经济应用数学复习.docx
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经济应用数学复习
《经济应用数学》第六次及时答疑
一、函数
1．函数的定义，两个变量之间的关系，
组成函数的两个因素是它的定义域和对应法例。
会求函数定义域的求法
2．函数的几个特征:
单一性,奇偶性,周期性和有界性
奇函数?
偶函数=奇函数奇函数[奇函数]=奇函数
奇函数?
奇函数=偶函数奇函数[偶函数]=偶函数
偶函数?
偶函数=偶函数偶函数[偶函数]=偶函数
3．基本初等函数的性质及图形特色
4．初等函数，复合函数的组成
单一性，奇偶性，有界性，周期性。
要点掌握单一性的定义和奇偶性的判断。
f（?
x）=?
f（x）为奇函数图形对于原点对称
f（?
x）=f（x）为偶函数图形对于y轴对称
1．幂函数yxa
要记着最常有的几个幂函数的定义域及图形
2.指数函数yax,（a0,a1）定义域：
（,），值域：
（0,），图形过
（0，1）点，a>1时，单一增添；a<1时，单一减少。
此后yex用的许多。
3.对数函数ylogax,（a0,a1）定义域：
（0,），值域：
（,），与
指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单一增添；a<1时，单一减
少。
log10xlgx,logexlnx
4.三角函数
ysinx,（,），奇函数、有界函数、周期函数
（2）；
ycosx,（,），偶函数、有界函数、周期函数
（2）；
y
tanx
sinx，x
k
k
0,
1,
2.的一确实数，奇函数、周期函数（
）；
cosx
2
y
cotx
cosx，x
k
k
0,1,
2,
的一确实数，奇函数、周期函数
（）；
sinx
例
1．设f（x）ex且x
0，求f（lnx）。
解f（lnx）elnx
ln1
1
ex
x
2．设f（x）
1
x,求f[f（x）]
1
x
1
1
x
1
x
（1
x）
解：
f[f（x）]
1
x
x
1
x
1
x
1
x
1
1
x
3．设f（x）的定义域为（
0），求函数f（lnx）的定义域。
解：
lnx0，x1，因此f（lnx）的定义域为（0,1）
x,0x2
4．函数f（x）
x,2
x0
的定义域为
2,
x
2
5．判断以下函数的奇偶性.
A．sin（cosx）B.
ln（x
x2
1）C.tanxln1
x
D.esinxF．sinx2
1
x
A，C，F为偶函数；B为奇函数；D为非奇非偶函数
二、极限与连续
极限的计算方法
1）极限运算法例
（1）lim[
f（x）g（x）]
limf（x）
limg（x）
xx0
x
x0
xx0
（2）lim[
f（x）g（x）]
lim
f（x）limg（x）
limcf（x）climf（x）
xx0xx0xx0xx0xx0
f（x）
limf（x）
（3）lim
xx0
（limg（x）
B0）
xx0
g（x）
limg（x）
xx0
xx0
（4）lim[f（x）]n
An
（n为正整数）
xx0
（5）limnf（x）
nA
xx0
2）消去零因子法
3）两个重要极限limsinx
1
lim11
x
1
lim（1x）x
e
e
x0
x
x0
x
x
4）无量小与无量大的关系
5）利用函数的连续性计算例求以下极限
1．lim
x2
x
2
1
2
．lim
x2
2x
1
1
2x
2
1
2
3x
2
1
3
x
x
1
1
3．lim（1
2x）x
lim[（1
2x）2x]2
e2
x
0
x
0
4．lim
x2
9
lim
（x
3）（x
3）
lim
x
3
6
x
3x2
5x6
x
3（x2）（x3）
x
3x
2
5．lim
sin（x
3）
lim
sin（x
3）
1
x
3
x2
x
6
x3（x3）（x
2）
5
1sinx,
x
0
6．设f（x）
x
k,
x
0
且f（x）在x
0处连续，则k1
xsin
1
0
1,x
x
1
x1,
x
0
在x
0处连续，则常数
1
7．设函数f（x）
x
x
0
k
2
k
三、导数与微分
1.导数的定义：
函数增量与自变量增量比的极限
记号：
f（x）,y,
df（x）,
