2由勾股定理建立函数解析式专项.docx

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2由勾股定理建立函数解析式专项

二由勾股定理建立函数解析式专项

本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式.勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的.由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型.要认真领会，达到举一反三的目的.

1牢记勾股定理：

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

例题：

例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR.

（1）当∠AOR=30°时，求OP长

（2）设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域.

2在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.

例题：

如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）

（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？

并证明你所得到的结论

（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域

（3）试问△BEF的面积能否为8？

如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.

3在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.

例题：

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y

（1）求证：

三角形APQ是等边三角形

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域

（3）如果PD⊥AQ，求BP的值

4作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式

例题：

如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.

（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域

（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长

（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？

如能，请指出P点的位置，请说明理由.

5在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.

例题：

如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.

（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域

（2）如果PC=PD，求PB的长

（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论

6强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.

例题：

如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.

（1）求⊙P的半径

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域

（3）当AP=6

时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由

阶梯题组训练

1如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.

（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；

（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：

△A′BF能否为等腰三角形？

如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由.

2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点.

（1）求证：

CM=EM;

（2）如果BC=

设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？

如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.

3ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM（点M与点B分别在直线AP的两侧），且∠PAM=∠CAD，连结MD.

（1）

当点M在ABCD内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：

图中是否存在与△AMD相似的三角形？

若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；

（3）当△为等腰三角形时，求BP的长.

4抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，

）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？

若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.

5如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.

（1）四边形AFPG是说明图形？

请说明理由；

（2）求y与x的函数关系式；

（3）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.

6在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5.E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F.

（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；

（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.

7如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.

（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图2，当EF=

时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.

（2003年上海第27题）