第二章 图的几何变换.docx
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第二章图的几何变换
第二章图象的几何变换
这一章我们将介绍图象的几何变换，包括图象的平移，旋转，镜象变换，转置，放缩等。
如果你熟悉矩阵运算，你将发现，实现这些变换是非常容易的。
1．平移（translation）
平移变换大概是几何变换中最简单的一种了。
图1.平移的示意图
如图1所示，初始坐标为（x0,y0）的点经过平移（tx,ty）（以向右，向下为正方向）后，坐标变为（x1,y1）。
这两点之间的关系是x1=x0+tx;y1=y0+ty
以矩阵的形式表示为
=
*
（1）
我们更关心的是它的逆变换：
=
*
（2）
这是因为：
我们想知道的是平移后的图象中每个像素的颜色。
例如我们想知道，新图中左上角点的RGB值是多少？
很显然，该点是原图中的某一点经过平移后得到的，这两点的颜色肯定是一样的，所以只要知道了原图那点的RGB值即可。
那么到底新图中的左上角点对应原图中的哪一点呢？
将左上角点的坐标（0,0）代入公式
（2），得到x0=-tx；y0=-ty；
所以新图中的（0,0）点的颜色和原图中（-tx,-ty）的一样。
这样就存在一个问题：
如果新图中有一点（x1,y1），按照公式
（2）得到的（x0,y0）不在原图中该怎么办？
通常的做法是，把该点的RGB值统一设成（0,0,0）或者（255,255,255）。
另一个问题是：
平移后的图象是否要放大？
一种做法是不放大，移出的部分被截断，如下图所示，图2为原图，图3为移动后的图。
这种处理，文件大小不会改变。
图2.移动前的图
图3.移动后的图
还有一种做法是：
将图象放大，使得能够显示下所有部分。
如图4所示。
图4.移动后图象被放大
这种处理，文件大小要改变。
设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx|
和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx,ty有可能为负（即向左，向上移动）。
下面的函数Translation采用的是第一种做法，即移出的部分被截断。
在给出源代码之前，先说明一个问题。
如果你用过Photoshop,CorelPhotoPaint等图象处理软件，你可能听说过“灰度图”（grayscale）这个词。
灰度图是指只含亮度信息，不含色彩信息的图象，就象我们平时看到的黑白照片。
亮度由暗到明，变化是连续的，因此，要表示灰度图，就需要把亮度值进行量化。
通常划分成0到255共256个级别，0最暗（全黑），255最亮（全白）。
.bmp格式的文件中，并没有灰度图这个概念，但是，我们可以很容易的用.bmp文件来表示灰度图。
方法是用256色的调色板，只不过这个调色板有点特殊，每一项的RGB值都是相同的。
也就是说RGB值从（0，0，0），（1，1，1）一直到（255，255，255）。
（0，0，0）是全黑色，（255，255，255）是全白色，中间的是灰色。
这样，灰色图就可以用256色图来表示了。
为什么会这样呢？
难道是一种巧合？
其实并不是。
在表示颜色的方法中，除了RGB外，还有一种叫YUV的表示方法，用的也很多。
电视信号中用的就是一种类似于YUV的颜色表示方法。
这种表示方法中，Y分量的物理含义就是亮度，U和V分量代表了色差信号（你不必了解什么是色差，只要知道有这么一个概念就可以了）。
使用这种表示方法有很多好处，最主要的有两点：
1．因为Y代表了亮度，所以，Y分量包含了灰度图的所有信息，只用Y分量就完全能够表示出一幅灰度图来。
当同时考虑U，V分量时，就能够表示出彩色信息来。
这样，用同一种表示方法可以很方便的在灰度和彩色图之间切换，而RGB表示方法就做不到这一点了。
2．人眼对于亮度信号非常敏感，而对色差信号的敏感程度相对较弱。
也就是说，图象的主要信息包含在Y分量中。
这就提示了我们，如果在对YUV信号进行量化时，可以“偏心”一点，让Y的量化级别多一些（谁让它重要呢？
）而让UV的量化级别少一些，就可以实现图象信息的压缩，这一点将在图象压缩那一章中仔细研究，这里就不深入讨论了。
而RGB的表示方法就做不到这一点，因为RGB三个分量同等重要，缺了谁也不行。
YUV和RGB之间有着如下的对应关系
=
