湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理.docx

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湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理

湖南省株洲市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理

时间120分钟，满分150分

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

10i

1．在复平面内，复数

3＋i

对应的点的坐标为（）

A．（1,3）B．（3,1）C．（－1,3）D．（3，－1）

[答案]A

1

2．二项式（x－

x

）6的展开式中常数项为（）

A．－15B．15C．－20D．20

1－

133

[解析]二项式（x－

）6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·x6r·（－

）r＝Cr·（－1）r·x6－

r，令6－r＝0，得r

6

6

xx22

1

＝4.因此，二项式（x－

）6的展开式中的常数项是C4·（－1）4＝15，故选B．

6

x

3、6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A

社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12B．9C．6D．5

3

解析：

从甲、乙、丙以外的3人中选2人到C社区，共C2种，剩余的4人中除去甲后任选一人到A

社区共C1种，剩余2人到B社区，共有C2·C1＝9种．

333

（n＋3）（n＋4）

4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋„＋（n＋3）＝

是（）

（n∈N*）时，验证n＝1，左边应取的项

2

A．1B．1＋2

C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

[解析]当n＝1时，左＝1＋2＋„＋（1＋3）＝1＋2＋„＋4，故应选D.

5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x

[解析]由条件设f（x）＝ax3＋bx2＋cx，则f′（x）＝3ax2＋2bx＋c＝3a（x－1）（x－3），∴b＝－6a，c＝9a，

∴f（x）＝ax3－6ax2＋9ax，∵f

（1）＝4，∴a＝1.

∴f（x）＝x3－6x2＋9x，故选B.

→

6．在复平面内，点A对应的复数为1＋2i，AB＝（－2,1），则点B对应的复数的共轭复数为（）

A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i

→

[解析]由条件知A（1,2），又AB＝（－2,1），

∴B（－1,3），∴点B对应复数z＝－1＋3i，

－

故z＝－1－3i.

7．已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f

（1））处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{1}的

f（n）

前n项和为Sn，则S2017的值为（）

2016

A.

2017

2015

B.2016

2013

C.2014

2014

D．2015

[解析]f′（x）＝2x＋b，由f′

（1）＝2＋b＝3，得b＝1.

则f（x）＝x2＋x.

1

于是

f（n）

1

＝

n2＋n

11

＝＝－

n（n＋1）n

1

，

n＋1

1

1

1

S2017＝f

（1）＋f

（2）＋„＋f（2017）

111

11

12016

－）＋（－）＋„＋（－）＝1－＝.

2232016201720172017

＝（1

8、盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当

红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（）

18

A．

125

36

B．

125

44

C．

125

81

D．

125

3323

36

[解析]每次取到红球的概率为，所求概率为C1×××＝

.故选B．

52555

125

9．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为（）A．4B．8

C．10D．9

⎧y＝x3－3x，

[解析]由⎨

⎩y＝x，

⎧x＝0，解得⎨

⎩y＝0，

⎧x＝2，或⎨

⎩y＝2，

⎧x＝－2，或⎨

⎩y＝－2.

∵y＝x3－3x与y＝x都是奇函数，

∴围成图形的面积为

S＝2⎠⎛2[x－（x3－3x）]dx＝2⎠⎛2（4x－x3）dx＝2·（2x2－

1x4）|2＝8，故选B.

0

004

10．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P（X≤7）的值为（）

1113167

26

A.30B.35C.35D.

C

4

C

＋

4

解析：

4只球中黑球个数可能为0,1,2,3，相应得分依次为4,6,8,10.P（X≤7）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝4

7

C311

1213

4C3

＋＝.

7

C4＝35

3535

11．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2,3，„），则第n个图形中顶点个数为（）

A．（n＋1）（n＋2）B．（n＋2）（n＋3）C．n2D．n

[解析]第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30

＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有（n＋2）（n＋3）个顶点．

12．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是（）

A.（0，3）

B.（13）

C.[3∞）

（

）

1

D.0，

，，＋

42442

[解析]f′（x）＝（2x－2a）ex＋（x2－2ax）e2＝[x2＋（2－2a）x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′（x）≤0恒成立，

⎧g－，即x2＋（2－2a）x－2a≤0恒成立．令g（x）＝x2＋（2－2a）x－2a，则有⎨

⎩g，

⎧－12＋－2a

－－2a≤0，即⎨

⎩12＋2－2a－2a≤0，

3

解得a≥.

