高数（数学二）各种题总结

复习阶段

1.基础阶段（7月之前）（从薄到厚）

全面复习，打好基础——书本为主，以本为本

2.强化阶段（7月-11月底）（从厚到薄）

总结归纳：

知识点，重点，难点，题型，方法

把握整体，形成体系

3.冲刺阶段（12月开始）（查缺补漏，实战演练）【踩点复习】

高等数学（整本书三大块：

极限，导数，积分）

第一章：

函数，连续，极限

1.函数

1.函数的概念（定义域，对应法则，值域）

2.★函数的性态（单调性，奇偶性，周期性，有界性）

3.★复合函数和反函数

4.基本初等函数和初等函数

2.极限【每年必考大题▲】

1.极限的概念（数列极限和函数极限）

函数极限：

左极限，右极限

2.极限性质：

1.局部有界性

2.★保号性

3.★有理运算的性质

4.极限值与无穷小之间的关系

3.Δ极限存在准则

1.夹逼准则

2.单调有界准则

4.无穷小量

1.无穷小的比较（选择）

2.▲常用等价无穷小代换及其原则（混合）

3.连续

1.左连续，右连续

2.间断点及其分类

（1）☆☆☆第一类间断点（左右极限均存在）

1.可去间断点（左右极限都存在且相等）

2.跳跃间断点（左右极限都存在但不相等）

（2）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

3.连续函数的性质

★有界闭区间上连续函数的性质

1.有界性，最值性，介值性，★零点定理

总结：

第一章常考题型（三类题核心实质：

就是求极限）

1.求极限

2.无穷小量的比较（阶的比较）

3.讨论函数的连续性及间断点的类型

补充：

第二章一元函数微分学

1.导数和微分的概念（左导数，右导数）

★连续，可导，可微之间的关系

2.微分法

1.求导法则（核心：

有理运算法则和复合函数求导法则）

Δ复合函数求导法，隐函数求导法，，参数方程求导法

3.▲微分中值定理（实质：

建立了f‘（x）和f（x）的关系）

罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理[f‘（x）和f（x）]