*
（3）
=
*
（4）
当RGB三个分量的大小一样时，假设都是a，代入公式（3），得到Y=a，U=0，V=0。
你现在该明白我前面所说不是巧合的原因了吧。
使用灰度图有一个好处，那就是方便。
首先RGB的值都一样，其次，图象数据即调色板索引值，也就是实际的RGB值，也就是亮度值；另外因为是256色的调色板，所以图象数据中一个字节代表一个像素，很齐整，如果是2色图或16色图，还要拼凑字节，很麻烦。
如果是彩色的256色图，由于图象处理后有可能会产生不属于这256种颜色的新颜色，就更麻烦了，这一点，今后你就会有深刻体会的。
所以，做图象处理时，一般采用灰度图。
为了将重点放在算法本身上，今后给出的程序如不做特殊说明，都是针对256级灰度图的，其它颜色的情况，你可以自己想一想，把算法补全。
想得到一幅灰度图，你可以使用Sea或者PhotoShop等软件提供的颜色转换功能将彩色图转换成灰度图。
好了，言归正传，下面给出Translation的源代码。
算法的思想是先将所有区域填成白色，然后找平移后显示区域的左上角点（x0,y0）和右下角点（x1,y1）。
分几种情况。
先看x方向（width指图象的宽度）
1．tx≤-width
很显然，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理
2．-width图5.tx≤0,ty≤0的情况
容易看出，图象区域的x范围从0到width-|tx|,对应原图的范围从|tx|到width
3．0图6.0容易看出，图象区域的x范围从tx到width,对应原图的范围从0到width-tx
4．tx≥width
很显然，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理
y方向是对应的（height表示图象的高度）
1．ty≤-height，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理
2．-height3．04．ty≥height，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理
这种做法利用了位图存储的连续性，即同一行的像素在内存中是相邻的。
利用memcpy函数，从（x0,y0）点开始，一次可以拷贝一整行（宽度为x1-x0），然后将内存指针移到（x0,y0+1）处，拷贝下一行，这样拷贝（y1-y0）行就完成了全部操作，避免了一个一个像素的计算，提高了效率。
Translation的源代码如下：
intxOffset=0,yOffset=0;
BOOLTranslation（HWNDhWnd）
{
DLGPROCdlgInputBox=NULL;
DWORDOffBits,BufSize;
LPBITMAPINFOHEADERlpImgData;
LPSTRlpPtr;
HLOCALhTempImgData;
LPBITMAPINFOHEADERlpTempImgData;
LPSTRlpTempPtr;
intSrcX0,SrcY0,SrcX1,SrcY1,DstX0,DstY0,DstX1,DstY1;
intRectWidth,RectHeight;
BOOLxVisible,yVisible;
HDChDc;
HFILEhf;
inti;
//出现对话框，输入x偏移量xOffset，和y偏移量yOffset
dlgInputBox=（DLGPROC）MakeProcInstance（（FARPROC）InputBox,ghInst）;
DialogBox（ghInst,"INPUTBOX",hWnd,dlgInputBox）;
FreeProcInstance（（FARPROC）dlgInputBox）;
//OffBits为BITMAPINFOHEADER结构长度加调色板的大小
OffBits=bf.bfOffBits-sizeof（BITMAPFILEHEADER）;
BufSize=bf.bfSize-sizeof（BITMAPFILEHEADER）;//要开的缓冲区的大小
//为新产生的位图分配缓冲区内存if（（hTempImgData=LocalAlloc（LHND,BufSize））==NULL）
{
MessageBox（hWnd,"Errorallocmemory!
