天津大学现代设计方法习题及答案.docx
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天津大学现代设计方法习题及答案
习题一
1）论述产品设计过程中系统设计、参数设计及公差设计的目的与作用。
系统设计
根据产品的功能要求，进行产品的系统功能和原理设计，即将功能需求映射为物理原理，从而得到产品的初始设计方案。
通过对不同方案分析比较，得到合理的初始设计方案。
参数设计
基于初始设计方案，建立产品的系统模型，以性能、质量、成本等为优化目标，对产品的系统参数优化设计，通过系统参数的合理化，实现性能、质量、成本的综合最优。
公差设计
在参数设计基础上，进一步以性能、质量、成本综合最优为目标，对参数的公差
（如需波动的范围）进行优化。
2.）用黄金分割法求解
min
f（x）
（x-2）2，初始区间为[0,3]，迭代2次。
（10）
第一轮迭代：
a=0，b=3
x
（1）
1
a0.382（ba）1.146
1
f（x
（1））0.7293
x
（1）
2
a0.618（ba）1.854
2
f（x
（1））0.0213
12
f（x
（1））0.7293>f（x
（1））0.0213
淘汰区间
第二轮迭代：
[0,1.146]；新区间为
[1.146，3]
a=1.146，b=3
x
（2）
x
（1）=1.854
12
1
f（x
（2））0.0213
x
（2）
2
a0.618（ba）2.2918
2
f（x
（2））0.0851
21
f（x
（2））0.0851>f（x
（2））0.0213
淘汰区间
[2.2918,3]；新区间为
[1.146，2.2918]
f（1.146）=0.7293
f（2.2918）0.0851
f（
1.146+2.2918
）=0.0790
2
1
f（x
（2））f（1.854）0.0213
minf（x）0.0213，x*
1.854
3）论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点。
经典优化方法：
1.基于经典的线性、非线性数学规划理论；
2.一般需要解析形式的优化模型，只能处理模型简单的优化问题；
3.得到的结果一般为局部最优解。
现代优化方法
1.基于遗传、模拟退火等现代优化算法，并结合实验设计方法；
2.不需要解析形式的优化模型，可以处理模型复杂、多目标优化问题；
3.
x
可以得到全局最优解。
4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解
min
F（X）2
2
x
x
x
212
，初始点X（0）=[1，
1
1]（一维优化用解析法），迭代2次。
梯度法的原理：
基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n维优化问题求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
搜索方向：
（k）
F（X
（k）
（k）
）
（k）
S
（k）
最优步长：
迭代公式：
min
X
（k
F（X
X
1）
（k）
S
（k）
）
S
（k）
收敛判据：
解：
F（X（k））
F（X）
2x1x2
2x2x1
（0）（0）-3
SF（X）
-3
确定最优步长：
min
F（X（0）
F（X（0）））3（13）2
dF23（13）（3）0
d
1
1
3
0
1
3
0
3
X
（1）=X（0）
F（X（0））
F（X
（1））0，
0
F（X
（1））0，满足收敛条件
（1）
X
0
，F（X
0
（1）
）0
为问题的最优解。
5）论述优化问题的收敛准则。
数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列
[X（0）,F（X
（0））],[X
（1）,F（X
（1））],[X
（2）,F（X
（2））],......,[X（n）,F（X（n）
）]，当n时
，该序列收敛于优化问题的解。
根据序列理论，序列收敛的条件为：
相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：
X（n）
X（n1）1
F（X（n））
F（X（n
1））2
6）论述坐标轮换法的原理和局限性原理：
将n维问题转化为依次沿n个坐标方向轮回进行一维搜索。
局限性：
1）计算效率低，适合变量n<10的情况；
2）若目标函数具有脊线，算法将出现病态：
沿两个坐标方向均不能使函数数值下降，误认为最优点。
7）论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。
内点法：
1）初始点为严格内点；
2）仅能处理不等式约束；
3）可能存在一维搜索超界问题；
3）可以得到多个可行方案。
外点法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3）不存在内点法中的一维搜索超界问题；
4）一般仅能得到一个最终方案。
混合罚函数法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3）对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对等式约束和未被满足的不等式约束用外点法构造惩罚项；
4）采用外推法提高收敛速度。
8）何谓K-T（Kuhn-Tuker）条件？
用Kuhn-Tucker验证约束优化问题
min
F（X）
（x1
3）2
（x2
2）2
s.t.g1（X）
g2（X）
1250
x
x
22
x12x240
在点X*
2Kuhn-Tucker条件成立。
（15）
1
g3（X）
g4（X）
K-T条件：
x10
x20
约束极值点存在的条件。
x
x
设X
***
12
*T
x
n为非线性规划问题
minF（X）XEn
s.t.
