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贝塞尔函数的有关公式
篇一：
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔方程
的持解Bp（z）为（柱）贝塞尔函数。
有
第一类柱贝塞尔函数Jp（z
）
p为整数n时，J?
n=（?
1）nJn；
p不为整数时，Jp与J?
p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数Np（z）（柱诺依曼函数
）
n为整数时N?
n=（?
1）nNn。
第三类柱贝塞尔函数Hp（z）（柱汉开尔函数）：
第一类柱汉开尔函数Hp
（1）（z）=Jp（z）+jNp（z）
第二类柱汉开尔函数Hp
（2）（z）=Jp（z）?
jNp（z
）
大宗量z?
?
小宗量z?
，为欧拉常数
见微波与光电子学中的电磁理论
p668
Jn（z）的母函数和有关公式
函数ez（t/2-1/2t）称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到
在上式中作代换，令t=ej?
，t=?
jej?
等，可得
又可得
如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式
Jn（z）的零点?
ni
J’n（z）的零点?
ni
半整数阶贝塞尔函数
Jn+1/2（z）的零点?
np
J'n+1/2（z）的零点?
'np
D．朗斯基行列式及其它关系式
E．修正贝塞尔函数有关公式
贝塞尔方程中用（jz）代换z，得到修正的贝塞尔方程
方程的两个线性无关的解为
Ip（z）=j?
pJp（jz）．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
Kp（z）=（?
/2）jp+1Hp
（1）（jz）．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z?
?
小宗量z?
篇二：
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔方程
的持解Bp（z）为（柱）贝塞尔函数。
有
第一类柱贝塞尔函数Jp（z
）
p为整数n时，J?
n=（?
1）nJn；
p不为整数时，Jp与J?
p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数Np（z）（柱诺依曼函数
）
n为整数时N?
n=（?
1）nNn。
第三类柱贝塞尔函数Hp（z）（柱汉开尔函数）：
第一类柱汉开尔函数Hp
（1）（z）=Jp（z）+j
Np（z）
第二类柱汉开尔函数Hp
（2）（z）=Jp（z）?
jNp（z
）
大宗量z?
?
小宗量z?
，为欧拉常数
见微波与光电子学中的电磁理论
p668
Jn（z）的母函数和有关公式
函数ez（t/2-1/2t）称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到
在上式中作代换，令t=ej?
，t=?
jej?
等，可得
又可得
如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式
Jn（z）的零点?
ni
J’n（z）的零点?
ni
半整数阶贝塞尔函数
Jn+1/2（z）的零点?
np
J'n+1/2（z）的零点?
'
np
D．朗斯基行列式及其它关系式
E．修正贝塞尔函数有关公式
贝塞尔方程中用（jz）代换z，得到修正的贝塞尔方程
方程的两个线性无关的解为
Ip（z）=j?
pJp（jz）．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
Kp（z）=（?
/2）jp+1Hp
（1）（jz）．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
篇三：
贝塞尔函数
第五章贝塞尔函数
在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
5.1贝塞尔方程的引出
下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：
2
?
?
u?
2u22?
u22
?
a（?
）,x?
y?
R,t?
0,（5.1）?
?
t22
?
x?
y?
?
222
?
ut?
0?
?
（x,y）,x?
y?
R,（5.2）?
?
ux2?
y2?
R2?
0,（5.3）?
?
用分离变量法解这个问题，先令
u（x,y,t）?
V（x,y）T（t）
代入方程（5.1）得
?
2V?
2V
VT?
?
a（2?
2）T
?
x?
y
2
或
?
2V?
2V?
22
T?
?
x?
y
?
?
?
?
（?
?
0）2
aTV
由此得到下面关于函数T（t）和V（x,y）的方程
T?
?
a2?
T?
0（5.4）
?
2V?
2V
?
?
?
V?
0（5.5）
?
x2?
y2
从（5.4）得
T（t）?
Ae
?
a2?
t
方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。
为了求出这个方程满足条件
V
x2?
y2?
R2
?
0（5.6）
的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得
?
?
2V1?
v1?
2V
?
?
?
2?
?
?
?
?
?
2?
?
2?
?
V?
0,?
?
R,0?
?
?
2?
（5.7）
?
?
V
?
?
?
R?
0,0?
?
?
2?
（5.8）
再令V（?
?
）?
P（?
）?
（?
），代入（5.7）并分离变量可得
?
?
?
（?
）?
?
?
（?
）?
0（5.9）
?
2P?
?
（?
）?
?
P?
（?
）?
（?
?
2?
?
）P（?
）?
0（5.10）
由于u（x,y,t）是单值函数，所以V（x,y）也必是单值得，因此?
（?
）应该是以2?
为周期的周期函数，这就决定了?
只能等于如下的数：
0,12,22,
n2,
对应于?
n?
n2，有
?
0（?
）?
a0
（为常数）2
?
n（?
）?
ancosn?
?
bnsinn?
（n?
1,2,）
以?
n?
n2代入（5.10）得
?
2P?
?
（?
）?
?
P?
（?
）?
（?
?
2?
n2）P（?
）?
0（5.11）
这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n阶贝塞尔方程。
若再作代换
r?
，
并记
F（r）?
P则得
r2F?
?
（r）?
rF?
（r）?
（r2?
n2）F（r）?
0.
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