贝塞尔公式.docx
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贝塞尔公式
样本标准差得表示公式
数学表达式:
∙S－标准偏差（％）
∙ｎ－试样总数或测量次数,一般n值不应少于20—30个
∙i-物料中某成分得各次测量值,1~n;
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标准偏差得使用方法
∙在价格变化剧烈时,该指标值通常很高、
∙如果价格保持平稳,这个指标值不高。
∙在价格发生剧烈得上涨/下降之前,该指标值总就是很低。
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标准偏差得计算步骤
标准偏差得计算步骤就是:
步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值）2、
步骤二、把步骤一所得得各个数值相加。
步骤三、把步骤二得结果除以（n－１）（“n"指样本数目）、
步骤四、从步骤三所得得数值之平方根就就是抽样得标准偏差。
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六个计算标准偏差得公式［1］
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标准偏差得理论计算公式
设对真值为X得某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、ｌ2、……ln、令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有 σ1 =ｌi − X
σ2＝ l２ − Ｘ
……
σn= lｎ− X
我们定义标准偏差（也称标准差）σ为
（1）
由于真值X都就是不可知得,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值、
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标准偏差σ得常用估计—贝塞尔公式
由于真值就是不可知得,在实际应用中, 我们常用n次测量得算术平均值来代表真值。
理论上也证明,随着测量次数得增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就就是真值。
于就是我们用测得值li与算术平均值之差-—剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ,即
设一组等精度测量值为ｌ1、l2、……ln
则
……
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V得关系为
将上式代入式
（1）有
（２）
式（２）就就是著名得贝塞尔公式（Beｓｓｅl）。
它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。
由于当时,,可见贝塞尔公式与σ得定义式
（1）就是完全一致得。
应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到得就是标准偏差σ得一个估计值、它不就是总体标准偏差σ。
因此,我们称式
（2）为标准偏差σ得常用估计。
为了强调这一点,我们将σ得估计值用“Ｓ” 表示。
于就是, 将式
（2）改写为
（2＇）
在求S时,为免去求算术平均值得麻烦, 经数学推导（过程从略）有
于就是,式（2＇）可写为
（2”）
按式（2＂）求S时,只需求出各测得值得平方与与各测得值之与得平方艺 , 即可。
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标准偏差σ得无偏估计
数理统计中定义S２为样本方差
数学上已经证明S2就是总体方差σ2得无偏估计。
即在大量重复试验中,S２围绕σ2散布,它们之间没有系统误差。
而式（2’）在n有限时,Ｓ并不就是总体标准偏差σ得无偏估计,也就就是说S与σ之间存在系统误差、概率统计告诉我们,对于服从正态分布得正态总体, 总体标准偏差σ得无偏估计值为
（3）
令
则
即S1与Ｓ仅相差一个系数Kσ,Kσ就是与样本个数测量次数有关得一个系数,Kσ值见表。
计算Kσ时用到
Γ（n ＋１） =nΓ（ｎ）
Γ
（1）=1
由表1知,当ｎ〉３0时,。
因此,当n＞3０时,式（３'）与式（2'）之间得差异可略而不计。
在n＝30~５０时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n〈1０时, 由于Kσ值得影响已不可忽略,宜用式（3＇）, 求标准偏差。
这时再用贝塞尔公式显然就是不妥得、
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标准偏差得最大似然估计
将σ得定义式
（1）中得真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
（４）
式（4）适用于ｎ〉50时得情况,当n〉５0时,n与（n—1）对计算结果得影响就很小了。
2。
5标准偏差σ得极差估计由于以上几个标准偏差得计算公式计算量较大,不宜现场采用,而极差估计得方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用得特点。
极差用”R”表示。
所谓极差就就是从正态总体中随机抽取得ｎ个样本测得值中得最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得ｌ１、,且它们服从正态分布,则
R= ｌｍax−ｌmｉn
