初中数学竞赛训练题图片版有答案.docx

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初中数学竞赛训练题图片版有答案

初中数学竞赛训练题

1.

（1）如图所示，四边形ABCD为正方形，点G在DC延长线上，且四边形CEFG也为正方形，连DE交BG于点H，求证：

点H在AF上

（2）推广到一般情况，如图所示，若点G不在直线DC上，其他条件不变，求证：

点H在AF上

解析：

（1）法一：

本小题可采用第

（2）题的方法。

法二：

证点H在AF上

不妨考虑构建平面直角坐标系，表示A,H,F三点坐标即可。

（2）证A,H,F三点共线即证∠AHB=∠GHF，经观察易知，∠AHB=∠GHF=45°，所以下面只需求出这两个角的度数即可。

不难发现BG⊥DE，则A,B,H,D四点共圆，则∠AHB=∠ADB=45°，类似地可得到∠GHF=45°。

答案：

（1）解析法：

以D点为原点，DC为x轴，AD为y轴构建平面直角坐标系

设AD=1，CG=a

则易知A（0,1），G（a+1,0），B（1,1），C（1,0）E（1，a），F（a+1，a）

设直线DE解析式为y=kx

∴k=a

∴DE:

y=ax

同理可得，BG：

y=-1/a+1+1/a，AF：

y=（a-1）x/（a+1）+1

又DE:

y=ax交BG于点H

∴H{（a+1）/（a²+1）,（a²+a）/（a²+1）}

又AF：

y=（a-1）x/（a+1）+1

将点H坐标代入直线AF得点H在AF上

（2）证平角：

∵∠DCB=∠ECG=90°

∴∠DCE=∠BCG

所以△DCE≌三角形BCG（SAS）

∴∠CDE=∠CBG

∴∠DCB=∠DHB=90°

又∠DAB=90°

∴∠DAB+∠DHB=180°

∴A,B,H,D四点共圆

∴∠AHB=∠ADB=45°

同理可得，∠GHF=∠GCF=45°

∴∠AHB=∠GHF

∴点H在AF上

总结：

①本题第

（1）小题可采用第

（2）小题的方法。

②本题第

（2）小题中证明∠AHB=45°的方法还有很多，可以过A向DH,BH作垂线证AH平分∠DHB。

2.如图所示，点M为四边形ABCD边BC中点，2S△ABM=S四边形ABCD，求证：

AB∥CD

解析：

处理四边形ABCD面积的方法不宜采用分割法，否则会破坏△ABM的完整性，而应该采用补形法，M点为中点，所以中线倍长AM。

答案：

如图所示，延长AM至E使M为AE中点，连DE,CE

又∵M为BC中点

∴四边形ABCE为平行四边形

∴AB∥CE，S△ABM=S△ECM

∴S四边形ABCD=S四边形ADCM+S△MCE

∵M为AE中点

∴S△ADM=S△DME=½S△ADE

又2S△ABM=S四边形ABCD

∴S四边形ADE=S四边形ABCD

又S四边形ABCD=S四边形ADCM+S△MCE

∴S△DCE=0

∴D,C,E三点共线

由AB∥CE可得AB∥CD

总结：

证明三点共线的方法除了证平角之外，还可以证其面积为零，类似方法的题目可见1996年全国初中数学联赛题：

求证：

如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形内心

3.如图所示，点A在双曲线y=k/x（k＞0）上，过O作OB⊥OA交y=-k/x于点B，求证：

OA=OB

解密:

