寒假七年级第13讲全等三角形的综合应用.docx

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寒假七年级第13讲全等三角形的综合应用

第13讲全等三角形的综合应用

（1）

一、新知探索

证明思路：

几何命题都可以表述成这种形式：

A（条件）B（结论）

1、分析法：

B（结论）CD……A（条件）

2、翻译法：

a

b

A（条件）cB（结论）

……

z

二、典例剖析

考点一：

基本型的应用

例1.已知：

E是正方形ABCD边AD上任意一点，FG⊥BE。

求证：

FG=BE。

证明：

设FG和BE交于O

做FM⊥CD交BE于N

∵ABCD是正方形

∴AD=AB=FM……

（1）

∠BAE=∠FMG=90°……

（2）

∵FG⊥BE

∴∠FON=∠FMG=90°

∵∠OFN=∠MFG

∴△OFN∽△MFG

∴∠FGM=∠FNO

∵FM∥AD

∴∠BEA=∠FNO=∠FGM……（3）

∴△ABE≌△MFG（AAS）

∴BE=FG

【变式】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：

①AE＝CD；②若AC＝12cm，求BD的长．

（1）证明：

∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD；

（2）解：

由

（1）得AE=CD，AC=BC，

∴△CDB≌△AEC（HL），

∴BD=EC=

BC=

AC，且AC=12．

∴BD=6．

例2.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.

（1）求证:

Rt△ABE≌Rt△CBF;

（2）若∠CAE=30º,求∠ACF度数.

分析：

（1）两个直角三角形中,一组直角边和斜边对应相等,两直角三角形全等,由题,∠ABC=90º，所以∠CBF=90º,在Rt△ABE和Rt△CBF中,AE="CF,"AB=BC,所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.

（2）由题,AB="BC,"∠ABC=90°,所以∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由

（1）知道Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）,所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

解：

（1）∵∠ABC=90º，

∴∠CBF=90º,

在Rt△ABE和Rt△CBF中, 

AE="CF,"AB=BC,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.

（2）由题,AB="BC,"∠ABC=90°,

∴∠CAB=∠ACB=45°,

∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,

由

（1）知道Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）,

∴∠BCF=∠BAE=15°,

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

变式：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，

∴∠EAD=∠EDA=45°，

∴AE=DE，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，

∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，

∴∠EAB=∠EDC，

∵D是AC的中点，

∴AD=

 AC，

∵AC=2AB，

∴AB=AD=DC，

∵在△EAB和△EDC中

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，

∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，

∴BE⊥EC

根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EC

考点二：

全等三角形的综合应用

例3.已知：

点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于点O。

①求证：

AN=BM

②求:

∠AOB的度数。

③若AN、MC相交于点P，BM、NC相交于点Q，求证：

PQ∥AB。

例4.如图，A、B、C不在一条直线上时，△ACM,△CBN都是等边三角形。

AN=BM还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

例5.已知:

正方形ABCG和正方形CDEF有公共顶点C。

试证：

BF=DG

例6.已知：

如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E。

求证：

AB=AC+BD。

法一：

证明：

解：

在△ACE和△AFE中

AC=AF

∠1=∠2

AE=AE

∴△ACE≌△AFE（SAS）

∴∠5=∠6

∵AC∥BD

∴∠C+∠D=180

∵∠5+∠6=180

∴∠6=∠D

在△EFB和△BDE中

∠6=∠D

∠3=∠4

BE=BE

∴△EFB≌△EDB（AAS） 

∴FB=DB

∴AC+BD=AF+FB=AB；

法二：

如图

（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F

∵AC∥BD

∴∠F=∠4

∵∠3=∠4

∴∠F=∠3

在△AEF和△AEB中

∠5=∠6

BE=FE

∠4=∠F

∴△AEF≌△AEB（AAS）

∴AB=AF，BE=FE

在△BED和△FEC中

∴△BED≌△FEC（ASA） 

∴BD=FC

∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。

例7.已知：

四边形ABCD是正方形，M为BC上任意

一点，MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N。

求证：

AM=MN

证明：

连接AC交MN于P，过M作MF∥AC交AB于F．则△ABC和△FBM均为等腰直角三角形，BF=BM；

又∵BA=BC，

∴AF=MC，

∵∠AMN=∠ACN=90°，∠APM=∠NPC，

∴∠1=∠2．

又MF∥AC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3；

又∵∠AFM=∠MCN=135°．

在△AFM和△MCN中，

∠3＝∠1

∠AFM＝∠MCN

AF＝MC

∴△AFM≌△MCN（AAS），

∴AM=MN．

三、自我亮剑

1.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：

BE=CF．

证明：

∵D是BC边上的中点，

∴BD=CD，

又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，

∴CF∥BE，

∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD

∴△BDE≌△CDF，

∴CF=BE．

2.

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：

BE=CF．

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，

EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．

（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：

①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=______；

②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=______（用n的代数式表示）．

（1）证明：

如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，

∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF；

（2）方法1：

如图，过点A作AM∥GH交BC于M，

过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

∴EF=BN，GH=AM，

∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，

∴∠NO′A=90°，

故由

（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4；

方法2：

过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，

得FM=GN，由

（1）得，∠HGN=∠EFM，

得△FME≌△GNH，

得FE=GH=4．

（3）①∵是两个正方形，则GH=2EF=8，②4n．

作业

第一部分：

1.如图，已知

中，

，是高

和

的交点，

，则线段

的长度为（）.

A．

B．4C．

D．

2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）

A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm

第二部分：

3.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：

①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：

DE=

：

4，其中正确结论的序号是.（错填得0分，少填酌情给分）

第三部分：

4.已知：

如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD中线,

求证:

AC=2AE.

作AB中点F，连接DF．

∵∠ADB=∠BAD，

∴BD=AB，

又∵CD=AB，

∴CD=BD，即D为BC中点，

∵F是AB中点，

∴DF∥AC且DF=

AC，

又∵AB=BD，E、F分别为BD、AB中线，

∴DE=AF=

AB=

BD，

∵∠ADB=∠BAD，

∴∠FAD=∠EDA，

在△ADF与△ADE中，

AD=AD

∠FAD=∠EDA

DE=AF

∴△ADF≌△ADE（SAS），

∴AE=DF，

∴AC=2DF=2AE．

课外题

1．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，求证：

BE=FG．

证明：

如图，连接DE，

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，

∵在△ABE和△ADE中，

AB=AD

∠BAC=∠DAC

AE=AE

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=DE，

∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC=90°，

∴四边形EFDG是矩形，

∴DE=FG，

∴BE=FG．

已知：

如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．

（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；

（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在

（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；

（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．

（1）猜想：

∠ACE=∠BCF．

证明：

∵D是AB中点，

∴AD=BD，

又∵AE=BD，BF=AD，

∴AE=BF．

∵CD⊥AB，AD=BD，

∴CA=CB．

∴∠1=∠2．

∵AE⊥AB，BF⊥AB，

∴∠3=∠4=90°．

∴∠1+∠3=∠2+∠4．

即∠CAE=∠CBF．

∴△CAE≌△CBF．

∴∠ACE=∠BCF．…

（2）∠ACE=∠BC