圆的方程知识点及题型归纳总结.docx
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圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
轨迹）
叫圆.
平面内到定点的距离等于定
长的点的集合（
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程：
（x
a）2（y
b）2
r2，圆心坐标为
（a,b），
半径为
r（r0）
（2）圆的一般方程：
x2y2Dx
Ey
F0（D2E2
4F
0），
圆心坐标为
D,
E
2
2
半径r
D2E24F
2
（xx1）（xx2）（yy1）（yy2）0
4）圆的参数方程：
参数，（a,b）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点P（x0,y0）与圆（x
a）2
22
（yb）2r2的位置关系：
①（x
a）2
（y
b）2r
2
点P在圆外；
②（x
a）2
（y
b）2r
2
点P在圆上；
③（x
a）2
（y
b）2r
2
点P在圆内.
（2）点P（x0,y0）与圆x2
y
2
DxEyF0的位置关系
①x02
2
y02
Dx0
Ey0
F
0
点P在圆外；
②x02
2
y0
Dx0
Ey0
F
0
点P在圆上；
③x02
2
y0
Dx0
Ey0
F
0
点P在圆内.
题型归纳及思路提示
题型1求圆的方程
思路提示
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a,b）和
半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.
例9.17根据下列条件求圆的方程：
（1）ABC的三个顶点分别为A（-1,5）,B（-2,-2）,C（5,5）,求其外接圆的方程；
（2）经过点A（6,5）,B（0,1）,且圆心在直线3x+10y+9=0上；
（3）经过点P（-2,4）,Q（3,-1）,且在x轴上截得的弦长等于6.
分析根据待定系数法求出相应的量即可.
解析
（1）解法一：
设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则由题意有，
D
5E
F
26
0
D
4
2D
2E
F
8
0解得
E
2
5D
5E
F
50
0
F
20
故所求圆的方程为x2y24x2y200
解法二：
由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P（2,1）,且半径r|AP|（21）2（15）25
所以所求圆的方程为（x2）2（y1）225
即x2y24x2y200
3
AB的中点（3,3），则由点斜式可得y3（x3），2
即线段AB的中垂线方程为3x+2y-15=0
由3x2y15
3x10y9
00，解得
7，
3
所以圆心为
C（7,-3）,又|BC|
65
故所求的圆的方程为（x7）2（y3）2
65
3）设圆的方程为x2y2
DxEyF0，将点P，Q的坐标分别代入，得
2D4EF
3DEF
20，又令y=0,得x2
10
DxF0.设x1,x2是方程的两根，则由韦达定理有
x1x2
D,x1x2
F，由|x1x2|6
2
有（x1x2）24x1x2
36，即D24F36
D
2
D
6
解得E
4或
E
8
F
8
F
0
故所求圆的
方程为
2x
222
y22x4y80或x2y26x8y0
评注圆的方程有两种形式：
标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的
选择，一般地，已知圆上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.
变式1求过点A（6,0）,B（1,5）,且圆心在直线l:
2x7y80上的圆的方程.
变式2在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程
例9.18已知圆的半径为10，圆心在直线y=2x上，圆被直线y=x截得的弦长为42，求此圆的方程分析求圆的标准方程，就是求（xa）2（yb）2r2中的a,b,r，可优先考虑待定系数法.
由圆在直线y=x上截得的弦长为42，将y=x代入（xa）2（yb）210，
整理得2x22（ab）xa2b2100
由弦长公式，得2|x1x2|42
即2（ab）2
2（a2b2
10）
42，化简得a
b2（②）
a
2a
2
由式①②可得
或
b
4b
4
故所求圆的方程为
（x2）2
（y4）
210或（x2）2
2
（y4）210
解法二：
据几何性质，
半径、
弦长的一半、
弦心距构成直角三角形，可得弦心距
dr2（22）22，又弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离，即d
2，又已知
b=2a，解得a2或a
b4b
评注注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程
变式1求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程
称圆的圆心坐标为（a,b），则
解法二：
（排除法）
201
2，故排除选项A,B，在选项C中，圆心为（-3,2），验证两圆圆心所在的直线的斜率为201，与312
直线2xy30垂直.故选C
评注根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.
变式1若不同两点P,Q的坐标分别为，（a,b）,（3b,3a）,则线段PQ的垂直平分线l的斜率为，
圆（x2）2（y3）21关于直线l对称的圆的方程为
题型2直线系方程和圆系方程
思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.