OA,OB均为斜向线段，应将斜向线段化为水平线段，故过A,B作x轴垂线，通过全等来证明OA=OB，

答案：

过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N

法一：

相似形：

易知S△AOM=S△BON=2/k

易证△AOM∽△BON

∴S△AOM/S△BON=（OA/OB）²=1

∴OA/OB=1

即OA=OB

法二：

解析法：

设A（a，ma）

∴OA：

y=mx，k=ma²

∵OA⊥OB

∴OB：

y=x/m

又B在y=-ma²/x上

∴B（-ma，a）

又A（a，ma）

∴OM=BN=a，ON=AM=ma

∴△AOM≌△BON（SAS）

∴OA=OB

总结：

法二应用了“两直线垂直，斜率乘积为-1”这一结论。

4．如图所示，AD平分∠BAC，若AB/BD=AC/CD，求证：

AB=AC

解密：

由AB/BD=AC/CD可得AB/AC=BD/CD，注意到AD为角平分线，角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，所以延长AD与BC相交。

答案：

延长AD交BC于E

过C作CF∥AB交AE于F

过C作CG∥BD交AF于G

∴△ABE∽△FCE

△BED∽△CEG

∠BAD=∠F=∠CAD

∠BED=∠CGE

∴AC=FC

AB/FC=BE/EC

BD/BE=CG/CE

∴AB/AC=BE/EC

又AB/BD=AC/CD

∴AB/AC=BD/CD

∴BD/BE=CD/CE

又BD/BE=CG/CE

∴CD=CG

∴∠CDE=∠CGD=∠BDE

∴∠ADB=∠ADC

又∠DAB=∠DAC

∴△DAB≌△DAC

∴AB=AC

总结：

本题应用了角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例的性质，希望同学们多多注意。

5.如图所示，在四边形ABCD中，DC＞AB，AC交BD于O，∠BAD+∠BCD=180°，AC=BD，求证：

四边形ABCD为等腰梯形。

解密:

