对数的运算电子版本.docx

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对数的运算电子版本

对数的运算

对数的运算片段教学

教学目标：

（1）通过具体的实验发现对数的运算性质，在教师引导下尝试利用对数的概念进行证明；

（2）知道对数运算性质成立的条件，并能灵活地运用对数的运算性质进行化简求值；

（3）体会等价转化思想在解题过程中的重要作用．

教学重点：

对数的运算性质。

难点：

对数运算性质的发现。

教学法：

本课主要采用发现法及探究法进行教学．

教学过程：

师：

上节课我们学习了对数的概念，为了方便计算，我们发现了指数的运算律，那么对数是否也存在类似的运算律呢？

猜猜看！

生：

（略）

师：

现在我们利用计算器进行数学实验，并完成实验报告．要求：

（1）4人一组，就近结合，每组推荐组长一名，汇报实验研究结果；

（2）填表（详情查看学案，,采用的数据规定与自选相结合）；（3）观察同一列计算结果间的关系，并提出猜想；（4）证明你的结论．

师：

首先，我先来分析这张表让我们做什么，怎么做.如果给出M, N的值，那么就可求出lg M,lg N,lg（M + N）,…的值，于是就可以填写表中的某一列．

其次，我们再随机取值计算．第一，规定取值：

选取两组数：

M = 8, N = 2；M = 3, N = 9．请同学们计算填表．第二，自选取值：

自己选取数据进行计算．

师：

请同学们自选数据填到表中，然后计算，数据可以是自己的学号、班级的编号、自己的生日，我们在学习指数函数时的一道应用题中的数据，等等。

师：

各小组开展探究活动，有的填写数据，有的按计算器，有的组分工协作，这种方式也是团队协作精神的训练.教师在巡视，不时参与小组共同讨论，指导学生应如何处理数据，如何进行猜想。

生1：

老师，是否可以自选对数的底进行计算？

我认为这样更具有代表性．

师：

你的想法很好，你可以自己选取底数．

生1：

但我手中的计算器不能计算底数是2, 3, 0.4等的对数值．

评注这时教师将课前带来的备用计算器给他，并不厌其烦地告诉他如何操作．这体现了教师充分以学生为主体的教学观念，使课堂教学有了宽松的探究问题的气氛．

师：

现在请小组长整理你们的研究成果，向班级进行汇报，哪一位先说？

生2：

我们通过数据的比较发现lg（MN）=lg M+lg N，lg

=lg M -lg N．

师：

请刚才用2或3为底的同学汇报你的研究成果．

生1：

log2（MN）=log2M+log2N，log2

=log2M-log2 N．将底数改为3，等式还是成立的．

评注教师开始引导学生进行深层次的推广，力图得到更一般的结论．如何突破这一难点，这就需要教师具有深厚的教学功底．

师：

如果我这样写公式，何时能写完呢？

同学们能否将这些具有共性的等式统一起来呢？

评注此时学生在积极思考，有的同学在小声交流，虽然教室里显得有点沉闷，但学生的内心活动剧烈，大家都想在短时间内发现一般规律．这就是教师发问得恰当且及时．

生3：

运用“字母代表数”的方法，将上述的等式推广到一般情况：

loga（MN）=logaM +logaN ①，

loga

=logaM-logaN ②，其中a>0且a≠1．

评注此时教室的气氛开始活跃，每一次探究的成功，学生的脸上都充满欢愉的笑容．这就是在“做中学”的快乐．

师：

大家同意他的观点吗？

众生：

同意！

生4：

我们小组也发现了一条性质，根据lgM4=4lg M,lg N3=3lg N，继而推广到一般情况:

logaMn=nlogaM（n∈N*，a>0, a≠1）③．

师：

这就是我们今天学习的内容——对数的运算性质（板书）．你们能证明这三个等式吗？

我们有现成的定理、公式吗？

众生：

没有．

师：

请大家先思考“怎么办”，过一会我请三位同学到黑板上板演．

评注留给学生一定的思考时间是十分必要的．教师在巡视，指导学生如何证明，参与他们的讨论，或给他们搭设台阶，突破难点，很快学生提出运用定义法．

生5：

（板演）设loga（MN）=x,logaM=y,logaN=z，则M=ay, N=az,所以MN=ayaz=ay+z．又MN=ax，所以ay+z=ax，故y+z=x，即性质①成立．

生6：

（板演）设loga

=p,logaM=q,logaN=r，则M=aq, N=ar，所以

=

=aq-r．又

=ap，所以aq-r=ap，故q-r=p，从而性质②成立．

生7：

（板演）设logaMn=x,logaM=y，则Mn=ax, M =ay，所以Mn=（ay）n=any，即ax=any，故x=ny，从而性质③成立．

师：

很好！

完全正确．

生8：

性质③中的n可以是负整数，也可以是有理数、无理数，这个公式中的n的范围是一个实常数，即logaMn=nlogaM（a>0, a≠1，n ∈R）③．

师：

这个小组补充得很好，所以在平时的学习过程中，要学会由特殊到一般的探索发现过程．

评注学生体验成功的快乐，脸上都露出了笑容，课堂的气氛也十分活跃、和谐．

生9：

我们研究出：

设logNM=A，则

（1）logNMx=xA；

（2）logNyM=

 ；（3）logNyMx=

 A．

师：

很好！

其实这三个式子可合并为:

logapMn=

logaM（a>0, a≠1，p, n∈ R）④．

众生：

这个不能代替证明，应该运用定义进行推证．

师：

哪位同学上黑板来写？

生10：

令logapMn=x,logaM =y，则Mn=（ay）n=any，又Mn=（ap）x=apx，即apx=any，故px=ny，从而x=

y，性质④成立．

生11：

当p=0时，

无意义，条件中应限制p∈R且p≠0．

师：

很好!