","ErrorMessage",MB_OK|
MB_ICONEXCLAMATION）;
returnFALSE;//失败，返回
}
//lpImgData为指向原来位图数据的指针
lpImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）GlobalLock（hImgData）;
//lpTempImgData为指向新产生位图数据的指针
lpTempImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）LocalLock（hTempImgData）;
lpPtr=（char*）lpImgData;
lpTempPtr=（char*）lpTempImgData;
//将新的缓冲区内存中的每个字节都填成255，这样以后未处理的像素就是白色
memset（lpTempPtr,（BYTE）255,BufSize）;
//因为两幅图之间的所有头信息，包括调色板都是相同的，所以直接拷贝头和调色板
memcpy（lpTempPtr,lpPtr,OffBits）;
xVisible=TRUE;//xVisible为FALSE时，表示x方向已经移出了可显示的范围
if（xOffset<=-bi.biWidth）
xVisible=FALSE;
elseif（xOffset<=0）{
DstX0=0;//表示移动后，有图区域的左上角点的x坐标
DstX1=bi.biWidth+xOffset;//表示移动后，有图区域的右下角点的x坐标
}
elseif（xOffsetDstX0=xOffset;
DstX1=bi.biWidth;
}
else
xVisible=FALSE;
SrcX0=DstX0-xOffset;//对应DstX0在原图中的x坐标
SrcX1=DstX1-xOffset;//对应DstX1在原图中的x坐标
RectWidth=DstX1-DstX0;//有图区域的宽度
yVisible=TRUE;//yVisible为FALSE时，表示y方向已经移出了可显示的范围
if（yOffset<=-bi.biHeight）
yVisible=FALSE;
elseif（yOffset<=0）{
DstY0=0;//表示移动后，有图区域的左上角点的y坐标
DstY1=bi.biHeight+yOffset;//表示移动后，有图区域的右下角点的y坐标
}
elseif（yOffsetDstY0=yOffset;
DstY1=bi.biHeight;
}
else
yVisible=FALSE;
SrcY0=DstY0-yOffset;//对应DstY0在原图中的y坐标
SrcY1=DstY1-yOffset;//对应DstY1在原图中的y坐标
RectHeight=DstY1-DstY0;//有图区域的高度
if（xVisible&&yVisible）{//x,y方向都没有完全移出可显示的范围
for（i=0;i//lpPtr指向要拷贝的那一行的最左边的像素对应在原图中的位置。
特别要注
//意的是，由于.bmp是上下颠倒的，偏移是
//（BufSize-LineBytes-（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0而不是
//（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0，你试着举个例子就明白了。
lpPtr=（char*）lpImgData+（BufSize-LineBytes-（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0;
//lpTempPtr指向要拷贝的那一行的最左边的像素对应在新图中的位置。
同样要//注意上面的问题。
lpTempPtr=（char*）lpTempImgData+（BufSize-LineBytes-（i+DstY0）*LineBytes）
+DstX0;
//拷贝一行（宽度为RectWidth）
memcpy（lpTempPtr,lpPtr,RectWidth）;
}
}
hDc=GetDC（hWnd）;
if（hBitmap!
