数学九年级上北师大版44探索三角形相似的条件同步训练A.docx
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数学九年级上北师大版44探索三角形相似的条件同步训练A
探索三角形相似的条件（A）
一、选择题
1.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）
A．B．
C．D．
2.△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）
A．27B．12
C．18D．20
3.已知△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，则△DEF的周长为（）
A．39B．26
C．52D．13
4.一个三角形三边之比为3：
5：
7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）
A．24cmB．21cm
C．13cmD．9cm
5.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：
2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）
A．1：
2B．2：
1
C．1：
4D．4：
1
6.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：
2．若BC=1，则EF的长是（）
A．1B．2
C．3D．4
7.相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为，那么小三角形的面积为（）
A．B．
C．D．
8.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：
1，则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为（）
A．4：
1B．1：
4
C．16：
1D．2：
1
二、填空题
9.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：
3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______．
10.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：
1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
11.若两个相似三角形的周长比为2：
3，则它们的面积比是______．
12.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：
9，则它们的相似比为______．
三、解答题
13.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
14.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
15.如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．
16.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
参考答案
一、选择题
1.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
答案：
AD
解析：
解答：
∵△ABC∽△DBA，
∴；
∴，
；
故选AD．
分析：
根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
2.△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）
A．27
B．12
C．18
D．20
答案：
C
解析：
解答：
设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18．
故选C．
分析：
设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
3.已知△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，则△DEF的周长为（）
A．39
B．26
C．52
D．13
答案：
C
解析：
解答：
∵△ABC的三边长分别为4，3，6，
∴△ABC的周长为：
4+3+6=13，
∵与它相似的△DEF的最小边长为12，
∴△DEF的周长：
△ABC的周长=12：
3=4：
1，
∴△DEF的周长为：
4×13=52．
故选C．
分析：
由△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，即可求得△AC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
4.一个三角形三边之比为3：
5：
7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）
A．24cm
B．21cm
C．13cm
D．9cm
答案：
A
解析：
解答：
设其余两边的长分别是xcm，ycm，
由题意得x：
y：
21=3：
5：
7，
解得x=9，y=15，
故其余两边长的和为9+15=24（cm）．
故选A．
分析：
根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
5.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：
2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）
A．1：
2
B．2：
1
C．1：
4
D．4：
1
答案：
C
解析：
解答：
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：
2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：
4．
故选：
C．
分析：
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
6.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：
2．若BC=1，则EF的长是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：
B
解析：
解答：
∵△ABC∽△DEF，相似比为1：
2，
∴，
∴EF=2BC=2．
故选：
B．
分析：
根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
7.相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为，那么小三角形的面积为（）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
解析：
解答：
根据题意两个三角形的相似比是5：
3，面积比就是25：
9，
大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16=2（），所以小三角形的面积为2×9=18（）．
故选D．
分析：
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求小三角形的面积为．
8.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：
1，则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为（）
A．4：
1
B．1：
4
C．16：
1
D．2：
1
答案：
D
解析：
解答：
∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：
1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：
1，
∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比2：
1．
故选D．
分析：
由△ABC与△DEF相似且面积比为4：
1，根据相似三角形对应的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可求得答案．
二、填空题
9.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：
3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______．
答案：
2：
3
解析：
解答：
∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：
3，
∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：
3，
故答案为：
2：
3．
分析：
相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
10.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：
1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
答案：
4：
1
解析：
解答：
∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：
1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：
1，
故答案为：
4：
1．
分析：
根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
11.若两个相似三角形的周长比为2：
3，则它们的面积比是______．
答案：
4：
9
解析：
解答：
∵两个相似三角形的周长比为2：
3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：
3，
∴它们的面积比是4：
9．
故答案为：
4：
9．
分析：
根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
12.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：
9，则它们的相似比为______．
答案：
2：
3
解析：
解答：
因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：
3，
故答案为：
2：
3．
分析：
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．
三、解答题
13.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
答案：
解答：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得．
解析：
分析：
先根据勾股定理求出BE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出EF的长．
14.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
答案：
解答：
设两个三角形的周长分别为x、y，
根据题意得，，
∴，
∵他们周长的和是240cm，
∴，
解得y=80，
x=2×80=160，
∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
解析：
分析：
设两个三角形的周长分别为x、y，根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程，然后求解即可．
15.如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．
答案：
解答：
①当△ADP∽△DPC时，
有
AP=2或9；
②当△ADP∽△BCP时，
，，
解得：
，
综上知：
AP=2或9或.
解析：
分析：
分△ADP∽△DPC和△ADP∽△BCP两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．
16.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
答案：
解答：
设运动了ts，
根据题意得：
AP=2tcm，CQ=3tcm，
则（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：
t=167；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：
t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：
167s或4s．
解析：
分析：
首先设运动了ts，根据题意得：
AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
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