若p=0，则对数的底为1，不符合要求，所以解题时要细心．下面就运用这些公式计算下列各题：

例1 求下列各式的值：

（1）log3（34×93）；

（2）lg2+lg5；

（3）log125625；（4）log2（3+

）+log2（3-

 ）．

学生解答（略）．

师：

对数的运算法则既可以从左到右使用，也可以从右到左使用，还要会变形使用．

变题 求log6（ 

+

）的值．

生12：

设log6（ 

+

）= x（此时有的学生发笑，有的在沉思），则

+

 =6x，两边平方，得4+2

=62x，即62x=6，故x=

．

师：

漂亮！

这就是运算法则的变形使用．

例2 计算下列各式：

（1）

lg25+lg2+lg

+lg（0.01）-1；

（2）3log32-log3

+log38-3log3 5；

（3）（lg5）2+lg2·lg50．

学生解答（略）．

师：

若n个对数的底数相同时，可以利用积与商的对数运算法则化简．其次，运算时可以充分利用像lg2+lg5=1这样的运算技巧．

师：

这节课我们通过具体数据的计算探究了对数运算的三个性质，并利用定义法、等价转化思想进行了证明，体现了由特殊到一般、先猜后证的研究思想，我们要既学猜想，又学证明．

课堂作业（略）.课外探究：

是否存在M, N，使得loga（M+N）=logaM +logaN，loga（M-N）=logaM -logaN，loga（MN）=（logaM）（logaN），loga

=

 四个等式分别成立?

若存在，请找出一组M, N的值；否则，请说明理由．

2 教学反思

（1）精心“抛锚”，探求新知

教学伊始，教师总是千方百计地创设问题情境，引导学生探究数学知识．但多数教师只是将课本中的问题情境直接抛出，学生没有新鲜感，缺少探求新知的欲望．如本节课教者直接用课本上的问题引入，将“指数幂的运算性质”写一遍，然后再与学生一道观察课本中的一张表，探求规律，虽然学生也能发现三个性质，但学生始终没有参与课堂教学，只是应付而已，从而失去最佳探求新知的机会．为此笔者在教学过程中设计了“锚”——“对数的运算性质”实验报告，当解释数据实验的分组、要求、步骤时，学生已经跃跃欲试了，这时探究的氛围已经被调动起来了．

因此，我们不能简单地呈现一个或多个已经被老师们抽象加工好的问题情境，而应该根据学生的实际情况组织第二次加工，包括内容的呈现方式、活动场景的设计，为学生的数学活动精心抛下可以依托的、具有较强吸引力的“锚”．这种“锚”可以是一系列需要学生组织提炼的模糊问题、数学的开放性问题情境、一段数学资料（包括数学史料、与之相关的数学概念及定理性质的形成过程等），让学生可以紧紧围绕这些“锚”开展一系列的数学探究活动．

（2）既教猜想，又教证明

一些教师有一个错误的认识：

数学学习就是追求结果知识，运用结果知识会做题就行．其实这种“会做题”也仅仅停留在机械模仿上，学生还是没有抓住问题的实质，也就是没有体会知识的形成过程．事实证明：

重视结果知识的学习，无论怎样突出学生的主动参与，最终仍导致学生处于被动应付的境地．本课通过实验发现了对数的运算性质，但若没有引导学生怎样从底为10的情况猜出底为a的一般情况，那就失去了教学生如何猜想的机会．

以a为底的对数运算性质是这节课的难点，笔者引导学生就底数分别取2, 3, 0.4,…，学生验证也是成立的，这时教师发问“底数有无限种取法，我们究竟要写多少组这样的类似公式？

”这就引起学生的思考与猜想，此时有的学生萌发出“用字母代表数”的念头，教师及时捕捉这一信息进行阐述，得到一般情况．而在让学生进行证明时，教师通过“我们有现成的定理、公式吗？

”让学生思考“怎么办”——这就是教学生如何证明．在这个过程中，教者是组织者、协调者，而学生是真正的主体．

（3）留有时空，拓展思维

普朗克说：

“思考可以构成一座桥，让我们通向新知．”思考对于探求新知的重要性是毋庸置疑的，但怎样使学生善于独立思考却是一个老大难问题．其原因是，独立思考问题是学生自我控制的内隐过程，教师通过观察很难评估思考过程的具体情况，无法对其进行正确的诊断，从而就无针对性的矫正措施．尽管如此，我们在教学过程中要努力做到：

①对学生提出或质疑的问题、回答老师的问题不论结果如何，教师都应该给予中肯的建议，以肯定、褒扬为主．如本课变题，一位数学成绩中等的女生给出的一种解法（见前文），即从定义法入手，这时教师就应该给予表扬，提振其学好数学的信心．②善待学生思考问题时出现的奇异想法（或荒诞念头）、独特思路、出乎意料的思考问题的方式．如教者求解变题的思路是：

原式=

log6（

+

）2=log6（4 +2

）=

log6 6=

．因此，课堂上决不能随意否定学生的想法，要保护他们的积极性，让他们的创造性思维在宽松和谐的氛围中不断升华．③课堂上提倡学生敢于大胆质疑、相互辩论，反对不加思考分析而盲目顺从、接受．教师还可以留下具有一定探究性的问题让学生课后思考、辩论．如本节课尾留下的思考题，将探究性学习延伸到课外，和学生的交流话题就愈来愈多，让更多的学生得到更好的发展．