gj（X）
0j1,2,,m
hj（X）0jm1,m2,,p
的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有q个约束条件为起作
J
用的约束，即
gi（X*）
0,h（X*）
0（i≠j，i+j=1,2,⋯q,如果在X*处诸起作
J
i
用约束的梯度向量
j
j
λ使下述条件成立
g（X*）、
h（X*
）（i+j=1,2,⋯q,F（X*）
q
i
i
ij1
g（X*）
h（X*）0
λ12
解：
q，其元素i为非零、非负的乘子,j为非零的乘子。
T
1
g（X*）
g（X*）
0；g（X*）
0，g（X*）0
2
3
4
起作用的约束为
g1（X），g2（X）
2（x13）2
2（x2
2）
2
2x1
4
2x2
2
1
2
F
g1
g
2
根据KT条件，应有
241
F1g1
2g2
12
222
0，则有
11〉0，1
3
2〉0
3
即，X*
2
满足K
1
T条件。
9.论述有限元分析的过程。
1）结构几何建模；
2）设定材料常数，弹性模量、泊松比。
。
；
3）载荷、位移边界条件；
4）划分单元，对单元编号e=1,2,3,⋯,n;
5）对节点编号k=1,2,3,⋯，,N列出单元与节点的对应关系表；
6）计算等效节点力；
7）形成单元刚度矩阵；
8）组装整体刚度矩阵；
9）引入位移边界条件；
10）求解刚度方程，得节点位移；
11）计算应力、应变及其分布。
习题二
1）论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数
f（x）4x2
4x1的一个搜索区间
（单峰区间）。
设初始点x0=0，初始步长h0=0.5。
（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。
对于给定的初始点x1和步长h，计算f（x1）和x2=x1+h点函数值f（x2）。
若f（x1）>f（x2），说明极小点在x1的右侧，将步长增加一倍，取x3=x2+2h。
若f（x1）说明极小点在x1的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点x3=x1–h。
若f（x3）即每跨一步的步长为前一次步长的2倍，直至函数值增加为止。
（2）
h0.5
x00
f（x0）1
x1x0h0.5
f（x1）2
x2x12h1.5
f（x2）
f（x0）
2
f（x1）
f（x2）
单峰区间为
[x0,x2],即[0,
1.5]
2）用黄金分割法求解
min
f（x）（x
1）2，初始区间为[0,2]，迭代2次。
（10）
第一轮迭代：
a=0，b=2
（1）
x1a0.382（ba）0.764
（1）
f（x1
（1）
x2
（1）
f（x2
）0.0557
a0.618（ba）1.236
）0.0557
（1）
（1）
f（x1）f（x2）
淘汰区间
[0,0.764]；新区间为
[0.764,
2]（或淘汰区间
[1.236,2]
；新区间为
[0,1.236]）
第二轮迭代：
a=0.764，b=2（a=0,b=1.236）
x
（2）
1.236,（x
（2）
0.764）
12
12
f（x
（2））0.0557（f（x
（2））0.0557）
x
（2）
a0.618（ba）1.528（x
（2）
a0.618（ba）0.472）
21
21
f（x
（2））0.2788（f（x
（2））0.2788）
2112
f（x
（2））0.2788>f（x
（2））0.0557（f（x
（2））0.2788>f（x
（2））0.0557）
淘汰区间[1.528,2]；新区间为
[0.764，1.528]（
淘汰区间[0,0.472]；新区间为
[0.472，1.236]）
f（0.764）=0.0557f（1.528）0.2788
f（0.472）=0.2788f（1.236）0.0557
f（0.764+1.528）=f（1.146）0.0213f（0.472+1.236）=f（0.854）0.0213
2
1
f（x
（2））f（0.236）0.0557
2
1
f（x
（2））f（0.236）0.0557
minf（x）0.0213，x*
1.146
minf（x）0.0213，x*
0.854
3）写出优化模型的标准式。
minF（X）
XDRn
D:
gj（X）
或
0,j
1,2,...,m;hj（X）
0,j
m1,m
2,...,p
mins.t.
