高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面.docx

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高考数学大一轮复习第八章立体几何84直线平面

8.4直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直

（1）定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直.

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

⇒l⊥α

性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

2.平面与平面垂直

（1）平面和平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

【知识拓展】

重要结论

（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）.

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　×　）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（　×　）

（3）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.（　√　）

（4）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.（　×　）

（5）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.（　√　）

1.（教材改编）下列命题中正确的是________.

①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β；

②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.

答案　②③④

解析　根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.

2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_________条件.

答案　充分不必要

解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.

3.（2016·连云港模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________.

①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；

④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.

答案　④

解析　①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中，m与n可平行、可异面；③中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故③错误；④中，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴存在l⊂β，l∥n，∴l⊥α，∴α⊥β.

4.（2016·徐州模拟）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

_________________________________________________________.

答案　可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个

5.（教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

答案　

（1）外　

（2）垂

解析　

（1）如图1，连结OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.

（2）如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

又AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，

又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.

同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，

即O为△ABC的垂心.

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

OD′＝

.

证明：

D′H⊥平面ABCD.

证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得

＝

，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.

由EF∥AC得

＝

＝

.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键

（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；④面面垂直的性质.

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

　（2015·江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

证明　

（1）方法一　取PA的中点H，连结EH，DH.

又E为PB的中点，

所以EH綊

AB.

又CD綊

AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.

所以CE∥平面PAD.

方法二　连结CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝

AB.

又CD＝

AB，

所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.

因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.

又因为AB⊥PA，

所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.

又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.

所以AB⊥平面EFG.

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又因为MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1.在本例条件下，证明：

平面EMN⊥平面PAC.

证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，

且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面PAC.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EMN⊥平面PAC.

2.在本例条件下，证明：

平面EFG∥平面PAC.

证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC，

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理，FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

思维升华　

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

　（2016·江苏）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明　

（1）由已知，DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，

A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1，

∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，

又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，

A1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴B1D⊥平面A1C1F，

又∵B1D⊂平面B1DE，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

题型三　直线、平面垂直的综合应用

例3　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.

（1）设M是PC上的一点，求证：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积.

（1）证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4

，

∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD，

∴平面MBD⊥平面PAD.

（2）解　过P作PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

即PO为四棱锥P—ABCD的高.

又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2

.

在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

∴四边形ABCD为梯形.

在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

＝

，

此即为梯形的高.

∴S四边形ABCD＝

×

＝24.

∴VP—ABCD＝

×24×2

＝16

.

思维升华　垂直关系综合题的类型及解法

（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

（2）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.

（3）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.

　如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点.

（1）若N是PA的中点，求证：

平面CMN⊥平面PAC；

（2）若MN∥平面ABC，求证：

N是PA的中点.

证明　

（1）因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面PAC，

又M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，

又PE∥CB，所以MN∥BC，

即MN⊥平面PAC，又MN⊂平面CMN，

所以平面CMN⊥平面PAC.

（2）因为PE∥CB，BC⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，

所以PE∥平面ABC，

设平面PAE∩平面ABC＝l，则PE∥l.

又MN∥平面ABC，MN⊂平面PAE，所以MN∥l.

所以MN∥PE，

因为M是AE的中点，所以N是PA的中点.

17.立体几何证明问题中的转化思想

典例　（14分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.

求证：

（1）AN∥平面A1MK；

（2）平面A1B1C⊥平面A1MK.

思想方法指导　

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

规范解答

证明　

（1）如图所示，连结NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，

∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]

∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.[6分]

（2）如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K，

∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.

∴MK⊥B1C.[12分]

∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[14分]

1.（2016·扬州模拟）给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两条直线相互平行；

②垂直于同一平面的两个平面相互平行；

③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.

其中真命题的个数是________.

答案　2

解析　由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错.

2.（2016·常州模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；

②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；

③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

答案　③

解析　①中，由m⊥n,n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.

3.（2016·无锡模拟）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.

答案　AB

解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.

∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.

4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是________.

①CC1与B1E是异面直线；

②AC⊥平面ABB1A1；

③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；

④A1C1∥平面AB1E.

答案　③

解析　①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.

5.正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则与直线CE垂直的有______.

①A′C′②BD

③A′D′④AA′

答案　②

解析　连结B′D′，

∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，

∴B′D′⊥平面CC′E.

而CE⊂平面CC′E，

∴B′D′⊥CE.

又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.

6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：

①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.

答案　①②③

解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，

∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.

7.（2016·镇江模拟）已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；

④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.

其中正确命题的序号是________.

答案　②③

解析　在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故①错误；因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a、b相交时结论正确，④错误.

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

解析　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

9.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________.

答案　①②③

解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.

故①②③正确.

10.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个.

答案　2

解析　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题.

11.（2016·连云港模拟）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是线段EF的中点.

（1）求证：

AM∥平面BDE；

（2）求证：

DM⊥平面BEF.

证明　

（1）连结BD，BD∩AC＝O，连结EO.

∵O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF为矩形，∴EM∥OA，EM＝OA，

∴四边形EOAM为平行四边形，∴AM∥EO，

∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

（2）由AB＝

，AF＝1，得DF＝DE＝

.

∵M是线段EF的中点，∴DM⊥EF，

连结BM，得BM＝DM＝

，

又BD＝2，∴DM⊥BM，

又BM∩EF＝M，∴DM⊥平面BEF.

12.（2016·北京）如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

（1）求证：

DC⊥平面PAC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由.

（1）证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.

（2）证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC.

（3）解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.

证明如下：

取PB的中点F，连结EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.

13.（2016·山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（1）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：

GH∥平面ABC.

证明　

（1）因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，

如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，

所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.

因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.

（2）设FC的