dy，f（x0）,
y|xx0,
df（x）
dy
dx
dx
dxxx0
dxxx0
2.导数的几何意义：
曲线在一点切线的斜率
yf（x）在x0点的导数f
（x0）是曲线y
f（x）在点M（x0,y0）处切线的斜率。
因此yf（x）在（x0,y0）处的
切线方程为yy0
f（x0）（xx0）；法线方程为yy0
1
（xx0）
f（x0）
3.导数的运算法例：
四则运算法例，复合函数的运算法例
（c）
0
，
（x）
x1
，
（ax）
axlnx,（ex）
ex,
（logax）
1
1,
xlna
（lnx）
x
（sinx）
cosx，（cosx）
sinx,
（tanx）
1
（cotx）
1
cos2
sin2
x
x
（u
v）
u
v，（uv）
uv
uv，
（cu）
cu，u
uv
uv
（v
0）
v
v2
y
f（u）,u
（x），
dy
dy
du
f（u）
（x）
dx
du
dx
4.微分的观点：
dydf（x）f（x）dx
例
1．求曲线yex2在（2,1）点处的切线方程。
解yex2，y|x
21，y1x
2，yx3
2．设f（u）可导，则df（sin2x）
2sinxcosxf（u）
dx
3．设y（x2
1）ex，求y.
解：
y2xex
（x2
1）ex
4．设f（x）cosx，求y
解：
ysinx，ycosx
5．设y1x2x，求dy
解：
y2xx2xln2dy（2xx2xln2）dx
四、导数的应用
1.函数的单一性：
2.函数的极值（最大值最小值）：
p
3.导数在经济剖析中的应用：
弹性Epq（p），边沿剖析q（p）
例
1．求函数f（x）x33x29x的单一区间及极值。
解函数的定义域为（,），y3x26x9，令y0得驻点x11,x23
-13
00
极大极小
单一增添单一减少单一增添
值值
函数在（,1），（3,）单一增添，在（1,3）单一减少，当x1时获得
极大值y5，x3时获得极小值y27
3
2．欲做一个底为正方形，容积为108m的长方体张口容器，如何做所用材
料最省？
设底面正方形边长为
x，用料为y，则
2
108
2
432
yx
4
x2x
x
x
432
y2x
，令y
0得x
6，
x2
有独一的驻点，由实质问题最小值存在，因此，当正方形边长为6m时用
料最省。
3．某商品的需求函数为
q（p）1502p2，其需求弹性为
2p2
。
75p2
五、不定积分
1．原函数的观点F（x）
f（x）
2.不定积分的定义f（x）dxF（x）C
3.不定积分的性质
性质1[f（x）dx]f（x）或d[f（x）dx]f（x）dx
f（x）dxf（x）c或df（x）f（x）c
性质2kf（x）dxkf（x）dx（k是常数，k0）
性质3[f（x）g（x）]dxf（x）dxg（x）dx
4.积分的计算
1）直接积分法
2）换元积分法：
凑微分法
3）分部积分法udvuvvduuvdxuvuvdx
1．求xsinx2的一个原函数.
解：
xsinx2dx
1
sinx2dx2
1cosx2
C
2
2
2．
ex
xdx
1e
解：
ex
dex
d（1
ex）
x
）
C
xdx
1
e
x
1
x
ln（1
e
1e
e
3．
sin2xcosxdx
解：
sin2xcosxdx
sin2xdsinx
1sin3x
C
3
4．lnx
dx
x2
解：
lnx
dx
1
lnx
1
lnx1
x
2
lnxd
x
x
2dx
C
x
x
5．
（x
2
1）exdx
解：
（x21）exdx（x21）dex（x21）ex2xexdx
六、定积分及其应用
b
n
1.定义
f（x）dxlim
f（i）xi
a
0i
1
2.几何意义曲边梯形各部分面积的代数和。
3.性质
性质1
b
b
b
a
[f（x）g（x）]dxf（x）dx
g（x）dx
a
a
性质2
b
b
a
kf（x）dxkf（x）dx
a
性质3
（定积分对区间的可加性）对任何三个不一样的数
a,b,c，有
4.积分上限函数及其导数
x
f（t）dt，（x）
d
x
f（x）
d
5sin2t
（x）
dx
f（t）dt
dx
dt
a
a
0t21
5.
b
F（b）
F（a）F（x）|ab
微积分基本公式
f（x）dx
a
6.
