四川省成都市双流中学学年高一下开学数学试题.docx
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四川省成都市双流中学学年高一下开学数学试题
四川省成都市双流中学2020-2021学年高一（下）开学数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．（）．
A．B．C．D．
2．已知中，，，，则等于（）．
A．或B．C．D．或
3．已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（）．
A．B．C．D．
4．在等差数列中，，公差，则（）
A．14B．15C．16D．17
5．在中，若，则是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．若，则化简的结果为（）
A．B．C．D．
7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）
A．B．C．D．
8．已知等比数列满足，，则（）
A．B．C．D．
9．若，则（）
A．B．C．D．
10．在中，内角的对边分别为，若，则角为（）
A．B．C．D．
11．已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）
A．B．C．D．
12．设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（）．
（1）若，则．
（2）若，则．
（3）若，则．（4）若，则．
A．
（1）
（2）B．
（1）（3）C．
（1）
（2）（3）D．
（1）（3）（4）
二、填空题
13．等差数列中，，，则与等差中项的值为_____
14．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值__________．
15．已知，，、均为锐角，则__________．
16．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_____________.
三、解答题
17．已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和，求的值.
18．已知向量，，设函数，．
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在区间上的单调性．
19．如图，在平面四边形中，，，的面积为．
⑴求的长；
⑵若，，求的长．
20．在中，角，，的对边分别为，，，若．设向量，．
（1）求角；
（2）若，边长，求的周长和面积的值．
21．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：
乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
22．已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立．
（1）判断在上的单调性,并用定义证明；
（2）解不等式：
；
（3）若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
利用诱导公式化简直接求值即可.
【详解】
故选：
C
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式，属于容易题.
2．A
【分析】
应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.
【详解】
解：
∵，，，
∴由得，
，
∴B＝或.
故选：
A.
【点睛】
本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.
3．D
【分析】
根据题意，利用余弦定理即可.
【详解】
在中，,
所以：
所以
故选：
D
【点睛】
本题考查了利用余弦定理求边长，属于容.易题
4．D
【解析】
本题选择D选项.
5．A
【分析】
已知等式利用正弦定理化简，把代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到或，经检验不为0，即，确定出为直角，即可做出判断.
【详解】
将，利用正弦定理化简得：
，
把代入得：
，
整理得：
，即或，
，为三角形内角，
，
，即，
则为直角三角形，
故选：
A.
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
6．C
【分析】
由，所以，再由正弦的二倍角公式可得，再求解即可.
【详解】
解：
因为，所以，
则=，
故选C.
【点睛】
本题考查了正弦的二倍角公式及确定角的正弦值与余弦值的大小关系，重点考查了运算能力，属基础题.
7．A
【分析】
先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项．
【详解】
解：
函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移个单位得到图象的解析式为
令，得，所以函数的对称中心为
观察选项只有A符合．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．
8．C
【分析】
根据等比中项，求出的值，再根据，求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
∵，
所以，故.
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题.
9．A
【分析】
利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.
【详解】
，
，
故选：
A.
【点睛】
该题主要考查诱导公式､二倍角的余弦公式的应用，属于中档题目.
10．A
【详解】
试题分析：
因为，
那么结合，
所以cosA==，
所以A=，故答案为A
考点：
正弦定理与余弦定理
点评：
本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.
11．C
【分析】
根据题意，用表示这个等差数列后三项和为，进而设，利用三角函数的性质能求最大值．
【详解】
设中间三项为，则，所以，，
所以后三项的和为，
又因为，所以可令，
所以
故选
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质．
12．B
【分析】
根据已知条件，可以由余弦定理以及基本不等式进行判断命题是否正确，或取特殊值进行判断即可.
【详解】
（1），可以得出，所以，故正确；
（2），得出，故错误；
（3）假设，则，与矛盾，
∴正确；
（4）取，满足，，错误．
故选：
B
【点睛】
本题考查了余弦定理，利用余弦定理来判断三角形的角度大小，属于一般题.
13．11
【分析】
由等差数列的性质可得：
，代入等差中项的公式即可得答案.
【详解】
由等差数列的性质可得：
，则与等差中项为；
故答案为：
11．
【点睛】
本题考查等差中项，当为等差数列时，则是解题的关键，考查分析理解的能力，属基础题.
14．
【解析】
在中，由，整理得，即，，为内角，或，因为ΔABC为锐角三角形，，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1）；
（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
15．
【分析】
通过已知角的余弦函数值，求出对应角的正弦函数值，再利用两角和差的余弦公式即可.
【详解】
因为、均为锐角，且，，
所以，，
又因为，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查了由所求角转化为已知角，再利用已知角的三角函数值代入求所求角的三角函数值，属于一般题.
16．
【分析】
先利用两角和的正弦公式化简整理，再结合题中范围与值域得到范围，即得结果.
【详解】
函数，
在上，，又在上的值域为，
，.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式与正弦型函数值域的应用，属于中档题.
17．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，解得，，
数列的通项为；
（2）数列的前项和，
由，化简得，即，.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.
18．
（1）最小正周期为;最大值为
（2）当时单调递增;当时,单调递减.
【分析】
（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式,求得函数的解析式,由周期公式及正弦函数的性质即可求得周期和最大值.
（2）根据自变量的取值范围,先求得的范围,结合正弦函数的单调性即可求得的单调区间.
【详解】
（1）因为向量,
则
由周期公式可得最小正周期为
由可得的最大值为
（2）因为
则
由正弦函数的图像可知,当时为单调递增,此时
时为单调递减,此时
综上可知,当时单调递增;当时,单调递减
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算,辅助角公式化简三角函数式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；
（2）由
（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．
【详解】
⑴∵，，的面积为
∴
∴
∴由余弦定理得
∴
⑵由
（1）知中，，
∴
∵,∴
又∵，
∴在中，由正弦定理得
即,∴
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
20．
（1）；
（2）6；
【分析】
（1）根据已知条件由正弦定理把角转化为边，再根据余弦定理公式即可；
（2）由向量数量积的运算可得到，再由余弦定理可求出，代入周长和面积公式即可求出.
【详解】
（1）由已知可得：
，即，
∴，∴
（2）由题意可知，即，∴
由余弦定理可知，，则
即，故周长为，
【点睛】
本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用，属于一般题.
21．
（1）m
（2）（3）（单位：
m/min）
【详解】
（1）在中，因为，，
所以，，
从而．
由正弦定理，得（）．
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：
）范围内．
考点：
正弦、余弦定理在实际问题中的应用.
【方法点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.
22．
（1）在上单调递增，证明见解析
（2）或或
【分析】
（1）利用函数单调性的定义,结合函数奇偶性和条件进行证明即可
（2）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解
（3）结合不等式恒成立,利用参数分离法进行求解即可
【详解】
解：
（1）任取,且,
则,为奇函数,
由已知得,,
即,
在上单调递增．
（2）,在上单调递增,
在上,．
问题转化为,
即,对恒成立．
下面来求的取值范围．
设．
①若,则,对恒成立
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