（1）直线系方程：
若直线l1:
A1xB1yC10与直线l2:
A2xB2yC20相交于点P，则过点P
的直线系方程为：
1（A1xB1yC1）2（A2xB2yC2）0（12220）
简记为：
1l12l20（12220）
（2）圆系方程：
若圆
C1
22
:
xyD1x
E1y
F1
0与圆C2:
x2
2y
D2xE2yF20相交
于A,B两点
则过
A,B
两
点的
圆
系方程为：
22
xyD1xE1yF1
22
（x2y2D2x
E2y
F2）
0
（1）
简记为：
C1C2
0（
1），不含C2
当1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
l:
（D1D2）x
（E1
E2）yF1F20
注与圆C共根轴l的圆系C:
Cl0
例9.20
（1）设直线l1:
xy10与直线l2:
2xy20相交于点P,求过点P且与直线l3:
2x3y10平行的直线l4的方程.
（2）求圆心在直线3x4y10上且过两圆x2y2xy20与x2y25的交点的圆的方程.
分析把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.
即l4:
2x3y2
解法二：
设l4:
2x
（x
1）0，即l4:
（2）x
（1）y
因为l4//l3，所以
（32
（21
），得
8，
故l4:
2x3y2
（2）设所求圆为x
（xy5）
0（
1）
化为一般式x2y2
25
y1
D1所以
22（1
1
，故圆心为
2
（1）
1，-1
（21）-（21）
代入直线3x4y
0中，
得342
（1）2（1
10
解得
32，把
23代入所设的方程中，得
故所求圆的方程为
y22x2y110
2
y22x2y11
评注直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往
能够简化运算，快速得出结论.
22
变式1过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程是
变式2
（1）设直线l1:
xy0与直线l2:
xy40相交于点P，求过点P且与直线l3:
3x4y50垂直的直线l4的方程.
（2）已知圆C:
x2y22x4ym0，若直线l:
xy20与圆C相交于A,B两点，且OAOB（O为坐标原点），求m的值和以AB为直径的圆的方程.
题型3与圆有关的轨迹问题
思路提示
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或
转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.
例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点
1
M（1,0）,N（4,0）的距离之比为.
2
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）若直线l:
ykx3与曲线W交于A,B两点，在曲线W上是否存在一点Q，使得OQOAOB，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由.
解析
（1）设点P的坐标为P（x,y），由题意知|PM|1，即2（x1）2y2（x4）2y2
|PN|2
即W:
x2y24
3
（2）因为直线l:
ykx3与曲线W相交于A,B两点，所以d（O,l）32
1k2
假设曲线W上存在点Q，使得OQOAOB,|OQ|2
因为A,B在圆上，所以|OA||OB|，且OQOAOB由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直平分13
故d（O,l）1|OQ|1，即1，解得k22，符合式①
21k2
所以存在点Q，使得OQOAOB
评注在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆.
变式1在ABC中，若AB2,AC2BC，则SABC的最大值为
变式2（2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面l,A,B是l上的两个点，C,D在平
面内，且DA,CB,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则
P-ABCD体积的最大值是（）
A.243B.16C.48D.144
例9.22如图9-11所示，已知P（4,0）是圆x2y236内的一点，A,B是圆上两动点，且满足APB90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
解析解法一：
设AB的中点为R,点Q的坐标为（x,y）,则在RtABP中|AR||PR|，又因为R是弦AB的中点，由垂径定理，在RtORA中|AR|2|OR|236，
又2（|OQ|2|OP|2）（2|OR|）2（2|PR|）2（*）,
得|OQ|2|OP|22（|OR|2|PR|2）23672,
故|OQ|272|OP|256
则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程是x2y256
解法二：
设AB的中点为R，Q的坐标为（x,y）,
则Rx4,y，在矩形APBQ中有|PR||AR|1|PQ|
222
在RtORA中，|OR|2|RA|2|OA|236
22
则x4y1x42y236，即x2y256
224
评注式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ中，O为矩形APBQ
2222
外一点，有OPOQOAOB
22变式1已知圆x2y24上一定点A（2,0）,B（1,1）为圆内的一定点，P，Q为圆上的动点.
（1）求线段AP中点M的轨迹方程；
（2）若PBQ90，求线段PQ中点N的轨迹.
变式2已知点P（0,5）及圆C:
x2y24x12y240
（1）直线l过P且被圆C截得的线段长|AB|43，求l的方程；
（2）求过点P的圆C的动弦的中点M的轨迹方程.
题型4用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
思路提示
方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，故在解决圆的一般式方程
的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为D,E，半径
22
r21D2E24F
例9.23方程
2
x
y2ax2ay
2a2
a
1
0表示圆，则a的取值范围是（）
2
2
A.,
2
B.,0
C
2,0D.2,
3
3
解析由x2
2y
ax2ay2a2
a
1
0
可得x
a
2
（ya）2
32a
a
1
0
2
4
即3a2
4a
40，得2
a
2
故选D
3.
