212 降次解一元二次方程同步教案.docx

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212降次解一元二次方程同步教案

人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》

21.2降次——解一元二次方程第1课时教学设计

教学目标：

1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.

教学重点：

运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

教学难点：

通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

教学时间：

3课时

第1课时

教学过程

1、温故互查

1.填空

（1）x2+6x+9=（x+____）2；

（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；

（3）x2+px+_____=（x+______）2．

2.若x2=a,那么x=_______。

3.0的平方根是______；正数a的平方根是_______。

2、新知探究

问题1：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

分析：

（1）本题的等量关系是什么？

（2）设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可列方程为__________________，整理化简后得________________。

你知道它的解是多少吗？

解：

设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可得

10×6x2=1500,

化简得x2=25

根据平方根的意义，可得

x=

即

x1=5，x2=-5（不合题意，舍去）

所以，盒子的棱长为5dm.

2.如果x换元为2x-1，即（2x-1）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

老师点评：

回答是肯定的，把2x-1变为上面的x，那么2x-1=

即

方程的两根为

上面的解法中，都是将一元二次方程“降次”，次数由2降到1，转化为两个一元一次方程，从而解决问题的。

3.课件出示例1解方程：

x2+6x+9=2。

分析：

很清楚，x2+6x+9是一个完全平方式，那么原方程就转化为

（x+3）2=2.

解：

由已知，得：

（x+3）2=2

直接开平方，得：

，

即

方程的两根为

归纳：

如果一元二次方程能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么

4.课件出示例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

分析：

设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：

设每年人均住房面积增长率为x，则

10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

3、巩固练习

1.若9x2－25=0，则x1=___,x2=__.

2.若（x－2）2=0，则x1=____,x2=___

3.若x2－2x=0，则x1=___,x2=___

4.填写适当的数使下式成立.

①x2+6x+______=（x+3）2

②x2－______x+1=（x－1）2

③x2+4x+______=（x+______）2

5.方程3x2－1=0的解是（）

A.x=±

B.x=±3C.x=±

D.x=±

6.方程5x2+75=0的根是（）

A.5B.－5C.±5D.无实根

7.解方程：

⑴

⑵

⑶

8.课本P36练习

4、课堂小结

1.把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程

2.如果一元二次方程能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么

5、板书设计

21.2.1配方法

x2=p，则

（mx+n）2=p（p≥0），则

人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》

21.2降次——解一元二次方程第2课时教学设计

教学目标：

1.理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；

2.并能熟练应用它解决一些具体问题．

教学重点：

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；

教学难点：

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学时间：

3课时

第2课时

教学过程

1、温故互查

1.解下列方程

（1）3x2-1=5

（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9

老师点评：

我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±

或mx+n=±

（p≥0）．

如：

4x2+16x+16=（2x+4）2

2.填上合适的数字，是等号左侧的多项式可以写成完全平方式。

（1）x2-4x______=（）2

（2）x2-3x______=（）2

（3）x2+5x_______=（）2（4）x2+7x_______=（）2

2、新知探究

1.问题2：

要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？

设场地宽x米，则长（x+6）米，根据矩形面积为16m2,可列方程为

x（x+6）=16

即x2+6x-16=0

思考：

怎样解方程x2+6x-16=0呢？

如何将它化成左边是完全平方式的方程呢？

有二次项平方项（x2），乘积2倍项（+6x）,还缺的是平方项（32），常数项“多余”，所以先把常数项移项，再给左边加上32，根据等式性质，右边也要加32。

即

移项，得x2+6x=16

等式两边同时加上9（即一次项系数一半的平方

），得

x2+6x+9=16+9

学生完成剩余部分的计算，集体订正。

（x+3）2=25

降次（开平方），得x+3=

5

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程，得x1=2,x2=-8

可以验证2和-8都是方程x2+6x-16=0的根。

由于场地宽不能为负值，所以场地宽为2米，长为8米。

讨论：

以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？

加其他数行吗？

像上面通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

例1解下列方程：

（1）x2+2x-35=0；

（2）x2-8x+1=0.

分析：

（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；

（2）同上．

解：

（1）移项，得x2-2x=35

配方，得x2-2x+12=35+1

（x-1）2=36

由此可得x-1=±6

即x-1=6，x-1=-6

x1=7，x2=-5

可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．

（2）移项，得x2-8x=-1

配方，得x2-8x+42=-1+42

（x-4）2=15

由此可得x-4=±

即x-4=

，x-4=-

x1=4+

，x2=4-

3、巩固练习

1．用适当的数填空：

（1）x2－3x+________=（x－_______）2

（2）a（x2+x+_______）=a（x+_______）2

2．将一元二次方程x2－2x－4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．

3．如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是－1，那么k=________，另一根为______．

4．将二次三项式x2－3x－5进行配方，其结果为_________．

5．已知4x2－ax+1可变为（2x－b）2的形式，则ab=_______．

6.用配方法将二次三项式a2－4a+5变形，结果是（）

A．（a－2）2+1B．（a+2）2－1C．（a+2）2+1D．（a－2）2－1

7.用配方法解一元二次方程

，配方后得到的方程是（　）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

8.将一元二次方程

化成

的形式，则ｂ等于（　）

A.－4　　　B.4　　　C.－14　　　D.14

9.已知方程

可以配方成

的形式，那么

可以配方成下列的（）

A．

B．

C．

D．

4、课堂小结

当一元二次方程二次项系数为1时，首先移项，是等号左侧只有二次项和一次项，然后配方（两边同时加上一次项系数一半的平方），利用配方法降次来解出方程。

5、板书设计

21.2.1配方法

问题2

例题

人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》

21.2降次——解一元二次方程第3课时教学设计

教学目标：

1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；

2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

教学重点：

配方法的解题步骤．

教学难点：

把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方

教学时间：

3课时

第3课时

教学过程

1、温故互查

1.解方程：

（1）x2-2x+9=0

（2）x2-2x-6=5

（3）x2=9（4）x2+8x+6=78

2.什么是配方法解一元二次方程？

2、新知探究

1.问题3：

一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，她在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：

h=15t-5t2

小球何时能达到10m高？

根据题意，得15t-5t2=10，化为一般式为-5t2+15t-10=0

思考：

如何解这个方程呢？

（学生讨论）

方程两边同时除以-5，得t2-3t+2=0

移项，得t2-3t=-2

配方（两边同时加上

），得t2-3t+

=-2+

降次，得

即

，

2.课件出示例2解下列方程：

（1）2x2+1=3x；

（2）3x2-6x+4=0；

（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0.

解：

（1）移项，得2x2-3x=-1

二次项系数化为1，得

配方

由此可得

（2）学生独立完成，遇到问题共同解决。

（3）解法一：

去括号，整理得：

x2+4x-1=0

移项，得x2+4x=1

配方，得（x+2）2=5

x+2=±

即x1=

-2，x2=-

-2

解法二：

令1+x=y,原方程可变形为y2+2y-4=0,

移项，得y2+2y=4

配方y2+2y+1=4+1

（y+1）2=5

y+1=±

y1=

-1，y2=-

-1

当x+1=

-1时，x1=

-2

当x+1=-

-1时，x2=-

-2

3、巩固练习

1.课本P39练习1,2

2.用配方法解下列方程：

（

）

3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

请你设计销售方案．

4、课堂小结

配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

5、板书设计

21.2.1配方法

问题3

例2