北师大版八年级下第四章因式分解导学案.docx

北师大版八年级下第四章因式分解导学案.docx

《北师大版八年级下第四章因式分解导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版八年级下第四章因式分解导学案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版八年级下第四章因式分解导学案

北师大版八年级下第四章因式分解导学案

4.1分解因式

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、分解因式的定义；

2、分解因式与整式乘法的关系；

【重点难点】

1、分解因式的定义；

2、分解因式与整式乘法的关系.

知识概览图

分解因式

新课导引

观察下列运算：

993-99＝99×（992-1）＝99×9800＝98×99×l00.

【问题探究】从上面的运算过程，你知道这是运用了什么方法使复杂的计算过程简单化了吗?

【解答】上面计算过程中运用了分解因式，使计算过程简单化了.

教材精华

知识点1分解因式的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.例如：

ax+ay＝a（x+y），a2-2ab+b2＝（a-b）2等，都是分解因式.

理解分解因式的定义应注意以下三点：

（1）分解因式的结果要用积的形式表示.

（2）每个因式必须是整式.且每个因式的次数都不能高于原来多项式的次数.（3）必须分解到每个多项式都不能再分解为止.分解时要注意分解因式所在的数集，本章仅限于在有理数范围内分解因式.

知识点2分解因式与整式乘法的关系

如果把整式乘法看作一个变形过程.那么多项式的分解因式就是它的逆过程，如果把多项式的分解因式看作一个变形过程，那么整式乘法就是分解因式的逆过程，因此多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程.这种互逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另—方面义说明了两者之间的根本区别.例如：

ma+mb+na+nb（a+b）（m+n）.

知识拓展解因式与整式乘法是互逆过程.

课堂检测

基本概念题

1、下列从左边到右边的变形中，哪些是分解因式?

哪些不是?

为什么?

（1）24x2y＝4x·6xy;

（2）（x+5）（x-5）＝x2-25；

（3）x2+2x-3＝（x+3）（x-1）；（4）9x2-6x+l＝3x（3x-2）+l；

（5）ax+bx＝x（a+b）.

基础知识应用题

2、计算下列各式.

（1）3a2（a+2）；

（2）（a+x）（a-x）；

（3）（x-4）2；（4）ab（a-b-1）；

（5）（x+2）（x-3）；（6）（2a-3b）2.

综合应用题

3、已知x2+2x+p可以分解为（x-3）（x+5），求p的值.

探索创新题

4、计算19.97×95+19.97×5的最简便方法是（）

A.19.97×95+19.97×5＝19.97×（95+5）

B.19.97×95+19.97×5＝5×（19.97×19十19.97）

C.19.97×95+19.97×5＝1897.15+99.85

D.19.97×95+19.97×5＝19.97×5×（19+1）

体验中考

1、下列分解因式正确的是（）

A.2x2-xy-x＝2x（x-y-1）

B.–xy2+2xy-3y＝-y（xy-2x-3）

C.x（x-y）-y（x-y）＝（x-y）2

D.x2-x-3＝x（x-1）-3

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析此题应根据分解因式的概念来解决.

解：

（1）不是分解因式.因为分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的形式，而24x2y是一个单项式.

（2）不是分解因式.因为等号左边的（x+5）（x-5）是几个整式的积的形式.而等号右边的x2-25是一个多项式.

（3）是分解因式，因为等号左边的x2+2x-3是—个多项式.且等号右边的（x+3）（x-1）是两个整式的积的形式.

（4）不是分解因式.因为等号左边的9x2-6x+1虽然是一个多项式，但等号右边的

3x（3x-2）+1不是几个整式的积的形式.

（5）是分解因式.因为等号左边的ax+bx是一个多项式，且等号右边的x（a+b）是整式的积的形式.

【解题策略】解此题的关键是看它分解的“对象”和分解的“结果”，分解因式的“对象”应是多项式，分解因式的“结果”只能是整式的积的形式

2、分析此题应运用乘法公式来计算，目的是了解整式乘法与分解因式互为逆过程.

解：

（1）3a2（a+2）＝3a3+6a2.

（2）（a+x）（a-x）＝a2-ax+ax-x2＝a2-x2

（3）（x-4）2＝（x-4）（x-4）＝x2-4x-4x+16＝x2-8x+16.

（4）ab（a-b-1）＝a2b-ab2-ab

（5）（x+2）（x-3）＝x2-3x+2x-6＝x2-x-6.

（6）（2a-3b）2＝（2a-3b）（2a-3b）＝4a2-6ab-6ab+9b2＝4a-12ab+9b2.

【解题策略】利用整式乘法的相关性质、公式计算.注意理解分解因式与整式乘法的互逆关系.

3、分析由于分解因式与整式乘法互为逆过程.并且分解前、后的两个代数式是相等的，所以可以利用整式乘法解决此题.

解：

根据题意，得x2+2x+p＝（x-3）（x+5）.

因为（x-3）（x+5）＝x2+2x-15，

所以（x2+2x+p＝x2+2x-15.所以p＝-15.

【解题策略】解决这类问题时，一般都是根据分解前、后的两个代数式相等得到等式.再利用整式乘法确定某些字母的值.

4、分析练习此题的目的是为下一节学习提公因式法打下基础.选A.

【解题策略】解此类型题可考虑以前学习的乘法分配律的逆用.

体验中考

1、分析根据分解因式与整式乘法的关系验证.故选C

【解题策略】运用整式乘法的运算来验证.

4.2提公因式法

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、分解因式的意义；

2、确定公因式，提公因式法；

3、提因公因式法分解因式的步骤.

