备战中考初中数学导练学案50讲第20讲等腰三角形讲练版.docx

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备战中考初中数学导练学案50讲第20讲等腰三角形讲练版

备战中考初中数学导练学案50讲

第20讲等腰三角形

【疑难点拨】

1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性．

（1）腰和底不分:

解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立．

（2）顶角和底角不分:

根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在．

（3）顶角顶点和底角顶点不分:

判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整．

（4）锐角三角形和钝角三角形不分:

等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．

2.巧用轴对称构等腰三角形解题：

在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.

（1）图形含有垂线（或高线）,以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形

（2）图形含有角平分线,以角平分线为对称轴构等腰三角形[

（3）图形含有线段的垂直平分线,以垂直平分线为对称轴构等腰三角形

根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力．

【基础篇】

一、选择题：

1.（2018•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+

=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）

2.（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

A．30°B．45°C．50°D．75°

3.（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20°B．35°C．40°D．70°

4.（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）

A．1B．

C．

D．2

5.（2018•山东枣庄•3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题：

6.（2018•四川成都•3分）等腰三角形的一个底角为

，则它的顶角的度数为________．

7.（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　.　cm．

8.（2018四川省泸州市3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　．

三、解答与计算题：

9.（2018•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：

∠A=∠C．

（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：

AD=CD．

10.（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：

35°）

例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：

40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解

（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

【能力篇】

一、选择题：

11.（2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①C．①②D．②③

12.（2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）

A．3B．4C．8D．9

13.（2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（　　）

A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'

C．△E′EC∽△AFDD．△AE′F是等腰三角形

二、填空题：

14.（2018•吉林）我们规定：

等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=

，则该等腰三角形的顶角为　　度．

15.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是　　．

三、解答与计算题：

16.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．

（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．

（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．

17.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．

（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；

（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．

18.（2018·湖北省孝感·7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；

③连接PB，PC．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　　；

（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．

【探究篇】

19.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

（1）求证：

OB=DC；

（2）求∠DCO的大小；

（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

20.（2018•山东淄博•9分）

（1）操作发现：

如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：

线段GM与GN的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？

请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在

（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

第20讲等腰三角形

【疑难点拨】

1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性．

（1）腰和底不分:

解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立．

（2）顶角和底角不分:

根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在．

（3）顶角顶点和底角顶点不分:

判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整．

（4）锐角三角形和钝角三角形不分:

等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．

2.巧用轴对称构等腰三角形解题：

在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.