泰勒公式（高阶）

4.导数应用

1.洛比达法则

2.单调性▲

3.函数的极值与最值（充分条件和必要条件）

4.曲线的凹向与Δ拐点

5.Δ渐近线（水平，垂直，斜渐近线）

6.曲率和曲率半径（数二考）

第二章常考题型

1.导数定义

2.求导法：

复合函数，隐函数，参数方程，高阶导数（难点）

3.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点

4.求渐近线

5.方程的根

6.▲不等式的证明

7.▲▲▲微分中值定理证明

补充：

第三章一元函数积分学

1.基本积分公式

2.三种主要积分法（考研不考特殊技巧的题目，下面三类即可）

（1）第一类换元法（凑微分法）

（2）第二类换元法

（3）分部积分法

3.定积分的应用（可积性的充分条件，必要条件）

4.定积分的性质：

（1）不等式

（2）▲积分中值定理

5.变上限积分（必考）

5反常积分（只要求掌握定义，会最基本的就好，计算是重点）

6▲定积分的应用（实质：

掌握微元法）

1.▲几何应用（面积，体积，曲线弧长，旋转体体积）

2.物理应用（1.压力2.变力做功3引力）

补充：

第四章多元微分学

1.一元和多元连续，可导，可微的判定，联系和区别

2.▲偏导数求导法（1.复合函数求导法2.隐函数求导法）

3.▲多元极值和最值

1.（无条件）极值的充分条件和必要条件

2.（条件极值）：

拉格朗日乘法

3.最大最小值

补充：

第五章▲二重积分（直角坐标和极坐标，及奇偶性，对称性）

补充：

第六章微分方程（掌握定理就好）

补充：

线性代数：

（自己的总结）

总体来说，这部分内容相对容易，考试的时候出题的套路比较固定。

但线代的考题对考生对基本概念的理解要求很高，很多考生往往是读完了题却不知道题目的实际含义是什么。

总论：

线性代数实质上只讲了矩阵（我只讲实质）（为了不变化改用图片）

一、行列式

行列式的性质、行列式按行（列）展开定理是重点，但不是难点。

在行列式的计算题目中，尤其是抽象行列式的计算，常用到矩阵的相关知识，应提高对知识的综合运用能力。

●题型分析：

1.行列式求解：

按行展开，每行和相等；拉普拉斯；范德蒙德；分块含O题；爪型；2或3斜对角线

2.抽象行列式计算：

1.E的活用；AA*=|A|E应用【难点：

Aˊ=-A等价于AˊxA=0】

Δ2.|A|=∏aiiΣaii=Σλii3.相似

Δ4.矩阵ζζT的R=1迹（对角线之和）=ζTζ

3.某行代数余子式Aij之和的计算

补充：

二、矩阵

逆矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的秩是重点。

逆矩阵的计算，以及矩阵是否可逆的判定属于常考内容。

矩阵的初等变换常以选择题形式出现，如2012考研。

（kA）*=kn-1A（A*）-1=A/|A|（A*）*=|A|n-2A

*题型分析：

1.矩阵ζζT的R=1迹（对角线之和）=ζTζ

2.求An：

（1）A=αβT做法—>R（A）=1，An=（∑aii）n-1A

（2）拆A=E+B而B是对角线及其以上（下）均为0，若斜k行，则Bk=O，二项展开An=（E+B）n

（3）分块应用和相似

*（4）若An+Ak+cE=0形式其特征方程为：

λn+λk+c=0，并A的特征值只能在这结果中可能有重根

3.A的逆两种方法：

1.伴随矩阵2.初等行变化（不能掺杂列变换且向量按列排，初等行变换）

4.求某抽象表达式的逆或可不可逆：

只要构造AB=E的形式

5.相关证明用解题思路模板@就好，其他特殊不好直接证明的可用定义法，元素法（每个均为0），反证法

补充：

　　三、向量

向量组的线性相关与线性无关是一个重点，要求掌握向量组线性相关、线性无关的性质及判别法，常以选择题、解答题形式出现。

正交矩阵也可以作为一个重点掌握。

考查最多的是施密特正交化法。

题型：

本质看有多少个有效向量，即R（A）=极大线性无关组中向量个数

1.矩阵等价（秩相同）不同于向量组等价（不仅秩相同，而且要“对应”）

2.证明题两个思路：

1.定义k1α+k2β+…+ksγ=0，根据条件做成A或A-E或αT等使k全为0；

2.设出各自极大线性无关组，用极大线性无关组去相关证明

3.特殊公式：

若AB=O，则R（A）+R（B）<=n（n为A的列）

4.R（AAT）=R（A）：

AATX和AX同解；

3.将C的列向量看着BX=O①的解和ABX=O（A可逆）②的解；①②同解；R（①解空间）<=R（②解空间）

4.α不等于0时，向量内积αTα>0例如：

AX（AX）T>0

5.是对称矩阵一定可以对角化，又R（A）=R（Λ），所以R（A）=非0特征值得个数（其他矩阵不行）

6.注意不同矩阵的不同特征值的特征向量一定线性无关（要Schmidt正交化），其中正交矩阵不同特征值的特征向量是正交！

补充：

四、线性方程组

方程组解的讨论、待定参数的解的讨论问题是重点考查内容。

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

实质：

AX=O和AX=β（注意R（A|β）=R（A））有效方程的个数R（A）与变量n（n为A的列向量个数）关系

题型分析：

1.A的行分块和列分块，来转化为向量组线性相关，无关问题

2.AX=O的解R=n-R（A）和AX=β的解R=n-R（A）+1[因为多了个特解]

3.这是前提：

R（A|β）=R（A）

补充：

　　五、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值、特征向量的计算以及矩阵的对角化是重点。

对于抽象矩阵，要会用定义求解;对于具体矩阵，一般通过特征方程求特征值，再利用求特征向量。

相似对角化要掌握对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别。

题型分析：

1.|A|=∏aiiΣaii=Σλii快速确定对角线上的参数a；

2.实对称矩阵的对角化：

注意（λE-A）X=0；若λ为k重根，必有R（λE-A）=n-k个线性无关的特征向量；

3.为什么求实对称矩阵的正交矩阵

补充：

　　六、二次型

　　这部分需要掌握两点：

一是用正交变换和配方法化二次型为标准形，重点是正交变换法。

需要注意的是对于有多重特征值时，解方程组所得的对应的特征向量可能不一定正交，这时要正交规范化。

二是二次型的正定性，掌握判定正定性的方法。

重点分析：

1.二次型是一个数值，而不是矩阵（矩阵是二次型所对应的矩阵），所以（XTAX）T=（XTAX）

2.正定性判别：

1.定义法：

构造XTATAX=（AX）T>=0

2.特征值：

正定则所有特征值都大于0

3.各阶顺序主子式均大于0

4.合同于E（注意：

不一定是正交矩阵）

5.合同于已知矩阵

6.正惯性指数p=n（可用配方法：

本质还是因为定义，因为平方和大于0（对于任意非0向量））

3.求二次型的标准型：

1.配方法2.特征向量矩阵法：

什么时候求正交矩阵？

当需要求P-1时，因为正交矩阵有如下性质：

P-1=PT

2013大题考试题型预测

2013考研高等数学二六大必考题型总结

第一：

求极限。

每年必考的内容。

区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。

比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法。

另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!

第二：

利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。

证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。

等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。

这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。

第三：

一元函数求导数，多元函数求偏导数。

　一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数，证明不等式成立，一般都要求到3阶的时候;多元函数（主要为二元函数）的偏导数基本上每年都会考查是隐函数（包括方程组确定的隐函数）。

另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。

极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。

第四：

二重积分的几何应用。

主要是积分顺序不同变换和奇偶性，对称性应用，面积计算与旋转体积计算及直角坐标，极坐标的应用求解

第五：

微分方程问题。

解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，记住常用形式.注意：

研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。

这需要考生对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。

第六：

线性代数（3选2）

1.向量组线性相关性及无关性证明

1.特征值特征向量：

通过条件先求带参矩阵的参数（注意其中不为0的k阶子式），再求特征值特征向量

2.二次型应用。

　　这六大题型可以说是考试的重点考查对象，考生可以根据自己的实际情况围绕重点题型复习，争取达到高分甚至满分!