=NULL）
DeleteObject（hBitmap）;//释放原来的位图句柄
//产生新的位图
hBitmap=CreateDIBitmap（hDc,（LPBITMAPINFOHEADER）lpTempImgData,
（LONG）CBM_INIT,
（LPSTR）lpTempImgData+sizeof（BITMAPINFOHEADER）+NumColors*sizeof（RGBQUAD）,
（LPBITMAPINFO）lpTempImgData,DIB_RGB_COLORS）;
//将平移后的图象存成文件
hf=_lcreat（"c:
\\translation.bmp",0）;
_lwrite（hf,（LPSTR）&bf,sizeof（BITMAPFILEHEADER））;
_lwrite（hf,（LPSTR）lpTempImgData,BufSize）;
_lclose（hf）;
//释放资源和内存
ReleaseDC（hWnd,hDc）;
LocalUnlock（hTempImgData）;
LocalFree（hTempImgData）;
GlobalUnlock（hImgData）;
returnTRUE;
}
2．旋转（rotation）
旋转有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图象的中心为圆心旋转，举个例子，图7旋转30度（顺时针方向）后的图象如图8所示：
图7.旋转前的图
图8.旋转后的图
可以看出，旋转后图象变大了。
另一种做法是不让图象变大，转出的部分被裁剪掉。
如图9所示：
图9.旋转后保持原图大小，转出的部分被裁掉
我们采用第一种做法，首先给出变换矩阵。
先来看一下，在我们熟悉的坐标系中，将一个点顺时针旋转a角后的坐标变换公式，如图10所示，r为该点到原点的距离，在旋转过程中，r保持不变。
b为r与x轴之间的角度。
图10.旋转示意图
旋转前：
x0=r*cos（b）；y0=r*sin（b）
旋转a角度后：
x1=r*cos（b-a）=r*cos（b）*cos（a）+r*sin（b）*sin（a）=x0*cos（a）+y0*sin（a）；
y1=r*sin（b-a）=r*sin（b）*cos（a）-r*cos（b）*sin（a）=-x0*sin（a）+y0*cos（a）；
以矩阵的形式表示
=
*
（5）
上面的公式中，坐标系I是以图象的中心为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向。
它和以图象左上角点，向右为x轴正方向，向下为y轴正方向的坐标系II之间的转换关系如何呢？
如图11所示
图11.两种坐标系间的转换关系
设图象的宽为w,高为h,容易得到
=
*
（6）
逆变换为
=
*
（7）
有了上面的公式，我们可以把变换分成3步
第一，将坐标系I变成II；
第二，将该点顺时针旋转a角；
第三，将坐标系II变回I，这样，我们就得到了变换矩阵，是上面三个矩阵的级联。
=
*
*
*
=
（8）
要注意的是，因为新图变大，所以上面公式中出现了Wold,Hold,Wnew,Hnew，表示原图和新图的宽高。
我们从图8中容易看出，Wnew=max（|x4-x1|,|x3-x2|）;Hnew=max（|y4-y1|,|y3-y2|）.
（8）的逆变换为
=
*
*
*
=
（9）
这样，对于新图中的每一点，我们就可以根据公式（9）求出对应的原图中的点，得到它的灰度，如果超出原图范围，则填成白色。
要注意的是，由于有浮点运算，计算出来点的坐标可能不是整数，采用取整处理，即找最接近的点，这样会带来一些误差（图象可能会出现锯齿），更精确的方法是采用插值，将在介绍图象缩放时讲到。
下面是源程序
#definePI3.1415926535
#defineRADIAN（angle）（（angle）*PI/180.0）//角度到弧度转化的宏
BOOLRotation（HWNDhWnd）
{
DLGPROCdlgInputBox=NULL;
DWORDOffBits,SrcBufSize,DstBufSize,DstLineBytes;
LPBITMAPINFOHEADERlpImgData;
LPSTRlpPtr;
HLOCALhTempImgData;
LPBITMAPINFOHEADERlpTempImgData;
LPSTRlpTempPtr;
floatSrcX1,SrcY1,SrcX2,SrcY2,SrcX3,SrcY3,SrcX4,SrcY4;
floatDstX1,DstY1,DstX2,DstY2,DstX3,DstY3,DstX4,DstY4;
DWORDWold,Hold,Wnew,Hnew;
HDChDc;
HFILEhf;
DWORDx0,y0,x1,y1;
floatcosa,sina;//cos（a）,sin（a）
floatnum1,num2;
