第四章杆件的变形简单超静定问题.docx
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第四章杆件的变形简单超静定问题
第四章杆件的变形简单超静定问题
一、基本要求
1.熟练掌握拉（压杆变形计算
2.熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件
3.掌握积分法求梁的弯曲变形
4.熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算
5.理解超静定概念,熟练掌握简单超静定问题的求解方法
6.了解弹性体的功能原理,掌握杆件基本变形的应变能计算
二、内容提要
1.拉（压杆的轴向变形、胡克定律
拉（压杆的轴向变形为l∆,lll-=∆1,式中l、1l分别为变形前、后杆的长度。
当杆的应力不超过材料的比例极限时,可以应用胡克定律计算杆的轴向变
形,即
EA
lFlN⋅=
∆（4.1
图4.1
式中,EA称为杆件的抗拉（压刚度。
显然,轴力FN为正时,△l为正,即伸长变形;轴力FN为负时,△l为负,即缩短变形。
公式（4.1的适用条件:
（1材料在线弹性范围,即pσσ≤;
（2在长度l内,FN,E,A均为应力常量。
当以上参数沿杆轴线分段变化
时,则应分段计算变形,然后求代数和得总变形。
即
∑
==
∆n
ii
iiNAElFli1
（4.2
当FN,A沿杆轴线连续变化时,式（4.2化为（（
⎰
=
∆l
NxEAdxxFl0
（4.3
2.拉压超静定问题
定义杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目,仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。
这类问题,称为超静定问题,或静不定问题。
超静定问题的求解方法根据变形协调条件建立变形几何方程,将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程,再与静力平衡方程联立求解,可得到全部未知力。
解题步骤:
（1画出杆件或节点的受力图,列出平衡方程,确定超静定次数;（2根据结构的约束条件画出变形位移图,建立变形几何方程;（3将力与变形间的物理关系代入变形几何方程,得补充方程;（4联立静力平衡方程及补充方程,求出全部未知力。
超静定结构的特点:
（1各杆的内力按其刚度分配;
（2温度变化,制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。
3.圆轴的扭转变形与刚度条件超静定问题1,变形计算
圆轴扭转时,任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。
相距为l的两个横截面的相对扭转角为
dxGI
T
l
P
⎰=
ϕ（rad（4.4
若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数,则上式化为
P
GI
Tl=
ϕ（rad（4.5
图4.2
式中PGI称为圆轴的抗扭刚度。
显然,
的正负号与扭矩正负号相同。
公式（4.4的适用条件:
（1材料在线弹性范围内的等截面圆轴,即Pττ≤;
（2在长度l内,T、G、PI均为常量。
当以上参数沿轴线分段变化时,
则应分段计算扭转角,然后求代数和得总扭转角。
即
∑==
n
iPiiii
IG
lT1
ϕ（rad（4.6
当T、PI沿轴线连续变化时,用式（4.4计算ϕ。
2,刚度条件
扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角max'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即
[]''maxmaxϕϕ≤=
P
GI
T
（rad/m（4.7
式[]'180
'maxmaxϕπ
ϕ≤⨯
=
︒
P
GI
T
（m/︒（4.8
根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。
3,扭转超静定问题
定义当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定,这类问题称为扭转超静定问题。
扭转超静定问题的解法根据变形协调条件建立变形几何方程,将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程,再与静力平衡方程联立求解,可得全部未知力偶。
4.梁的变形挠曲线近似微分方程及其积分1,挠曲线挠度与转角在外力作用下,梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线,称为挠曲线。
在对称弯曲情况下,挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线,其方程为
（xf=ω
梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移,称为挠度,用ω表示。
梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度,称为截面转角,用θ表示。
小变形时,有图4.3
（xf''tan==≈ωθθ
在图4.3所示坐标系中,向上的挠度和反时针的转角为正,反之为负。
2,挠曲线的近似微分方程及其积分
在分析纯弯曲梁的正应力时,得到弯矩与曲率的关系
EI
M=
ρ
1
对于跨度远大于截面高度的梁,略去剪力对弯曲变形的影响,由上式可得
（
（EI
xMx=
ρ1