F（X）
gj（X）
0,j
1,2,...,m;hj
（X）
0,j
m1,m
2,...,p
4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解
2
minF（X）2x2x5，初始点X（0）=[1，1]
12
（一维优化用解析法），迭代2次。
梯度法的原理：
基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n维优化问题求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
F（X）
4x12x2
第一次迭代：
（0）（0）-4
SF（X）
-2
确定最优步长：
（0）（0）22
mindFd
F（XS）2（14）（12）5
22（14）（4）2（12）
（2）0
5=0.2778
18
（1）（0）
=X
（0）
S
1
4
1
9
0.1111
=
1
2
4
0.4444
X
第二次迭代：
9
40.4444
（1）
（1）
S=-F（X）
9
8-0.8889
9
min
F（X
（1）
S
（1））2（1
9
4）2
9
（49
8）25
9
dF22（14）42（48）（8）0
d999999
5
0.4167
12
X
（2）X
（1）S
（1）
195
4
9=0.0741，
41280.0741
F（X
99
（2））5.033。
5）论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则
（1）一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当区间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为
ab1
f（a）
f（b）2
（2）多维优化问题数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列
[X（0）,F（X
（0））],[X
（1）,F（X
（1））],[X
（2）,F（X
（2））],......,[X（n）,F（X（n）
）]，当n时
，该序列收敛于优化问题的解。
根据序列理论，序列收敛的条件为：
相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：
X（n）
（n1）
X
1
F（X（n））
F（X（n
1））2
6）论述阻尼牛顿法的原理和局限性。
牛顿法的原理：
在X（k）的邻域内，用二次泰勒多项式近似原目标函数F（X），以该二次多项式的极小点作为F（X）的下一个迭代点X（k+1），并逐渐逼近F（X）的极小点X*。
阻尼牛顿法的原理：
对牛顿法的修正——在牛顿方向上作一维搜索求最优步长。
局限性：
当F（X）的海赛矩阵在迭代点处正定情况下，阻尼牛顿法可以保证每次迭代，迭代点的函数值都下降；在迭代点处不定情况下，函数值不会上升，但不一定下
降；在迭代点处奇异情况下，不能求逆，无法构造牛顿方向；要求F（X）二阶可
微。
7试建立下图所示一维问题的刚度方程。
单元分析：
F①k（uu）kuku
11211112
F①k（uu）
kuku
212
F
k
（u
②
223
1
u2）
11
k2u2
12
k2u3
F
k
（u
②
323
u2）
k2u2
k2u3
总体分析（节点静力平衡）：
F
①
R11
k1u1
k1u2
0u3
RF①F②
ku（kk）uku
222
RF②0u
1112223
kuku
331
k1k1
2223
0u1R1
kk1k2
0k2
k2u2R2
k2u3R3
8）8.何谓K-T（Kuhn-Tuker）条件？
用Kuhn-Tucker验证约束优化问题
min
F（X）
（x1
3）2
（x2
2）2
s.t.
g1（X）12
x
x
2
5
0
2
2
g2（X）
g3（X）
g4（X）
K-T条件：
x12x240
x10
x20
在点XKuhn-Tucker条件成立。
1
约束极值点存在的条件。
x
x
设X
***
12
*T
x
n为非线性规划问题
minF（X）XEn
s.t.
gj（X）
0j1,2,,m
hj（X）0jm1,m2,,p
*
的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有q个约束条件为起作
J
用的约束，即
gi（X*）
0,hJ（X）
0（i≠j，i+j=1,2,⋯q,如果在X*处诸起作
i
j
j
用约束的梯度向量使下述条件成立
gi（X
*）、
h（X*）（i+j=1,2,⋯q,F（X*）
q
i
T
ij1
g（X*）
h（X*）0
λ12
解：
q，其元素i为非零、非负的乘子,j为非零的乘子。
g1（X*）
g2（X*）
0；g3（X*）
0，g4（X*）0
起作用的约束为
g1（X），g2（X）
2（x13）2
F
2（x22）2
2x14
g1
2x22
g2
根据K
1
2
T条件，应有
F1g1
2g2
241
12
222
0，则有
11〉0，1
3
2〉0
3
即，X*
2
满足K
1
T条件。
9.论述有限元分析的过程。
1）结构几何建模；
2）设定材料常数，弹性模量、泊松比。
。
；
3）载荷、位移边界条件；
4）划分单元，对单元编号e=1,2,3,⋯,n;
5）对节点编号k=1,2,3,⋯，,N列出单元与节点的对应关系表；
6）计算等效节点力；
7）形成单元刚度矩阵；
8）组装整体刚度矩阵；
9）引入位移边界条件；
10）求解刚度方程，得节点位移；
11）计算应力、应变及其分布。
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