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差得计算公式为
（5）
S３称为标准偏差σ得无偏极差估计,d２为与样本个数n（测得值个数）有关得无偏极差系数,其值见表2
由表2知,当n≤15时,, 因此,标准偏差σ更粗略得估计值为
（5’）
还可以瞧出,当200≤n≤10０0时,因而又有
（5”）
显然,不需查表利用式（5＇）与（５”）了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其她公式得计算结果进行校核。
应指出,式（5）得准确度比用其她公式得准确度要低,但当5≤ｎ≤１5时,式（５）不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。
当n>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组得极差R1、, 再由各组极差求出极差平均值。
极差平均值与总体标准偏差得关系为
需指出,此时d2大小要用每组得数据个数n而不就是用数据总数N（=nK）去查表２、再则,分组时一定要按测得值得先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
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标准偏差σ得平均误差估计
平均误差得定义为
误差理论给出
（A）
可以证明与得关系为
（证明从略）
于就是 （B）
由式（Ａ）与式（B）得
从而有
式（6）就就是佩特斯（C、A.F、Peｔｅrs。
1８５6）公式。
用该公式估计δ值, 由于＼righｔ｜V\right|不需平方,故计算较为简便、但该式得准确度不如贝塞尔公式、该式使用条件与贝塞尔公式相似。
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标准偏差得应用实例［1]
对标称值Ｒa=0.160 μm ＜ｍatｈ〉得一块粗糙度样块进行检定,顺次测得以下15个数据:
1、4５,１.65,1。
6０,1、6７,１。
52,1.46,1。
７2,1。
６9,１.77,1.64,4、5６,1。
50,1。
64,1、74与1、63μｍ, 试求该样块Rn得平均值与标准偏差并判断其合格否。
解:
1）先求平均值
２）再求标准偏差Ｓ
若用无偏极差估计公式式（5）计算,首先将测得得, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个,见表3。
表3
组号
ｌ_1
l_5
R
1
１。
４8
１。
65
1。
60
１.67
1.52
０、19
2
1.4６
1。
72
1.6９
1.77
１.64
０。
3１
3
1、5６
1.50
1.64
1。
74
1、6３
0。
2４
因每组为５个数据,按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式（2'） ,则
若按无偏估计公式即式（3’）计算,因n＝15,由表1查得Ｋδ =1、0１8,则
若按最大似然估计公式即式（4＇）计算,则
=０、0９29６（ ）
若按平均误差估计公式即式（6）,则
现在用式（5'）对以上计算进行校核
可见以上算得得S、S1、S2、S3与Ｓ4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0。
０92９6〈0.09６2<0。
0９79〈0、１017<0。
1０62
即S2 ＜S〈Ｓ1 ＜ Ｓ4< S３
可见,最大似然估计值最小,常用估计值S稍大,无偏估计值Ｓ１又大,平均误差估计值S4再大,极差估计值S3最大。
纵观这几个值, 它们相当接近,最大差值仅为0。
0１3２4μm、从理论上讲,用无偏估计值与常用估计比较合适, 在本例中,它们仅相差0.０0１7μm、可以相信,随着得增大, S、S1、S2、Ｓ3与S4之间得差别会越来越小。
就本例而言,无偏极差估计值S3与无偏估计值S1仅相差0、0０８3μm,这说明无偏极差估计就是既可以保证一定准确度计算又简便得一种好方法、
JJG１02-８9《表面粗糙度比较样块》规定Ra得平均值对其标称值得偏离不应超过+12％～１7％,标准偏差应在标称值得4%～12％之间。
已得本样块二产,产均在规定范围之内,故该样块合格。
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标准偏差与标准差得区别
标准差（StandaｒdＤｅviａｔioｎ）各数据偏离平均数得距离（离均差）得平均数,它就是离差平方与平均后得方根。
用σ表示。
因此,标准差也就是一种平均数。
标准差就是方差得算术平方根。
标准差能反映一个数据集得离散程度。
平均数相同得,标准差未必相同。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组得分数为９５、８５、７5、65、5５、45,Ｂ组得分数为７3、72、７1、６９、68、67。
这两组得平均数都就是70,但A组得标准差为１7、08分,B组得标准差为2、16分,说明A组学生之间得差距要比B组学生之间得差距大得多、
标准偏差（StｄＤev,StandａrdDeviatioｎ） - 统计学名词。
一种量度数据分布得分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值得程度、标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然、标准偏差得大小可通过标准偏差与平均值得倍率关系来衡量。
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