（1）图形含有垂线（或高线）,以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形

（2）图形含有角平分线,以角平分线为对称轴构等腰三角形[

（3）图形含有线段的垂直平分线,以垂直平分线为对称轴构等腰三角形

根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力．

【基础篇】

一、选择题：

1.（2018•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+

=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）

A．12B．10C．8D．6

【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．

【解答】解：

∵|m﹣2|+

=0，

∴m﹣2=0，n﹣4=0，

解得m=2，n=4，

当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；

当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：

2+4+4=10．

故选：

B．

2.（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

A．30°B．45°C．50°D．75°

【考点】KH：

等腰三角形的性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=30°，

∴∠BDC=60°，

∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

故选B．

3.（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20°B．35°C．40°D．70°

【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=

（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=

∠ACB=35°．

【解答】解：

∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，

∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=

（180°﹣∠CAB）=70°．

∵CE是△ABC的角平分线，

∴∠ACE=

∠ACB=35°．

故选：

B．

4.（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）

A．1B．

C．

D．2

【考点】K5：

三角形的重心；KW：

等腰直角三角形．

【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=

CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．

【解答】解：

连接CP并延长，交AB于D，

∵P是Rt△ABC的重心，

∴CD是△ABC的中线，PD=

CD，

∵∠C=90°，

∴CD=

AB=3，

∵AC=BC，CD是△ABC的中线，

∴CD⊥AB，

∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，

故选：

A．

5.（2018•山东枣庄•3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．

【解答】解：

如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，

故选：

B．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．

二、填空题：

6.（2018•四川成都•3分）等腰三角形的一个底角为

，则它的顶角的度数为________．

【答案】80°

【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：

∵等腰三角形的一个底角为

∴它的顶角的度数为：

180°-50°×2=80°

故答案为：

80°

【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。

7.（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　6　cm．

【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×

AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=

AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．

【解答】解：

在Rt△ADB与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC，

∴S△ABC=2S△ABD=2×

AB•DE=AB•DE=3AB，

∵S△ABC=

AC•BF，

∴

AC•BF=3AB，

∵AC=AB，

∴

BF=3，

∴BF=6．

故答案为6．

8.（2018四川省泸州市3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　18　．

【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；

【解答】解：

如图作AH⊥BC于H，连接AD．

∵EG垂直平分线段AC，

∴DA=DC，

∴DF+DC=AD+DF，

∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，

∵

•BC•AH=120，

∴AH=12，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=10，

∵BF=3FC，

∴CF=FH=5，

∴AF=

=

=13，

∴DF+DC的最小值为13．

∴△CDF周长的最小值为13+5=18；

故答案为18．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．

三、解答与计算题：

9.（2018•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：

∠A=∠C．

（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：

AD=CD．

【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；

（B类）由以上过程反之即可得．

【解答】证明：

（A类）连接AC，

∵AB=AC，AD=CD，

∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；

（B类）∵AB=AC，

∴∠BAC=∠BCA，

又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD．

10.（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：

35°）

例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：

40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解

（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

【分析】

（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；

（2）分两种情况：

①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．

【解答】解：

（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；

故∠B=50°或20°或80°；

（2）分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，

∴∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时，

若∠A为顶角，则∠B=（

）°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．

当

≠180﹣2x且180﹣2x≠x且

≠x，

即x≠60时，∠B有三个不同的度数．

综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．

【能力篇】

一、选择题：

11.（2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①C．①②D．②③

【分析】

（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；

（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；

（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．

【解答】解：

由已知：

AC=

AB，AD=

AE

∴

∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△BAE∽△CAD

所以①正确

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

∵∠PME=∠AMD

∴△PME∽△AMD

∴

∴MP•MD=MA•ME

所以②正确

∵∠BEA=∠CDA

∠PME=∠AMD

∴P、E、D、A四点共圆

∴∠APD=∠EAD=90°

∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°

∴△CAP∽△CMA

∴AC2=CP•CM

∵AC=

AB

∴2CB2=CP•CM

所以③正确

故选：

A．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．

12.（2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）

A．3B．4C．8D．9

【考点】KK：

等边三角形的性质；KO：

含30度角的直角三角形．

【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：

设AD=x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，

∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，

∴AF=2x，

∴CF=12﹣2x，

∴CE=2CF=24﹣4x，

∴BE=12﹣CE=4x﹣12，

∴BD=2BE=8x﹣24，

∵AD+BD=AB，

∴x+8x﹣24=12，

∴x=4，

∴AD=4．

故选B．

13.（2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（　　）

A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'

C．△E′EC∽△AFDD．△AE′F是等腰三角形

【考点】R2：

旋转的性质；KG：

线段垂直平分线的性质；KI：

等腰三角形的判定；KW：

等腰直角三角形；LE：

正方形的性质；S8：

相似三角形的判定．

【分析】由旋转的性质得到AE′=AE，∠E′AE=90°，于是得到△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到∠E′AD=∠BAE，由正方形的性质得到∠DAB=90°，推出∠E′AF=∠EAF，于是得到AF垂直平分EE'，故B正确；根据余角的性质得到∠FE′E=∠DAF，于是得到△E′EC∽△AFD，故C正确；由于AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，于是得到△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误．

【解答】解：

∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，

∴AE′=AE，∠E′AE=90°，

∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；

∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，

∴∠E′AD=∠BAE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠E′AD+∠FAD=45°，

∴∠E′AF=∠EAF，

∵AE′=AE，

∴AF垂直平分EE'，故B正确；

∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，

∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，

∴∠FE′E=∠DAF，

∴△E′EC∽△AFD，故C正确；

∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，

∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；

故选D．

二、填空题：

14.（2018•吉林）我们规定：

等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=

，则该等腰三角形的顶角为　　度．

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．

【解答】解：

∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=

，

∴∠A：

∠B=1：

2，

即5∠A=180°，

∴∠A=36°，

故答案为：

36．

15.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是　　．

【解答】解：

作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，

则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=130°，

∴∠A′+∠A″=50°，

∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″，

∴∠FAA′+∠A″AE=50°，

∴∠EAF=130°﹣50°=80°，

故答案为：