《平行线分线段成比例》教案 公开课.docx

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《平行线分线段成比例》教案公开课

第四章图形的相似

2．平行线分线段成比例

一、学生知识状况分析

学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。

从而认识了线段的比，成比例线段。

通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。

同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步开展了逻辑推理能力。

二、教学任务分析

本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。

平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最根本的理论，是?

课程标准?

图形的性质及其证明中列出的九个根本领实之一。

在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。

学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证〞的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

进一步开展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：

（一）知识目标

理解并掌握平行线分线段成比例的根本领实及其推论，并会灵活应用。

（二）能力目标

通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

（三）情感与价值观目标

〔1〕、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

〔2〕、在进行探索的活动过程中开展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学重点：

平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

教学难点：

平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

复习设疑，引入新课；第二环节：

探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：

平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：

课堂小结；第五环节：

布置作业．

第一环节：

复习设疑，引入新课

内容：

教师提问：

（1）什么是成比例线段？

（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两局部，使得这两局部的比是2:

3？

目的：

〔1〕复习成比例线段的内容，回忆上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。

〔2〕通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。

效果：

学生对不通过测量快速将一根绳子分成两局部，使得这两局部的比是2:

3，这一问题很感兴趣，急迫想要知道解决方法。

第二环节：

小组活动，探究定理

1.探究活动一：

内容：

如图〔1〕小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。

（1）计算

你有什么发现？

（2）将ｂ向下平移到如以以下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。

你在问题〔１〕中发现的结论还成立吗？

如果将ｂ平移到其他位置呢？

　（图2〕

〔３〕在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：

平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

目的：

让学生通过观察、度量、计算、猜想、验证、推理与交流等数学活动，到达对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

效果：

学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。

所以学生有种熟悉感，并不感到困难。

2.议一议：

内容：

教师提问：

1.如何理解“对应线段〞？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？

3.“对应线段〞成比例都有哪些表达形式？

假设a∥b∥c，那么

。

由比例的性质还可以得到：

，

，

等。

目的：

让学生在探究得出结论的根底上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。

并掌握定理的符号语言，进一步开展推理能力。

效果：

学生从几何直观上很容易找出“对应线段〞。

利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都表达了“对应〞二字。

2.探究活动二：

内容：

如图3，直线a∥b∥c，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。

过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。

〔如图4〕，图4中有哪些成比例线段？

〔图3〕（图4〕

推论：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

目的：

让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。

效果：

学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。

而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。

进一步探究内容：

熟悉该定理及推论的几种根本图形

目的：

加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，开展学生的应用能力。

效果：

经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其推论的本质特征。

3.探究活动三：

内容:

直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC那么图中还有哪些线段相等？

思考：

当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？

2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两局部，使这两局部之比是2:

3?

目的：

让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。

解决课堂引入时提出的问题。

效果：

学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。

第三环节：

灵活应用

内容：

例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,

〔1〕.如果AE=7,FC=4，那么AF的长是多少？

〔2〕.如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？

课堂练习：

1、如图，l1//l2//l3,

〔1〕.在图〔1〕中AB=5,BC=7，EF=4，求DE的长。

〔2〕.在图〔2〕中DE=6,EF=7，AB=5，求AC的长。

2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC,

〔1〕.如果AD=3.2cm,DB=1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

〔2〕.如果AB=5cm,AD=3cm，AC=4cm，那么EC的长是多少？

目的：

通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，标准书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。

效果：

由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要开展，实现理性升华，培养语言表达能力。

第四环节：

课堂小结：

内容：

本节课你有哪些收获？

目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面稳固平行线分线段成比例定理及其推论。

效果：

学生都能归纳出：

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

第五环节：

布置作业：

知识技能1、2、

问题解决3、4.

学法指导

本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程的方法，利用比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也常常出现错误.

在授课过程中要根据学生的个体差异，注意因材施教、分层教学，在教学中结合课本“想一想〞、“议一议〞、“做一做〞等教学环节调动学生的潜能，为每一位学生创设施展才能的空间，让学生学得轻松、愉快，培养学生的成就感，使每一位学生都能获得不同程度的成功。

同时把学生的活动贯穿于教学的整体过程中，提供学生学习合作、交流、探索、归纳的时机，使学生最大限度的动手、动口、动脑、同伴互助，让学生通过实际感悟平行线分线段成比例定理及其推论的区别与联系。

平行四边形的性质

总体说明

〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。

教学中可以通过让学生举实际生活中的例子，以加深学生对平行四边形的认识。

〔2〕教学中应引导学生通过操作与探索，发现平行四边形是中心对称图形，在此根底上认识平行四边形的性质。

〔3〕探索平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的性质解决问题。

第一课时

重点：

平行四边形的概念和性质

难点：

探索平行四边形的性质

解决过程

环节1：

学生举生活中平行四边形的实例；

回忆概念“两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形〞

并据此性质从图16.1.1中找出平行四边形。

环节2：

【探究】

学生操作探索：

如图16.1.2，在方格纸上画一个平行四边形。

如图16.1.2，用剪刀把

ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿

ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH。

在

ABCD中连接AC、BD，它们的交点记为O。

用一枚图钉在O点穿过，将

ABCD绕点O旋转180度。

观察旋转后的180度和纸上所画的

EFGH是否重合。

根据观察结果，运用上一章所学的知识，你能探索出

ABCD中存在哪些相等的边与相等的角？

让学生用数学语言描述观察和探索的结果，再试用文字总结，得“平行四边形的对边相等，对角相等〞。

【注意：

平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．〔教学时要结合图形，让学生认识清楚〕】【〔相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和七年级学的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．〕】

