10随机变量的离散型期望与方便拔高难度讲义.docx
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10随机变量的离散型期望与方便拔高难度讲义
随机变量的离散型期望与方差
引入
某射手射击所得环数ξ的分布列如下
命中环数
4
5
6
7
8
9
10
命中概率
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
思考：
我们能否通过计算，预计该射手n次射击的平均环数？
解读
离散型随机变量的期望与方差
1、离散型随机变量的数学期望
（1）定义：
一般地，设一个离散型随机变量
所有可能的取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
，叫做这个离散型随机变量
的均值或数学期望（简称期望）．
（2）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
（3）根据数学期望的概念及前面所学知识，我们可以得到
.
（4）期望的性质有哪些？
①
（
为常数）；②若
是随机变量，则
视野：
我们知道离散型随机变量的分布列和数学期望都可以用来刻画随机变量，你能说出分布列与数学期望的关系吗？
答：
期望是建立在分布列的基础上的，其关系式为
；
离散型随机变量的分布列和期望虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同。
分布列之给出了随即变量取所有可能值的概率，而期望却反映了随机变量取值的平均水平。
2、离散型随机变量的方差
（1）一般地，设一个离散型随机变量
所有可能取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
叫做这个离散型随机变量
的方差．
（2）离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
（3）
的算术平方根
叫做离散型随机变量
的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
（4）方差与标准差越小，稳定性越高，波动越小.
（5）方差的性质：
①
（C为常数）
②
为随机变量，
为常数，则
；
视野：
期望与方差的关系是什么？
答：
方差是随机变量的另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所有值的相对于它的期望的集中于离散程度。
由方差的定义可知，方差是建立在期望这一概念之上的。
3、典型分布的期望与方差：
（1）二点分布：
在一次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
，在
次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
．
（2）二项分布：
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布，则
，
．
（3）超几何分布：
若离散型随机变量
服从参数为
的超几何分布，则
，
．
典例精讲
一．选择题（共12小题）
1．（2018•新昌县校级模拟）设a，b，c是不全相等的实数，随机变量ξ取值为a，b，c的概率都是，随机变量η取值为的概率也都是，则（ ）
A．Eξ＜Eη，Dξ＜DηB．Eξ=Eη，Dξ＞Dη
C．Eξ＜Eη，Dξ=DηD．Eξ=Eη，Dξ=Dη
2．（2018•包河区校级模拟）某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
3．（2018•浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小
4．（2018春•静宁县校级期末）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P（ξ=1）=，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10%B．20%C．30%D．40%
5．（2017春•临泉县校级期末）从一批含有11只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E（5X+1）的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2017•天心区校级模拟）从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：
质量指标值分组
[10，30）
[30，50）
[50，70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的方差为（ ）
A．140B．142C．143D．144
7．（2015春•福州校级期末）李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：
x
1
2
3
P（ξ=x）
！
？
！
请小王同学计算ξ的数学期望．尽管“？
”处完全无法看清，且两个“！
”处字迹模糊，但能断定这两个“！
”处的数值相同．据此，小王给出了Eξ的正确答案为（ ）
A．B．2C．7D．
8．（2015•陕西校级模拟）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，EX=1，则DX=（ ）
A．B．C．D．
9．（2015春•福田区校级期中）一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（ ）
A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4
10．（2014•浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）．
则（ ）
A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）
C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）
11．（2014•东昌府区校级一模）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数3，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是（ ）
A．B．C．D．
12．（2013秋•邯郸校级期末）已知ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
P
并且η=2ξ+3，则方差Dη=（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
13．（2017秋•下城区校级月考）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，则t的值是 ；设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，则ξ的数学期望是 ．
14．（2017秋•泉山区校级月考）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 ．
15．（2017春•长汀县校级月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在5次试验中成功次数X的方差为 ．
16．（2017春•北仑区校级期中）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．
（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为 ；
（2）记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为 ．
17．（2017•嵊州市二模）一个盒子中有大小，形状完全相同，且编号分别为1，2的两个小球，从中有放回地先后摸两次，每次摸一球，设摸到的小球编号之和为ξ，则P（ξ=2）= ，D（ξ）= ．
三．解答题（共3小题）
18．（2018春•揭阳期末）某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷而总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20
（1）从所调查的50名学生中任选1名，求该生选考物理、化学、生物科目数量不少于2的概率；
（2）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥3”的概率．
19．（2018春•安顺期末）“红灯停，绿灯行”，这是我们每个人都应该也必须遵守的交通规则．凑齐一拨人就过马路﹣﹣不看交通信号灯、随意穿行交叉路口的“中国式过马路”不仅不文明而且存在很大的交通安全隐患．一座城市是否存在“中国式过马路”是衡量这座城市文明程度的重要指标．某调查机构为了了解路人对“中国式过马路”的态度，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性
女性
合计
反感
10
不反感
8
合计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．
（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此列联表数据判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？
（2）若从这30人中的男性路人中随机抽取2人参加一项活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列及其数学期望．
附：
，其中n=a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（2018春•安顺期末）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）f（p）的最大值点p0（即f（p）取最大值时对应的p的值）．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不會格品，以
（1）中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X求E（X）；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
归纳总结
离散型随机变量的期望与方差
1、离散型随机变量的数学期望
（1）定义：
一般地，设一个离散型随机变量
所有可能的取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
，叫做这个离散型随机变量
的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2、离散型随机变量的方差
（1）一般地，设一个离散型随机变量
所有可能取的值是
，
，…，
，这些值对应的概率是
，
，…，
，则
叫做这个离散型随机变量
的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根
叫做离散型随机变量
的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3、期望
为随机变量，
为常数，则
；
4、典型分布的期望与方差：
（1）二点分布：
在一次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
，在
次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
．
（2）二项分布：
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布，则
，
．
（3）超几何分布：
若离散型随机变量
服从参数为
的超几何分布，则
，
．
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