2由勾股定理建立函数解析式专项.docx

1、2 由勾股定理建立函数解析式专项二 由勾股定理建立函数解析式专项本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的. 1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题：例题，扇形中AOB=45，半径OB=2，矩

2、形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR. （1） 当AOR=30时，求OP长（2） 设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域. 2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45角的三角板，把45角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）（1） 从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2） 设AE=x，

3、CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3） 试问BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由. 3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，B=60，点P是射线BC上的一个动点，PAQ=60，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1） 求证：三角形APQ是等边三角形（2） 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3） 如果PDAQ，求BP的值 4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解

4、析式例题：如图，等边ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E. （1） 如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2） 当CBP的面积是CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3） 点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由. 5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，A和B是外离的两圆，两圆的连心线分别交A、B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点

5、P不与E、F重合），PC切A于点C，PD切B于点D，已知A的半径为2，B的半径为1，AB=5.（1） 如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2） 如果PC=PD，求PB的长（3） 如果PC=2PD，判断此时直线CP与B的位置关系，证明你的结论 6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造 了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，P的半径为定长. 当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.

6、(1) 求P的半径(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3) 当AP=6时，试比较CPN与A的大小，并说明理由 阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1） 当BEF是等边三角形时，求BF的长；（2） 求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 把ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A处，试探索：ABF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由. 2 如图，在ABC中，ACB=90，A=30，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DEAB，垂足为点E，M是BD的

7、中点.（1） 求证：CM=EM;（2） 如果BC=设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 当点D在线段AC上移动时，MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化. 3 ABCD中，对角线ACAB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，APPM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且PAM=CAD，连结MD.(1) 当点M在 ABCD内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2) 请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在

8、，请说明理由；(3) 当为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）.（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的顶点为P，把APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P，折痕为EF，设AP=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3） 当点P在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使EFP的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（1） 四边形AF

9、PG是说明图形？请说明理由；（2） 求y与x的函数关系式；（3） 如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画E交直线DE于点F.（1） 如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2） 当以CD为直径的O与E相切时，求x的值；（3） 连结AF、BF，当ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1） 当DEF=45时，求证点G为线段EF的中点；（2） 设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；（3） 将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，如图2，当EF=时，讨论AD1D与ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）