抛物线.docx

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抛物线

基本定义

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

折叠编辑本段定义解题

例：

已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

解：

设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。

连结P’F。

则：

|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）　

抛物线的性质　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（[-b/2a，（4ac-b²）/4a]

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0，则a、b要同号

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0，则a、b要异号

事实上，b有其自身的几何意义：

抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到（y‘=2ax+b，当x=0时切线斜率k=b）。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b∧2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b∧2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b∧2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）

7.定义域：

R

值域：

a＞0：

[（4ac-b^2）/4a，+∞）；a＜0：

[（4ac-b^2）/4a，-∞）

奇偶性：

偶函数

周期性：

无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：

（-b/2a，（4ac-b）/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ<0，图象与x轴无交点；

②y=a（x-h）^2+k[顶点式]

此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；  

折叠编辑本段对称解题

我们知道，抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）是轴对称图形，它的对称轴是直线x=-b/2a，它的顶点在对称轴上。

解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

例1　已知抛物线的对称轴是x=1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

分析　设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c。

若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。

因为抛物线的对称轴为x=1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。

于是可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）。

又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3=-3a。

故a=-1。

∴y=-（x+1）（x-3），即

y=-x^2+2x+3。

例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x=0时y的值。

分析　要求当x=0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。

由此可知，抛物线的对称轴是x=1。

故抛物线的顶点是（1，6）。

于是可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+6。

因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a+6=2。

故a=-1。

∴y=-（x-1）^2+6，即

y=-x^2+2x+5。

∴当x=0时，y=5。

例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。

分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。

为此，需求出抛物线的解析式。

由题设可知，抛物线的对称轴是x=-1。

由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。

故可设抛物线的解析式为y=a（x+1）^2+4[或y=a（x+3）（x-1）]。

∵点（1，0）在抛物线上，

∴4a+4=0。

∴a=-1。

∴y=-（x+1）2+4，即

y=-x2-2x+3。

∴点C的坐标为（0，3）。

∴S△ABC=1/2×（4×3）=6。

例4　已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根，求四边形ABCD的面积。

分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。

为此，要求出抛物线的解析式。

由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。

由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x=1。

故顶点A的坐标是（1，4）。

从而可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4[或y=a（x+1）（x-3）]。

∵点（-1，0）在抛物线上，

∴4a+4=0。

故a=-1。

∴y=-（x-1）^2+4，即

y=-x^2+2x+3。

∴点B的坐标为（0，3）。

连结OA，则S四边形ABCD=S△BOC+S△AOB+S△AOD=1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9

折叠编辑本段标准方程

折叠标准方程

右开口抛物线：

y^2=2px

左开口抛物线:

y^2=-2px

上开口抛物线：

x^2=2py

下开口抛物线:

x^2=-2py

[p为焦距（p>0）]

折叠特点

在抛物线y^2=2px中，焦点是（p/2，0），准线的方程是x=-p/2，离心率e=1，范围：

x≥0；

在抛物线y^2=-2px中，焦点是（-p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：

x≤0；

在抛物线x^2=2py中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y=-p/2,离心率e=1，范围：

y≥0；

在抛物线x^2=-2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：

y≤0；

折叠编辑本段相关参数

（对于向右开口的抛物线）　

离心率：

e=1

焦点:

（p/2，0）

准线方程l:

x=-p/2

顶点：

（0，0）

通径：

2p；定义：

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦　定义域（x≥0）

值域（y∈R）

折叠编辑本段解析式法

以焦点在x轴上为例

知道P（x0，y0）

令所求为y^2=2px

则有y0^2=2px0

∴2p=y0^2/x0

∴抛物线为y^2=（y0^2/x0）x

折叠编辑本段焦点方程

焦点准线式（标准方程）

焦点：

F（m,n）

准线：

L：

ax+by+c=0

方程为：

[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[（ax+by+c）^2/（a^2+b^2）]^1/2

整理得　b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2（ac+ma^2+mb^2）x-2（bc+na^2+nb^2）y+（m^2+n^2）（a^2+b^2）-c^2=0

折叠编辑本段弧长公式

Area=2ab/3

弧长ArclengthABC

=√（b^2+16a^2）/2+b^2/8aln（（4a+√（b^2+16a^2））/b）

折叠编辑本段其他相关

抛物线：

y=ax^2+bx+c（a≠0）

就是y等于ax的平方加上bx再加上c

a>0时开口向上

a<0时开口向下

c=0时抛物线经过原点

=0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y=a（x-h）^2+k

就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程：

y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2,0）准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py

折叠编辑本段相关结论

过抛物线y^2=2px（p>0）焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1），B（x2,y2）,有

①x1*x2=p^2/4,y1*y2=—P^2,要在直线过焦点时才能成立

②焦点弦长：

|AB|=x1+x2+P=2P/[（sinθ）^2]

③（1/|FA|）+（1/|FB|）=2/P

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

⑤焦半径：

|FP|=x+p/2（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

⑥弦长公式：

AB=√（1+k^2）*│x2-x1│

⑦△=b^2-4ac

⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

⑶△=b^2-4ac<0没实数根

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：

yy0=p（x+x0）