4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13、复数（2+i）i的虚部是

试题分析：

由（2+i）i=2i+i2=-1+2i，则虚部是2.

14．已知Cx

=C3x-2

，则x=．

1010

[答案]．1或3

⎧lgx，x>0，

15．设f（x）＝⎨x＋⎠⎛a3t2dt，x≤0，若f（f

（1））＝1，则a＝.

⎩0

0

[解析]∵f

（1）＝0，∴f（f

（1））＝f（0）＝0＋⎠⎛a3t2dt＝t3|a＝a3＝1，∴a＝1.

0

16、已知0

a10（x＋2）10＋a11（x＋2）11，则a1等于

[解析]作出y＝a|x|（0

11

1）2＋（x＋2－1）11，所以a1＝－2＋C10＝－2＋11＝9．

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）五位师傅和五名徒弟站一排．

（1）五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？

（2）五名徒弟不能相邻共有多少种排法？

（3）师傅和徒弟相间共有多少种排法？

解：

（1）先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A6种排法，五名徒弟在内部全排列有A5种，据乘法

65

原理排法共有A6A5＝86400（种）．

65

（2）先将五位师傅全排列有A5种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A5种排法，据

56

乘法原则，排法共计A5A5＝86400（种）．

65

5

（3）先将五位师傅排列有A5种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上

有2A5种排法，据乘法原理排法共有2A5A5＝28800（种）．

555

18．（本小题满分12分）（本小题满分12分）某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关

游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是1，乙每关通过的概

2

率是2．

3

（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；

（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列．

解：

（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙20分”为事件B，“甲10分，乙10分”为事件C，“甲20分，乙0分”为事件D

P（B）=（1-1）⨯

（2）2⨯（1-2）=2

P（C）=1⨯（1-1）⨯2⨯（1-2）=1

则23327

223318

P（D）=

（1）2⨯（1-1）⨯（1-2）=1

22324

37

则P（A）=P（B）+P（C）+P（D）=

216

（6分）

（2）X的所有可能取值为0,10,20,30,40.

1

P（X=0）=

2

P（X=10）=

1

⨯（1-

2

1）=1

24

P（X=20）=

（1）2⨯（1-1）=1

P（X=30）=

（1）3⨯（1-1）=1

228

2216

P（X=40）=

（1）4=1

X分布列为

216

X

0

10

20

30

40

P

1

2

1

4

1

8

1

16

1

16

19.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）请在线段CE上找到一点F，使得直线BF∥平面ACD，并证明；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；E

解法一：

以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和

z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0,0,0），

B

A（2,0,0），E（0,0,2），B（2,0,1），C（1,3,0），

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为AD

F（1,

3,1），∴BF=（-3,

3,0）

2222

19题图C

DE=（0,0,2）,∴BF⋅DE=0,∴BF⊥DE，而DE是平面ACD的一个法向量，此即证得BF∥平面ACD；„„„„„„„„„„„6分

（2）设平面BCE的法向量为n=（x,y,z），则n⊥CB，且n⊥CE，

由CB=（1,-

3,1），CE=（-1,-

3,2），

⎧⎪x-

∴⎨

⎪⎩-x-

3y+z=0

3y+2z=0

，不妨设y=

⎧x=1

3，则⎨

⎩z=2

，即n=（1,3,2），

∴所求角θ满足cosθ=n⋅（0,0,2）=

2π

，∴θ=；„„„„„„„„„„„12分

|n|⨯224

解法二：

（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则FH=//1ED，∴FH=//

2

AB，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH，

由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF//平面ACD

（2）由已知条件可知∆ACD即为∆BCE

在平面ACD上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cosθ=S∆ACD，

S∆BCE

易求得BC=BE=

5，CE=22，∴S

=1|CE|⨯

BE2-（CE）2=6，

∆BCE22

而S=

3|AC|2=

3，∴cosθ=S∆ACD=

2ππ

，且0<θ<，∴θ=

∆ACD4

S∆BCE224

20、设函数f（x）＝

x2

2（x－1）

，给定数列{an}，其中a1＝a>1，an＋1＝f（an）（n∈N＋）．

（1）若{an}为常数列，求a的值；

（2）判断an与2的大小，并证明你的结论．

解析：

（1）若{an}为常数列，则an＝a.

由an＋1＝f（an），得a＝f（a）．

因为f（x）＝

x2a2

，所以a＝.

