考点23 空间几何题的面积与体积高考数学江苏专版五年真题与三年模拟试题考点分类汇编含答案.docx

考点23 空间几何题的面积与体积高考数学江苏专版五年真题与三年模拟试题考点分类汇编含答案.docx

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考点23空间几何题的面积与体积高考数学江苏专版五年真题与三年模拟试题考点分类汇编含答案

考点23空间几何题的面积与体积

考纲要求

内容

要求

A

B

C

柱、锥、球及简单组合体

√

柱、锥、球的表面积与体积

√

1.直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.

2.多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.

3.柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比

五年高考情况分析

年份

2014年

2015年

2016年

2017年

2018年

知识点

圆柱的侧面积与体积

圆柱与圆锥的体积

棱锥与棱柱的体积

圆柱与球的体积

四棱锥的体积

立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。

从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。

考点总结

把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础.在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图.近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.

五年高考真题

1、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

【答案】

【解析】分析：

解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：

由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为

2、（2017江苏卷）如图，圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

【答案】：

【解析】：

设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为h＝2R.因为V1＝πR2h＝2πR3，V2＝，所以＝.

因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R＝1，不会影响结果

3、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

解答

（1）由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.

因为A1B1＝AB＝6，

所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积

V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24（m3）；

正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3）．

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3）．

（2）设A1B1＝a（m），PO1＝h（m），则0

因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，

所以2＋h2＝36，即a2＝2（36－h2），

于是仓库的容积

V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝（36h－h3），0

从而V′＝（36－3h2）＝26（12－h2）．

令V′＝0，得h＝2或h＝－2（舍）．

当00，V是单调增函数；

当2

故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．

因此，当PO1＝2m时，仓库的容积最大．

4、（2015江苏卷）.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．

【答案】：

【解析】：

设新的底面半径为r，则π×52×4＋π×22×8＝πr2×4＋πr2×8，解得r＝.

5、（2014江苏卷）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

【答案】：

【解析】：

设甲、乙两个圆柱的高分别为h1，h2，则由＝得＝，即＝，其中r1，r2分别是甲、乙两个圆柱的底面半径．又它们的侧面积相等，所以2πr1h1＝2πr2h2，即＝＝，所以＝＝×＝.

三年模拟试题

题型一柱的表面积与体积

1、（2018南京学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.

【答案】.18π

【解析】：

　设正方形的边长为xcm，则圆柱的体积为πx2·x＝27π，解得x＝3，所以该圆柱的侧面积为2π×3×3＝18π（cm2）．

2、（2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm（不计损耗）．

【答案】.2　

【解析】：

由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6××42×4－9×4＝60，设所求正三棱柱的底面边长为xcm，则有x2·6＝60，解得x＝2，所以所求边长为2cm.

3、（2018苏北四市期末）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.

【答案】.54

【解析】：

　设该正四棱柱的侧棱长为hcm，则（3）2＝32＋h2，解得h＝6（负值舍去），从而这个正四棱柱的体积是V＝32×6＝54（cm3）．

4、（2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,,则的值为．

【答案】

【解析】设正四棱柱得高为，所以底面边长为，根据体积相等，且高相等，所以正四棱锥的高为，则正棱锥侧面的高为,所以.

5、（2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1A1BD的体积为________cm3.

【答案】

【解析】：

　VD1A1BD＝VBA1DD1＝×3××3×1＝.

解后反思对于三棱锥体积的求解，找“高”是关键，要能够换底，找到易求的那个高．

6、（2017南京学情调研）已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为________．

【答案】.6　

【解析】：

设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，从而它的高为r，由圆柱M与圆锥N的体积相同，得4π×6＝πr2×r，解得r＝2，因此圆锥N的高h＝r＝6.

7.（2017常州期末）（B08,10.以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．

【答案】

【解析】　如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr2.圆锥的母线l＝＝r，故圆锥的侧面积为S2＝×2πr×l＝πr2，所以S2∶S1＝∶2.

8、（2017徐州、连云港、宿迁三检）．如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为．

【答案】．

【解析】：

因为正三棱柱中，，因为，，

所以，因为点在棱上，所以点到平面的距离就是点到平面的距离．作，垂直为点，因为正三棱柱中，面，面，所以，而，，，所以．因为正三棱柱中，，所以，的面积，所以三棱锥的体积．

点评：

对于立体几何中求表面积和求体积的问题，一定要遵循“一作二证三计算”的原则，推理证明不能忽视．

9、（2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为▲．

【答案】．

【解析】：

将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：

，当且仅当

三点共线取到.此时，所以.在直三棱柱ABC－A1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱锥的高，所以

【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题.

10、（2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．

【答案】.8

【解析】：

　因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EF＝VEA1AF＝S△A1AF·BH＝××6×4×2＝8.

解题反思一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解．

题型二锥的表面积与体积

1、（2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB的长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为________cm3.

【答案】4

【解析】：

　如图，过点P作PO垂直于底面ABCD，且垂足为O，在平面ABCD中，过点O作直线AB的垂线，垂足为E，连结PE.

由正四棱锥的性质知，PE⊥AB，所以S侧＝（×2×PE）×4＝8，解得PE＝2，在Rt△POE中，PO＝＝＝1，所以正四棱锥的体积为×

（2）2×1＝4.

2、（2018常州期末）已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．

【答案】.3

【解析】：

　设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝πrh1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝πr2h＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝＝，得h1＝h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.

3、（2018镇江期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为________．

【答案】.　

【解析】：

正四棱锥的底面边长为2，可知底面正方形对角线长为2，所以正四棱锥的高为＝2，所以正四棱锥的体积V＝×4×2＝.

4、（2018扬