【重点难点】

1、确定公因式，提公因式法；

2、提因公因式法分解因式的步骤.

知识概览图

分解因式

新课导引

观察下列运算：

2π×0.23+2π×0.36+2π×0.41≈6.28×0.23+6.28×0.36+6.28×0.41=1.444+2.2608+2.5748=6.28.（π≈3.14）

问题探究上面的运算太麻烦，我们可以这样运算；

2π×0.23+2π×0.36+2π×0.41=2π×（0.23+0.36+0.41）=2π≈2×3.14=6.28，那么这是运用了什么方法使运算简单化了呢?

解答我们运用的是分解因式中的提公因式法进行计算的

教材精华

知识点1公因式的概念

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

拓展公因式是指多项式各项都含有的公共的因式，例如：

多项式ma+mb+mc中，m是此多项式的公因式．

知识点2确定公因式

准确地确定公因式，是运用提公因式法分解因式的关键，如何确定公因式呢?

可分两步进行：

（1）确定公因式的数字因数．当各项系数都是整数时，它们的最大公约数就是公因式的数字因数.

（2）确定公因式的字母及其指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的。

例如：

多项式-4a3b3+8a2b2-2ab的公因式是2ab（也可以是-2ab），多项式2（m-n）2+m（m-n）的公因式是m-n.

知识点3提公因式法

确定了一个多项式的公因式后，这个公因式就是分解因式的结果中的一个因式，再根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则，就可确定出结果中的另一个因式．

例如：

-24x2y-12xy2+28y3=-4y（6x2+3xy-7y2）;x（x-y）2+y（y-x）2＝x（x-y）2+y（x-y）2＝（x-y）2（x+y）．

这种分解因式的方法，就是提公因式法．具体定义如下：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．

拓展

（1）提公因式法的关键是确定公因式，但提出公因式后，还应准确地确定另一个因式．

（2）提公因式的依据是逆用乘法分配律．（3）应用提公因式法要防止出现以下错误：

①漏项；②变错符号；③没有整体思想．

知识点4提因公因式法分解因式的步骤

（1）找出多项式中各项的公因式．

（2）提出公因式，并确定另一个因式，确定另一个因式时，可用原多项式除以公因式，所得的商即是另一个因式．

课堂检测

基本概念题

1、找出下列各组式子中的公因式.

（1）4a3，8a2b2，-30a2bc；

（2）4x（y+1）2，8x（y+1）（y-1）；

（3）12xny2n，16x2-1yn+1.（n为大于1的整数）

2、指出下列分解因式中的错误，并加以改正.

（1）4a6b-8a7b=4a6（b-2ab）;

（2）8xy2-16x3y2+8x2y2=8xy2（-2x2+x）;

（3）15mn+5m2=15mn（1+）.

基础知识应用题

3、先分解因式，再求值.

（1）15x2（y+4）-30x（y+4），其中x=2，y=-2；

（2）已知a-b+c=0，求（a+b-c）（a-b+c）-（b-a+c）（b-a-x）的值.

综合应用题

4、某地区根据地理位置及气候特点，在大棚种植上采用了如下结构：

占地呈矩形，四周为砖墙，上为玻璃屋顶，设矩形的长、宽分别为a，b，且前沿墙高为c．后沿墙高为d．

（1）求这座大棚砖墙的而积S；

（2）如果a＝6.6m，b＝3.4m，c＝0.5m．d＝1.5m．计算砖墙的面积．

探索创新题

5、已知多项式n2-n.

（1）求出当n＝0，1，2，3，4时，这个代数式的值；

（2）猜想n2-n的值能否为奇数；

（3）借助分解因式证明你的猜想．

体验中考

1、分解因式ax-ay＝.

2、若m，n互为相反数，则5m+5n-5＝.

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析多项式的各项都含有的因式是公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数．各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母因式．

解：

（1）公因式是2a2.

（2）公因式是4x（y+1）．

（3）公因式是4xn-1yn+1．

【解题策略】字母的指数中含有字母时，要判断出哪个指数是最小的．如（3）中，当n为大于1的整数时．2n＞n+1．因此公固式中字母y的指数是n+1．

2、分析

（1）应提取4a6b,而不应提取4a6.

（2）提取公因式后右边括号里缺了一项，（3）应提取5m，而不是15mn.

解：

（1）4a6b-8a7b=4a6b（1-2a）.

（2）8xy2-16x3y2+8x2y2=8xy2（1-2x2+x）.

（3）15mn+5m2=5m（3n+m）.

【解题策略】确定公因式要抓住两点：

①取各项系数的最大公约数为公因式的数字因数；②取各项都含有的字母，并且取指数最低的为字母因式.

3、分析此题是提取公因式法在计算中的进一步应用，先利用分解因式化简，再代入数值.

解：

（1）15x2（y+4）-30x（y+4）=15x（y+4）（x-2），

当x=2，y=-2时，原式=15×2×（-2+4）×（2-2）=0，

（2）（a+b-c）（a-b+c）-（b-a+c）（b-a-c）

=（a+b-c）（a-b+c）-（b-a+c）（a-b+c）

=（a-b-c）（a+b-c+b-a+c）

=2b（a-b+c）=0.

【解题策略】解此题的关键是准确确定公因式，再运用提公因式法进行化简．

4、分析此题求大棚砖墙的面积S，面积S包括两个梯形和两个矩形的面积，两个梯形的面积和为2×，两个矩形的面积和为ac+ad．

解：

（1）由题意知S=ac+ad+2×=ac+ad+bc+bd=a（c+d）+b（c+d）=（c+d）（a+b）.

（2）把a＝6.6m，b＝3.4m，c＝0.5