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1、备战中考初中数学导练学案50讲第20讲等腰三角形讲练版 备战中考初中数学导练学案50讲第20讲 等腰三角形【疑难点拨】1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性（1）腰和底不分:解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立（2）顶角和底角不分:根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在（3）顶角顶点和底角顶点不分:判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考

2、虑完整（4）锐角三角形和钝角三角形不分:等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论2. 巧用轴对称 构等腰三角形解题：在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.（1）图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形（2）图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角

3、形（3）图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力【基础篇】一、选择题：1. （2018宿迁）若实数m、n满足等式|m2|+=0，且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是（）2. （2017湖北荆州）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为（）A30 B45 C50 D753. （2018湖州）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分

4、线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A20 B35 C40 D704. （2017浙江湖州）如图，已知在RtABC中，C=90，AC=BC，AB=6，点P是RtABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A1 B C D25. （2018山东枣庄3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A2个 B3个 C4个 D5个二、填空题：6. （2018四川成都3分）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数为_ 7. （2018娄底）如图，ABC中，AB=AC

5、，ADBC于D点，DEAB于点E，BFAC于点F，DE=3cm，则BF= .cm8. （2018四川省泸州市3分）如图，等腰ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为 三、解答与计算题：9. （2018徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：A=C（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，A=C，求证：AD=CD10. （2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度数（答案：35）例2 等腰三角形ABC中，A=40

6、，求B的度数，（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度数（1）请你解答以上的变式题（2）解（1）后，小敏发现，A的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设A=x，当B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围【能力篇】一、选择题：11. （2018江苏扬州3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰RtABC和等腰RtADE，CD与BE、AE分别交于点P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（）A B C D12. （2017广西河池）已知等边A

7、BC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G当G与D重合时，AD的长是（）A3 B4 C8 D913. （2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF=45，将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，则下列判断不正确的是（）AAEE是等腰直角三角形 BAF垂直平分EECEECAFD DAEF是等腰三角形二、填空题：14. （2018吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为 度15. 如图，ABBC，ADDC，BAD=130，

8、在BC、CD上分别找一点E、F，当AEF周长最小时，AEF+AFE的度数是 三、解答与计算题：16. 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹（2）若ABC的底边长5，周长为21，求BCD的周长17. 如图1，在锐角ABC中，ABC=45，高线AD、BE相交于点F（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DEAM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由18. （2018湖北省孝感7分）如图，ABC中，AB=AC，小聪同学

9、利用直尺和圆规完成了如下操作：作BAC的平分线AM交BC于点D；作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；连接PB，PC请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 ；（2）若ABC=70，求BPC的度数【探究篇】19. 如图，ABC和AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，BAC=OAD=90，点O是ABC内的一点，BOC=130（1）求证：OB=DC；（2）求DCO的大小；（3）设AOB=，那么当为多少度时，COD是等腰三角形20. （2018山东淄博9分）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外侧分别以AB，A

10、C为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN的形状，并给与证明第20讲 等腰三角形【疑难点拨】1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性（1）腰和底不分:解决等腰三角形求边长或

11、周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立（2）顶角和底角不分:根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在（3）顶角顶点和底角顶点不分:判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整（4）锐角三角形和钝角三角形不分:等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的

12、交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论2. 巧用轴对称 构等腰三角形解题：在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.（1）图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形（2）图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形（3）图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高

13、数学思维能力和几何解题能力【基础篇】一、选择题：1. （2018宿迁）若实数m、n满足等式|m2|+=0，且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是（）A12 B10 C8 D6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解【解答】解：|m2|+=0，m2=0，n4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10故选：B2. （2017湖北荆州）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的

14、度数为（）A30 B45 C50 D75【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质【分析】根据三角形的内角和定理，求出C，再根据线段垂直平分线的性质，推得A=ABD=30，由外角的性质求出BDC的度数，从而得出CBD=45【解答】解：AB=AC，A=30，ABC=ACB=75，AB的垂直平分线交AC于D，AD=BD，A=ABD=30，BDC=60，CBD=1807560=45故选B3. （2018湖州）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A20 B35 C40 D70【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出C

15、AB=2CAD=40，B=ACB=（180CAB）=70再利用角平分线定义即可得出ACE=ACB=35【解答】解：AD是ABC的中线，AB=AC，CAD=20，CAB=2CAD=40，B=ACB=（180CAB）=70CE是ABC的角平分线，ACE=ACB=35故选：B4. （2017浙江湖州）如图，已知在RtABC中，C=90，AC=BC，AB=6，点P是RtABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A1 B C D2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即

16、可【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，P是RtABC的重心，CD是ABC的中线，PD=CD，C=90，CD=AB=3，AC=BC，CD是ABC的中线，CDAB，PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A5. （2018山东枣庄3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A2个 B3个 C4个 D5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论【解答】解：如图所示，使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的