2（x－1）

2（a－1）

又a>1，所以a＝2（a－1），解得a＝2.

（2）当a＝2时，由

（1）知an＝2.

a

2

n

n

当a≠2时，因为a1＝a，an＋1＝f（an）＝2（a－1），

a

1

2a2

所以a2＝＝.

2（a1－1）

a2

所以a2－2＝

2（a－1）

a2－4a＋4

－2＝＝

（a－2）2

>0，

即a2>2.

2（a－1）

a

2

2

2（a－1）

（a2－2）2

2（a－1）

因为a3－2＝

2（a2－1）

－2＝

2（a2－1）

>0，

所以a3>2.

猜想当n≥2时，an>2.

下面用数学归纳法证明：

①n＝2时，a2>2，显然猜想成立．

②假设当n＝k（k≥2）时，猜想成立，即ak>2.

a

2

k

当n＝k＋1时，ak＋1＝f（ak）＝，

a2k

k－4a＋4

2（ak－1）

（ak－2）2

所以ak＋1－2＝

＝.

2（a－1）2（a－1）

kk

由ak>2，知ak＋1－2>0，所以ak＋1>2.

根据①和②可知，当a≠2时，对于一切不小于2的正整数n都有an>2.

综上所述，当a＝2时，an＝2；当12（n≥2）；当a>2时，an>2

x2y2

21．如图，椭圆+

a2b2

=1上的点M与椭圆右焦点F2的连线MF2与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）

与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．

（1）求椭圆的离心率；

π

（2）F1是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：

∠F1CF2≤；

2

（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，

若∆PF1Q的面积是203，求此时椭圆的方程．

b2b2

bb2bc2

21．

（1）易得M（c,）,k=

k=

∴=⇒b=c⇒a=

2c,∴e==.

aOM

acAB

aacaa2

„„„„„„„„„„„4分

（2）证：

由椭圆定义得：

|F1C|+|F2C|=2a,cos∠F1CF2

1212

|FC|2+|FC|2-|FF|2

=

2|F1C||F2C|

4a2-4c2-2|FC||FC|2b2

=12

=-1.

2|F1C||F2C||F1C||F2C|

|FC||FC|≤（|F1C|+|F2C|）2=a2,∴cos∠FCF

≥2b

22c2

-1=

-1=0,∴∠FCF

≤π.

122

12a2

2c2

122

„„„„„„„„„„„8分

（3）解：

设直线PQ的方程为y=-a（x-c）,即y=-

b

2（x-c）

．代入椭圆方程消去x得：

（1-

1y+c）2

2

y2

+=1

，整理得：

a2b2

5y2-22cy-2c2=0,∴y+y

=22c,y⋅y

=-2c.

2

125125

∴

222

（y-y）2=（22c）2+8c

=48c.S

=1⋅2c⋅|y-y

|=43c

=203,c2=25,

125525

∆PF2Q2

125

x2

因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为

y2

+=1.

„„„„„„„„„„„12分

5025

22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）证明：

当x>1时，f（x）

（x－1）2

2.

（3）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）>k（x－1）．

[解析]

（1）f′（x）＝

1－x2＋x＋1

－x＋1＝

xx

，x∈（0，＋∞）．

⎧x>0，由f′（x）>0得⎨

⎩－x2＋x＋1>0.

1＋5

解得0

2

⎛1＋5⎫

故f（x）的单调递增区间是⎝0，2⎭.

（2）证明：

令F（x）＝f（x）－（x－1），x∈（0，＋∞）．

1－x2

则有f′（x）＝.

x

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<0，所以F（x）在[1，＋∞）上单调递减，

故当x>1时，F（x）

（1）＝0，即当x>1时，f（x）

（3）由

（2）知，当k＝1时，不存在x0>1满足题意．

当k>1时，对于x>1，有f（x）1满足题意．当k<1时，令G（x）＝f（x）－k（x－1），x∈（0，＋∞），

1

则有G′（x）＝－x＋1－k＝

x

－x2＋（1－k）x＋1

x.

由G′（x）＝0得，－x2＋（1－k）x＋1＝0.

1－k－（1－k）2＋4

解得x1＝

2<0，

1－k＋（1－k）2＋4

x2＝

2>1.

当x∈（1，x2）时，G′（x）>0，故G（x）在[1，x2）内单调递增．从而当x∈（1，x2）时，G（x）>G

（1）＝0，即f（x）>k（x－1），综上，k的取值范围是（－∞，1）．