评注对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大
于零即可
变式
1
方程
2
x
2y
4mx2y
4m
0表示圆的方程的充要条件是（）
A.
m
1,1
B.m
1,
4
1
1
C.
m
D.m
（1,）
4
4
变式
2
若圆
2x
2y
（a21）x
2ay
a0关于直线xy10对称，则实数a的值为
题型5点与圆的位置关系判断
思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.
A.（1,1）B.（0,1）C.（.,
1）
（1,
）
D.
1,1
解析点A（1,1）在圆内部，满足（xa）2
（y
a）2
4，
即（1
a）2（1
故选A
评注判断点与圆的位置关系的代数方法为
2
若点P（x0,y0）在圆上,则（x0a）2
（y0
b）2
2r
；
若点P（x0,y0）在圆外,则（x0a）2
（y0
b）2
2r
；
若点P（x0,y0）在圆内,则（x0a）2
（y0
b）2
2r
反之也成立.
变式1点A（1,0）在圆x2y22axa2
3a
3
0上，
则a
的值为___
变式2过占P（1,2）可以向圆x2y22x
4y
k
2
0引两条切线，则
A.（,7）B.（0,7）C.（3,7）
D.（5,
）
k的范围是（）
例9.24若点A（1,1）在圆（xa）2（ya）2
2
a）24，解得1a1
题型6与圆有关的最值问题
思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.
例9.25已知实数x,y满足方程x2y24x10
1）求y的最大值和最小值；
x
2）求yx的最大值和最小值；
3）求x2y2的最大值和最小值分析方程x2y24x10表示圆心为（2，0），半径为3的圆.yy0的几何意义是圆上一点xx0
M（x,y）与原点连线的斜率；设y-x=b，可看作直线y=x+b在y轴上的截距；x2y2是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.
解析
（1）原方程可化为（x2）2y23，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设yk，即x
ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时|2k0|3，解得k3
k21
故y的最大值为3，最小值为3
x
（2）设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|20b|3，2
即b26，故y-x的最大值为26，最小值为26
（3）解法一：
（几何法）x2y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心
连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故
x2y2max（23）2743,x2y2min（23）2743
解法二：
（参数方程法）把圆的方程化为标准方程（x2）2y23
x23cos设（为参数,[0,2））
y3sin
则x2y2
23
cos
2
（3
sin）27
43cos
故当cos
1时，
2x
2
y2
min
（23）2
743
当cos
1时，x2
2y
max
（2
3）27
43
解法三：
（方程消元法）由圆的标准方程为（x2）2y23，可得y23（x2）2
且x
2
3,2
3
故x2
2y
x2
3（x
2）2
4x1
由x
2
3,2
3
故x2
2y
4x
17
43,7
43
故所求最大值为743，最小值为743
评注涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：
1）形如yb的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.xa
2）形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
22
3）形如m（xa）2（yb）2的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a,b）的距离平方的最值问题
变式1若圆x2（y1）21上任意一点（x,y）都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是
（）
A.（,1
2]
B.[12,
）C.（,21]
D.（
2
1]
变式2若圆x2
（y1）2
1上任意一点
（x,y）都使不等式（x
2）2
2ym
0恒成立，则实数m的取值
范围是（）
A.（,1
2]
B.[15,
）C.（,51]
D.（
5
1]
题型7数形结合思想的应用
思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.
例9.26方程y25x2表示的曲线是（）
A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆
分析对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围
22
解析由题可知5x5,y0，且x2y225，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D
变式1方程x1y2表示的曲线是（）
A.一条射线
B.一个圆
C.两条射线
D.半个圆
例9.27直线yx
b与曲线
x1
2
y2有且仅有一
个公共点，则
b的取值范围是（
）
A.2,2
B.
b|
1b
1或b2
C.b|1
b1D.b|b
2
分析利用数形结合法求解
解析将曲线方程x
1
2y
变形为
22
x2y21（x
0），当直线
2
yxb与曲线x
2
y21相切时，
足|00b|1，整理可得|b|2，即b2.如图9-12所示，可得当b2或1b1时，直
2
线yxb与曲线x1y2有且仅有一个公共点.故选B
变式1当曲线y14x2与直线y
k（x2）4有两个相异交点时，实数
k的取值范围是（
变式2若直线yxb与曲线y34
A.1,122B.1
22,122
变式3设集合A（x,y）
m（x2）2
C.122,3
xx2有公共点，则
b的取值范围是（
D.12,3
22
y2m2,x,yR,
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