利用平面曲线的曲率公式,并忽略高阶微量,得挠曲线的近似微分方程,即
（EI
xM=
''ω（4.9
将上式积分一次得转角方程为
（C
dxEI
xM+=
=⎰
'ωθ（4.10
再积分得挠曲线方程（D
CxdxdxEIxM++⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
⎰⎰
ω（4.11
式中,C,D为积分常数,它们可由梁的边界条件确定。
当梁分为若干段积分时,
积分常数的确定除需利用边界条件外,还需要利用连续条件。
挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的,称为边界条件。
挠曲线是一条连
续光滑的曲线,在其上任意一点,有唯一确定的挠度与转角,称为连续性边界条件。
3,梁的刚度条件
限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值,就得到梁的刚度条件,即
[]ωω
≤max
[]θθ
≤max
（4.12
5.用叠加法求弯曲变形
叠加原理在小变形和线弹性范围内,梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角,分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。
应用叠加原理的条件小变形与材料在线弹性范围。
6.简单超静定梁
梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目,仅由平衡方程不能确定全部未知力,这类梁称为超静定梁。
超静定梁的解法与前述拉（压杆、扭转超静定相同。
具体步骤如下:
1,首先判断超静定梁的次数。
解除多余约束代之以多余约束力,得到原超静定梁的相当系统。
注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。
2,根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同,建立变形协调方程。
3,将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程,得补充方程。
由补充方程解出多余约束力。
4,由平衡方程求梁上其余的约束反力。
然后就可以进行梁的强度与刚度的
计算。
7.杆件的应变能
1,应变能弹性体在外力作用下,因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量,称为应变能或变形能。
用εV或rV表示。
2,弹性体的功能原理在弹性体变形过程中,储存在弹性体内的应变能εV（或rV在数值上等于外力所做的功W,即
WV=ε（4.13
图4.4
3,轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内,由功能原理得lFWV∆=
=21ε
当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时,由胡克定律EA
lFlN=∆,可得
EA
lFVN22
=
ε（4.14
杆单位体积内的应变能称为应变能密度,用εV表示。
线弹性范围内,得σεε2
1=
V（4.15
4,圆截面直杆扭转应变能
在线弹性范围内,由功能原理得ϕ
erMWV2
1==
将TMe=与P
GI
Tl=
ϕ代入上式得
P
rGI
l
TV22
=
（4.16图4.5
根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功,得应变能的密度rV:
rVrτ2
1=
（4.17
5,梁的弯曲应变能
在线弹性范围内,纯弯曲时,由功能原理得
θ
εeMWV21==
将MMe=与EI
Ml=
θ代入上式得
EI
lMV22
=
ε（4.18
图4.6
横力弯曲时,梁横截面上的弯矩沿轴线变化,此时,对于微段梁应用式（4.18,积分得全梁的弯曲应变能εV,即
（⎰
=
l
EI
dx
xM
V22
ε（4.19
三、典型例题分析
例4-1设横梁ABCD为刚体。
横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的
一直线。
小变形条件下。
可以“以切线代替圆弧”画变形图。
由B1向钢索作垂线得B'点,设1lBB∆='。
同理由D1向钢索作垂线得D'点,设2lDD∆='。
则钢索的伸长为21lll∆+∆=∆。
由胡克定律
mm368.1m10
368.110
36.76101776.11056.113
6
9
3
N=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
=
∆--EA
lFl由图C,得C点的垂
直位移Cδ为
（
mm79.060sin260sin260sin60sin212
1212111
1=︒
∆=︒∆+∆=
⎪⎭⎫⎝⎛︒∆+︒∆=
+=
=lllllDDBB
CCCδ
解法二用能量法求解C点的垂直位移
解:
1.求钢索内的应力
与解法一相同,得kN56.11N=F
MPa151N==
A
Fσ
2.求C点的垂直位移Cδ
由弹性体的功能原理WV=ε,即
CFEA
lFδ2
122
N=
m10
79.010
2010
36.76101776
.11056.11（3
3
6
9
2
3
2
N--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
EAF
lFCδ
0=∑xF
030cosN2N1=-︒FF
（1
作结构的变形位移图如图c所示。