BITMAPFILEHEADERDstBf;
BITMAPINFOHEADERDstBi;
//出现对话框，输入旋转角度（顺时针方向）
dlgInputBox=（DLGPROC）MakeProcInstance（（FARPROC）InputBox,ghInst）;
DialogBox（ghInst,"INPUTBOX",hWnd,dlgInputBox）;
FreeProcInstance（（FARPROC）dlgInputBox）;
//角度到弧度的转化
RotateAngle=（float）RADIAN（RotateAngle）;
cosa=（float）cos（（double）RotateAngle）;
sina=（float）sin（（double）RotateAngle）;
//原图的宽度和高度
Wold=bi.biWidth;
Hold=bi.biHeight;
//原图的四个角的坐标
SrcX1=（float）（-0.5*Wold）;
SrcY1=（float）（0.5*Hold）;
SrcX2=（float）（0.5*Wold）;
SrcY2=（float）（0.5*Hold）;
SrcX3=（float）（-0.5*Wold）;
SrcY3=（float）（-0.5*Hold）;
SrcX4=（float）（0.5*Wold）;
SrcY4=（float）（-0.5*Hold）;
//新图四个角的坐标
DstX1=cosa*SrcX1+sina*SrcY1;
DstY1=-sina*SrcX1+cosa*SrcY1;
DstX2=cosa*SrcX2+sina*SrcY2;
DstY2=-sina*SrcX2+cosa*SrcY2;
DstX3=cosa*SrcX3+sina*SrcY3;
DstY3=-sina*SrcX3+cosa*SrcY3;
DstX4=cosa*SrcX4+sina*SrcY4;
DstY4=-sina*SrcX4+cosa*SrcY4;
//计算新图的宽度，高度
Wnew=（DWORD）（max（fabs（DstX4-DstX1）,fabs（DstX3-DstX2））+0.5）;
Hnew=（DWORD）（max（fabs（DstY4-DstY1）,fabs（DstY3-DstY2））+0.5）;
//计算矩阵（9）中的两个常数，这样不用以后每次都计算了
num1=（float）（-0.5*Wnew*cosa-0.5*Hnew*sina+0.5*Wold）;
num2=（float）（0.5*Wnew*sina-0.5*Hnew*cosa+0.5*Hold）;
//OffBits为BITMAPINFOHEADER结构长度加调色板的大小
OffBits=bf.bfOffBits-sizeof（BITMAPFILEHEADER）;
SrcBufSize=bf.bfSize-sizeof（BITMAPFILEHEADER）;
//显示时，采用新图的宽度和高度，
ImgWidth=Wnew;
ImgHeight=Hnew;
//新图每行占用的字节
DstLineBytes=（DWORD）WIDTHBYTES（Wnew*bi.biBitCount）;
DstBufSize=（DWORD）（sizeof（BITMAPINFOHEADER）+NumColors*sizeof（RGBQUAD）+
（DWORD）DstLineBytes*Hnew）;//要开的缓冲区的大小
//为新产生的位图分配缓冲区内存
if（（hTempImgData=LocalAlloc（LHND,DstBufSize））==NULL）
{
MessageBox（hWnd,"Errorallocmemory!
","ErrorMessage",MB_OK|
MB_ICONEXCLAMATION）;
returnFALSE;//失败，返回
}
//lpImgData为指向原来位图数据的指针
lpImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）GlobalLock（hImgData）;
//lpTempImgData为指向新产生位图数据的指针
lpTempImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）LocalLock（hTempImgData）;
lpPtr=（char*）lpImgData;
lpTempPtr=（char*）lpTempImgData;
//将新的缓冲区内存中的每个字节都填成255，这样以后未处理的像素就是白色
memset（lpTempPtr,（BYTE）255,DstBufSize）;
//拷贝头和调色板信息
memcpy（lpTempPtr,lpPtr,OffBits）;
//得到新的BIT
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