17、找出符合条件的点P是解题的关键二、填空题：6. （2018四川成都3分）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数为_ 【答案】80 【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：等腰三角形的一个底角为 它的顶角的度数为：180-502=80故答案为：80【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。7. （2018娄底）如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D点，DEAB于点E，BFAC于点F，DE=3cm，则BF=6cm【分析】先利用HL证明RtADBRtADC，得出SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，又SABC=ACBF，将AC=AB

18、代入即可求出BF【解答】解：在RtADB与RtADC中，RtADBRtADC，SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，SABC=ACBF，ACBF=3AB，AC=AB，BF=3，BF=6故答案为68. （2018四川省泸州市3分）如图，等腰ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为18【分析】如图作AHBC于H，连接AD由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；【解答】解：如图作AHBC于H，连

19、接ADEG垂直平分线段AC，DA=DC，DF+DC=AD+DF，当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，BCAH=120，AH=12，AB=AC，AHBC，BH=CH=10，BF=3FC，CF=FH=5，AF=13，DF+DC的最小值为13CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18【点评】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型三、解答与计算题：9. （2018徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：A=C（B类）已知如图，四边形ABCD中，A

20、B=BC，A=C，求证：AD=CD【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知BAC=BCA、DAC=DCA，两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得【解答】证明：（A类）连接AC，AB=AC，AD=CD，BAC=BCA，DAC=DCA，BAC+DAC=BCA+DCA，即A=C；（B类）AB=AC，BAC=BCA，又A=C，即BAC+DAC=BCA+DCA，DAC=DCA，AD=CD10. （2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度数（答案：35）例2 等腰三角形ABC中，A=40，求B的度数，（答案：40或70或100）张老师

21、启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度数（1）请你解答以上的变式题（2）解（1）后，小敏发现，A的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设A=x，当B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：90x180；0x90，结合三角形内角和定理求解即可【解答】解：（1）若A为顶角，则B=（180A）2=50；若A为底角，B为顶角，则B=180280=20；若A为底角，B为底角，则B=80；故B=50或20或80；（2）分两种情况：当90x180时，A

22、只能为顶角，B的度数只有一个；当0x90时，若A为顶角，则B=（）；若A为底角，B为顶角，则B=（1802x）；若A为底角，B为底角，则B=x当1802x且1802xx且x，即x60时，B有三个不同的度数综上所述，可知当0x90且x60时，B有三个不同的度数【能力篇】一、选择题：11. （2018江苏扬州3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰RtABC和等腰RtADE，CD与BE、AE分别交于点P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（）A B C D【分析】（1）由等腰RtABC和等腰RtADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，

23、证明PAMEMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正确故选：A【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案12. （2017广西河池）已知等边ABC的边长为12，D是A

24、B上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G当G与D重合时，AD的长是（）A3 B4 C8 D9【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到A=B=C=60，由垂直的定义得到ADF=DEB=EFC=90，解直角三角形即可得到结论【解答】解：设AD=x，ABC是等边三角形，A=B=C=60，DEAC于点E，EFBC于点F，FGAB，ADF=DEB=EFC=90，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4

25、，AD=4故选B13. （2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF=45，将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，则下列判断不正确的是（）AAEE是等腰直角三角形 BAF垂直平分EECEECAFD DAEF是等腰三角形【考点】R2：旋转的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质；S8：相似三角形的判定【分析】由旋转的性质得到AE=AE，EAE=90，于是得到AEE是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到EAD=BAE，由正方形的性质得到DAB=90，推出EAF=EAF，于是得到AF垂直平分

26、EE，故B正确；根据余角的性质得到FEE=DAF，于是得到EECAFD，故C正确；由于ADEF，但EAD不一定等于DAE，于是得到AEF不一定是等腰三角形，故D错误【解答】解：将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，AE=AE，EAE=90，AEE是等腰直角三角形，故A正确；将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，EAD=BAE，四边形ABCD是正方形，DAB=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAD+FAD=45，EAF=EAF，AE=AE，AF垂直平分EE，故B正确；AFEE，ADF=90，FEE+AFD=AFD+DAF，FEE=DAF，EECAFD，故C正确；AD

27、EF，但EAD不一定等于DAE，AEF不一定是等腰三角形，故D错误；故选D二、填空题：14. （2018吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为 度【分析】根据等腰三角形的性质得出B=C，根据三角形内角和定理和已知得出5A=180，求出即可【解答】解：ABC中，AB=AC，B=C，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，A：B=1：2，即5A=180，A=36，故答案为：3615. 如图，ABBC，ADDC，BAD=130，在BC、CD上分别找一点E、F，当AEF周长最小时，AEF+AFE的度数是 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于E，交CD于F，则AA即为AEF的周长最小值作DA延长线AH，DAB=130，A+A=50，A=FAA，EAD=A，FAA+AAE=50，EAF=13050=80，故答案为：