图中tl∆为温度引起的变形,1l∆为N1F引起的变形,2l∆为N2F引起的变形。
小变形条件下,以切线代替圆弧。
变形后B点位移至B1点,即两杆在B1点铰接。
由图c得变形协调方程
1230coslllt∆-∆=︒∆
（2
物理方程为
EA
lFlEA
lFllTllt2N21N1,30cos,30cos=
∆︒
=
∆︒⋅∆⋅=∆α
（3
式中T∆为温度改变量。
将式（3代入式（2,得补充方程
︒
-
︒⋅∆⋅=︒30cos30cos30cos1N2NEAlFlTEA
lFlα
（4
联立求解式（1与式（4,得
130cos3
1N+︒⋅∆=
EATFlα︒=30cos1N2NFF
杆1（拉应力MPa3.301
30cos3
1N1=+︒∆=
=
TE
AFlασ
500
nm,.N42729549
m,.N2848954931e22e====n
PMn
PM
2作轴的扭矩图,如图b所示。
3按强度条件设计直径
[]ττ≤=
P
WTmaxmax,16
W3
Pdπ=
[]
3
τπd≥
∴
AB段mm
3.80m10
3.8010
707120
163
3
6
1=⨯=⨯⨯⨯≥
-πd
BC段mm
7.67m10
7.6710
704272
163
3
6
2=⨯=⨯⨯⨯≥
-πd
4按刚度条件设计直径
[]ϕπ
ϕ'≤︒
⨯
='180maxmax
p
GI
T,32
I4
Pdπ=
[]
4
2
18032ϕπ
'︒
⨯≥
GTd
AB段mm
9.84m10
9.84110801807120323
4
2
9
1=⨯=︒
⨯⨯⨯︒⨯⨯≥
-π
d
BC段mm
7.74m10
7.74110801804272323
4
2
9
2=⨯=︒
⨯⨯⨯︒⨯⨯≥
-π
d
经比较,取mm851=d,mm752=d
2.若AB和BC两段选用同一直径,则mm85=d。
3.若将主动轮放在两从动轮之间,则m.N4272max
=T,有利于提高轴的强
度和刚度,故较合理。
EI
awB
A
4=⋅'='θ
2在均布载荷q单独作用时,图（c所示,为求B
θ''与Aw'',可利用图（d与（e两种情况,即分别考虑AB段与BC段的变形。
由图（e,查表4.1得
EI
qa
EIa
qa
B
332213
2
-
=⋅-='θ
由图（d、（e两种情况,应用叠加法,得
EI
qa
aEI
qa
EI
qa
wA
2411384
3
4
-
=⋅-
-=''
3在两种载荷共同作用下,应用叠加法得
EI
qa
EI
qa
EIqa
BB
B12343
3
3
-
=-
=''+'=θθθ
EI
qa
EI
qa
EI
qa
wwwA
AA245241144
4
4
-
=-
=''+'=
DC（1
由表4.1,得
wD=
（2）由胡克定律，得∆l=FN×233EIFNlEA（3）为求图b中BE梁C点的挠度，将F等效平移至C点，如图c所示，这样做并不改变BC段的边界条件与受力，故有wC=（F−FN×233EI+F×2×222EI（4）将式
（2）、（3）与（4）代入式
（1），得补充方程8（F−FN4F8FNFNl+−=3EIEI3EIEA（5）由式（5）解得FN=0.91FwD=FN×230.91×50×103×8=5.05×10−3m=5.05mm=63EI3×24×10本章小结1.杆件发生拉伸和压缩变形时，杆件的伸长为∆l=2.杆件发生扭转变形时的变形计算公式Nlσ,ε=EAEφ=强度条件TlGIρτmax=刚度条件T≤[τ]Wtϕ=T180×≤[ϕ]GIρπ
其中剪切胡克定律，危险剪应力τ0（[τ]=τ0n）均依赖扭转实验研究。
3.在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。
变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度v；横截面变形前后的夹角称梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线v（x。
挠度曲线v（x为转角θ。
的一阶导数即为转角θ（x=dv（x。
dxd2v（xM（x4．根据小挠度微分方程=，对M（x积分一次，求得EIdx2θ（x=积分二次，求得dv（xM（x=∫dx+CdxEIM（xdxdx+Cx+DEI若M（x分为n段，则应分n段进行积分，出现2n个积分常数。
积分常数根据边界v（x=∫∫条件和连续条件确定。
由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：
受力（弯矩）和边界条件。
5．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移：
将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。
6．若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。
两者数目的差值n为静不定次数。
n次静不定必须列出n个补充方程。
根据相当系统的挠曲线和原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。
7．根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为：
减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度EI。
8.求解超静定问题时，需要将静力平衡方程和由几何方程、物理方程得到的补充方程联立求解。
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