本题的条件不多，并未告诉AB∥DC，所以欲证ABCD为等腰梯形，可证

△OAB,△ODC均为等腰三角形。

由∠BAD+∠BCD=180°可得A,B,C,D四点共圆，再得到OA·OC=OB·OD。

答案：

∵∠BAD+∠BCD=180°

∴A,B,C,D四点共圆

由相交弦定理可得，OA·OC=OB·OD

设OA=a，OB=b，（b≥a）OC=c，OD=d（d≥c）

∴ab=cd，a+b=c+d

∴a，b为方程x²-（a+b）x+ab的两实根

c,d为方程x²-（c+d）x+cd的两实根

∴a=c,b=d

∴OA=OB,OC=OD

∴∠OAB=∠OCD,∠ODC=∠OCD

又∠OAB+∠OBA=∠BOC=∠ODC+∠OCD

∴∠OAB=∠OCD=∠ODC=∠OCD

∴AB∥CD

又AC=BD

∴四边形ABCD为等腰梯形

总结：

有的题目条件不多，用几何方法做不出来，这时可以从纯代数角度考虑。

6.若实数x，y，z满足条件

①x+y+z=6

②xy+z²=8

求z的取值范围。

解密：

求参数取值范围可用主元法，将x和y视为主元，得到x+y=6-z，

xy=8-z²，再来求z的取值范围。

答案：

∵x+y+z=6

xy+z²=8

∴x+y=6-z

xy=8-z²

∴（x+y）²=（6-z）²=z²-12z+36=x²+y²+2xy

∵（x-y）²=x²+y²-2xy≥0

∴x²+y²≥2xy

∴x²+y²+2xy=（x+y）²≥4xy

又（x+y）²=z²-12z+36

xy=8-z²

∴z²-12z+36≥4（8-z²）

即5z²-12z+4≥0

即（z-2）（5z-2）≥0

若z-2≥0，5z-2≥0，则z≥2

若z-2≤0,5z-2≤0，则z≤2/5

综上所述，z≥2或z≤2/5

总结：

①求参数取值范围的常用方法是主元法

②注意不等式x²+y²≥2xy

7.若整数a，b，c，d满足a+b+c为偶数，且a²+b²+c²=d²，求证：

d为偶数

解密：

题目中给出了呵a²+b²+c²，a+b+c有关的条件，可以很容易想到公式

（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc），接下来就容易了。

答案：

∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）

∴a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

∵a²+b²+c²=d²

∴（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）=d²

∴（a+b+c）²-d²=2（ab+ac+bc）

∴（a+b+c+d）（a+b+c-d）=2（ab+ac+bc）

∵2（ab+ac+bc）为偶数

∴（a+b+c+d）（a+b+c-d）为偶数

又a+b+c+d，a+b+c-d奇偶性相同，且a+b+c为偶数

∴d为偶数

总结：

熟记结论：

若p，q为整数，则p+q，p-q奇偶性相同

8.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥AC，BC⊥BD，BC=2BD，求证：

S△BDC≥S△ABC

解密：

本题中∠A=∠DBC=90°，所以△ABC,△DBC的面积均可用AB,AC,BC,BD来表示。

欲比较△ABC,△DBC的面积关系，只需寻找AB,AC,BC,BD四条线段之间的关系即可。

答案：

设AB=a，AC=b，BC=c，则BD=2/c

由题意可知，

a²+b²=c²

∵（a-b）²=a²+b²-2ab≥0

∴a²+b²≥2ab

又∵a²+b²=c²

∴2ab≤c²

S△ABC=AB·AC/2=ab/2

S△DBC=BD·BC/2=c²/4

∵2ab≤c²

∴ab/2≤c²/4

∵S△ABC=AB·AC/2=ab/2

S△DBC=BD·BC/2=c²/4

∴S△BDC≥S△ABC

总结:

同学们遇到比较面积关系问题时，可用尝试转化为比较线段关系。

9.求cot52.5°的值

解密：

联想到52.5°可以作为75°顶角的等腰三角形底角，恰好75°是一个特殊角。

答案：

如图，AB=AC，∠B=52.5°

∴∠B=∠BCA=52.5°

∴∠BAC=75°

过C作CD⊥AB于D

∴∠ADC=90°

又∠BAC=75°

∴∠ACD=15°

作∠DAE=60°

∵∠ADE=90°

∴AE=2AD，∠AED=30°

在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²

∴DE=√3AD

∵∠AED=30°=∠EAC+∠ECA，∠ECA=15°

∴∠EAC=∠ECA=15°

∴AE=EC=2AD

设AD=1

∴DE=√3，AD=EC=2

∴CD=2+√3

在Rt△ADC中，AD²+DC²=AC²

∴AC=√{1²+（2+√3）²}=√6+√2

∵AB=AC

∴AB=√6+√2

又AD=1

∴BD=√6+√2-1

∴cot∠B=BD/DC=（√6+√2-1）/（2+√3）=√6+√3-√2-2

即cot52.5°=√6+√3-√2-2

总结：

本题给出了求cos75°的方法，构图法是求特殊角三角函数的常用方法，希望同学们多多注意。

10.已知正整数x，y满足x²-8=y（x-2），求y的值。

解密：

将条件式变形可以得到一个关于x的整系数一元二次方程，若方程的解x为整数，则方程的判别式△应为完全平方数

答案：

∵x²-8=y（x-2）

∴x²-yx+（2y-8）=0

其中y，2y-8均为整数

由题意可知，原方程有整数解

∴△=y²-4（2y-8）=y²-8y+32应为完全平方数

不妨设y²-8y+32=k²（k为整数）

∴y²-8y+16+16=（y-4）²+16=k²

∴k²-（y-4）²=16

即（k+y-4）（k-y+4）=16

因为k+y-4，k-y+4奇偶性相同

∴k+y-4=8，k-y+4=2

或k+y-4=-8，k-y+4=-2

或k+y-4=4，k-y+4=4

或k+y-4=-4，k-y+4=-4

∴y=1,4或7

若y=1，则x²-x-6=0，解得x=-2或x=3（y=1舍去）

若y=4，则x²-4x=0，解得x=0或x=4（y=4舍去）

若y=7，则x²-7x+6=0，解得x=1或x=6

∴y=7

总结：

一元二次方程可以运用判别式求方程中的参数值或取值范围