定积分计算
1）微积分基本公式
2）换元法
b
f（x）dx
f[（t）]（t）dt
a
注意：
用
x?
t
）
把变量x换成新变量t
时，积分限也相应的改变，即“换元必
=（
换限”.
3）分部积分法
b
u（x）v（x）b
b
u（x）v（x）dx
v（x）u（x）dx
a
a
a
记着两个结论：
（1）
假如f（x）是偶函数，则
a
f（x）dx
2
a
f（x）dx
a0
（2）
假如f
（x）是奇函数，则
a
1
0，
1
0
f（x）dx
0，如x3cosxdx
x2tanxdx
a
1
1
1．
1ex
dx
01
ex
解：
1
ex
dx
ln（1
x
）
1
ln（1e）ln2
01
e
x
e
0
2．
2sin2xcosxdx
2sin2
xdsinx
2sin2xdsinx
1sin3x|02
1
0
0
0
3
3
3．求由曲线y
x,y
1,x
2所围成的图形
x
y
的面积。
y=1/
y=x
1
）dx（1x2
lnx）|123
解：
S
2
（x
ln2
1
x
2
2
4．求由曲线y
4x2和y
x2所围成的
图形的面积。
y
4
x2
x1
2
0
x=2
x
解：
y
x
2
x2
1
5．已知某商品每周生产q个单位时，总成本变化率为C（q）0.4q
12（元/单位），
固定成本为
500，求总成本C（q），假如这类商品的销售单价是
20元，求总收益
L（q），并问每周生产多少单位时才能获取最大收益。
解：
C（q）
q
C0
q
2
12q500，
C（q）dq
（0.4q12）dq5000.2q
0
0
L（q）
0.4q32
0，q
80，
每周生产80单位时才能获取最大收益。
6．某商品的总成本（万元）的变化率C（q）1（万元/百台），总收入（万元）
的变化率为产量q（百台）的函数R（q）5q（万元/百台）。
求产量q为多少时，收益最大？
在上述产量（使收益最大）的基础上重生产100台，收益将减少多少？
解：
边沿收益L（q）R（q）C（q）5q14q
令L（q）0，q4，因此，产量为400台时，收益最大
L
5
5
（4q）dq
（4q
1
q2）|45
1（万元）
L（q）dq
4
4
2
2
在上述产量（使收益最大）的基础上重生产
100台，收益将减少
5000元
七、概率论
1.
整体和样本
2.
重要特色数
1）
均值：
x1,x2,L
xn，x
1（x1x2
L
xn）
1
n
xi
n
ni1
n
n
c）2
n
x）2
均值的性质1
）
（xi
x）
0，2）
（xi
（xi
i1
i
1
i1
2）方差和标准差：
S21n
n
1
（xix）2
i1
n
n
2
x
2
，S
1n
x）
2
xi
（xi
i1
ni1
均值与方差的几个性质
设x,y和Sx2,Sy2分别表示数据x1,x2,L,xn和y1,y2,L,yn的均值和方差，a和b是不为0的常数.
1）若yixia,i1,2,L,n则yxa,S2ySx2；
2）若yibxi,i1,2,L,n则ybx,Sy2b2Sx2；
3）若yi
bxia,i
1,2,L,n则ybxa,S2
b2S2
。
y
x
极差：
R
max{xi}
min{xi}，变异系数：
cv
S
x
3.随机事件与概率随机试验;随机事件事件的关系与运算
1）
包括A?
B
2）
相等A=
B
3）
和事件：
A∪B或AB
4）
积事件：
∩
B
或
。
+
A
AB
5）互不相容（互斥）：
AB＝?
6）互逆（对峙）事件：
若AB＝?
，且A∪B=U记A
7）差事件：
A?
B
古典概型
（）
k
PA
n
概率的性质
性质
1
任何事件A的概率
PA都有
PA
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