利用换元法解一元高次方程_精品文档.doc

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利用换元法解一元高次方程

在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法，所谓换元法，是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下．

一、直接换元

例1解方程：

（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＝24．

分析与解

∵（x＋1）（x＋4）＝x2＋5x＋4，

（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6，

设t＝x2＋5x＋4，

则可将原方程转化为关于t的一元二次方程

t（t＋2）＝24．

即t2＋2t－24＝0，（t－4）（t＋6）＝0，

∴t＝4．t＝－6．

当t＝4时，x2＋5x＝0，

∴x＝0，或x＝－5；

当t＝－6时，x2＋5x＋10＝0，此方程无解．

故原方程的解为x＝0，或x＝－5．

二、均值换元

即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换．

例2解方程：

（4x＋1）（3x＋1）（2x＋1）（x＋1）＝3x4．

分析与解根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开．

∵（4x＋1）（x＋1）＝4x2＋5x＋1，

（3x＋1）（2x＋1）＝6x2＋5x＋1，

两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t＝5x2＋5x＋1，则原方程可化为

（t－x2）（t＋x2）＝3x4．

∴t2＝4x4，t＝2x2或t＝－2x2，

代回即可求得原方程的根为：

x＝．

注当然本题也可以直接设t＝4x2＋5x＋1或者t＝6x2＋5x＋1．

例3解方程：

（x＋2）4＋（x－4）4＝272．

分析与解若将方程左边展开，将得到难解的高次方程．

注意到[（x＋2）＋（x－4）]＝x－1，

故可设y＝x－1，则原方程可化为

（y＋3）4＋（y－3）4＝272，即

y4＋54y2－55＝（y2－1）（y2＋55）＝0，

∴y＝±1．

∴x－1＝±1，∴x＝0或2．

三、双变量换元

例4解方程：

（4x2－9）2＋（4x2－9）（9x2－4）＋（9x2－4）2＝（13x2－13）2．

分析与解注意到

（4x2－9）＋（9x2－4）＝13x2－13，

设m＝4x2－9，n＝9x2－4．

则原方程可化为

m2＋mn＋n2＝（m＋n）2，

即mn＝0，

则有（4x2－9）（9x2－4）＝0，

解得x＝±，±．

注用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m，n．

在例1中，如果注意到

（x＋1）（x＋4）－（x＋2）（x＋3）＝－2，

还可以设m＝（x＋1）（x＋4），

n＝－（x＋2）（x＋3），

则有

由韦达定理可知m，n是方程z2－2z－24＝0的根，求解这个方程即可以得到原方程的根（过程略）．

四、倒数换元

形如ax4＋bx3＋cx2＋bx＋a＝0（a≠0）的倒数方程可以两边同除以x2，降次换元．

例5解方程：

12x4－56x3＋89x2－56x＋12＝0．

分析与解直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等）．又因为x＝0不是方程的根，所以两边同时除以x2，得

五、常值换元

将某一常值看作未知数，原来的未知数当成常数，则可以把高次方程转化为低次方程．

例6解方程：

．

分析与解这是关于x的三次方程，直接解这个方程有一定困难，如果把看成未知数，则原方程可化为

求解高次方程的方法还有很多，需要我们在平时的学习过程中，不断整理，不断总结，逐步深化，灵活运用．

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