环节3：

理解和稳固：

例1如图16.1.4，在

ABCD中，∠A=40度，

求其他各个内角的度数。

例2如图16.1.5，在

ABCD中，AB=8，周长为24，求其余三条边的长

环节4、〔随堂练习〕

1．填空：

〔1〕在

ABCD中，∠A=

，那么∠B=度，∠C=度，∠D=度．

〔2〕

ABCD中，∠A—∠B=240°，那么∠A=，∠B=，∠C=，∠D=．

〔3〕如果

ABCD的周长为28cm，且AB：

BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．

〔4〕在

ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有．

第2课时

重点、难点

重点：

平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

难点：

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算

二解决过程

环节1

1．复习提问：

〔1〕什么样的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是：

〔2〕平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质〔内角和是

〕．

②角：

平行四边形的对角相等，邻角互补．

边：

平行四边形的对边分别平行且相等．

环节2【探究】：

在像上节课有图16.1.3那样的旋转过程中，让学生探究OA与OC、OB与OD的关系

〔1〕平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

〔2〕平行四边形的对角线互相平分

注意：

教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，假设AC与BD互相平分，那么有OA＝OC，OB＝OD．

环节3：

理解和稳固：

例3如图16.1.6，在

ABCD中，对角线AC和BD相交与点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？

环节4、〔随堂练习〕

1、如图，

ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=8，OB=6，那么OA=，OC=OD=BD=

2、在

ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC＋BD=24,且AC=3BD,那么OA=OB=

3、在平行四边形ABCD中，周长等于48，

1一边长12，求各边的长

2AB=2BC，求各边的长

3对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

第3课时：

平行线间距离处处相等的性质

一、重点：

平行线间距离处处相等的性质

难点：

平行四边形性质与平行线间距离处处相等性质的应用

二、解决过程

环节1：

学生回忆：

平行四边形的性质

环节2：

平行四边形性质的应用：

例1平行四边形的一个内角比它的邻角大42度，求四个内角的度数。

例2如图，在

ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足。

如果∠B=42°,那么∠D与∠DAE分别等于多少度？

例3如右上图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，两条对角线的和为36厘米，CD的长为5厘米，求三角形OCD的周长。

环节3：

学生实践操作：

在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取假设干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。

学生探索：

你发现什么结论？

在其中一条直线上再取一点，验证一下。

教师给出概念“两条平行线之间的距离〞

学生试总结平行线的性质：

平行线之间的距离处处相等。

环节4：

学生稳固：

例4如图，如果直线m∥n,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。

你能说出理由吗？

你还能在两条平行线m、n之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？

第4课时：

平行四边形的综合练习

一、重点：

平行四边形的性质的综合应用

难点：

开展学生进一步的推理能力和解决问题的能力

二、解决过程

环节1：

学生回忆：

平行四边形性质。

题组一：

〔复习〕

1、在

ABCD中，假设∠A+∠C=130,那么∠A=　　　　，∠B=　　　　。

2、在

ABCD中，假设周长为40厘米，两邻边AB与AD之比为：

3：

2，

那么CD=　　　　AD=　　　　。

3、ABCD中，∠A：

∠B：

∠C：

∠D的值可能是〔〕。

A1：

2：

3：

4　B1：

2：

2：

1　

C1：

2：

1：

2　D2：

2：

1：

1

环节2：

例1、四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及

ABCD的面积．

分析：

由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：

平行四边形的面积=底×高〔高为此底上的高〕，可求得

ABCD的面积．〔平行四边形的面积小学学过，再次强调“底〞是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底〞，“底〞确定后，高也就随之确定了．〕

解略．

环节3：

题组二〔稳固〕

1、在

ABCD中，AB=10，AB与CD之间的距离为6，那么S

ABCD=

2、平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度可以为〔〕。

A.8和12B.20和30C.6和8D.4和6

3、平行四边形被一条对角线分得的两个三角形〔〕。

A、关于该对角线成轴对称

B、关于该对角线的中心成中心对称

C、既关于该对角线成轴对称，又关于该对角线的中点成中心对称

D、既不关于该对角线成轴对称，又不关于该对角线的中点成中心对称

环节4：

思考与探究〔提高〕

1、如图，假设P点是

ABCD内的一点，连接AP、BP、CP、DP，假设△APB的面积是40平方厘米，△BPC的面积是25平方厘米，△CPD的面积是15平方平方，请问根据题目所给条件能求出△PAD的面积吗？

如能，请求出△PAD的面积；如不能，请说明理由。