全等三角形知识点与例题.docx

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全等三角形知识点与例题

§19全等三角形

§19.1命题与定理

1.命题

可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式．

例1把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．

解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．

要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．

练习

1　把下列命题改写成“如果……，那么…”的形式，并指出它的题设和结论．

（1）　全等三角形的对应边相等；

（2）　平行四边形的对边相等．

2　指出下列命题中的真命题和假命题．

（1）　同位角相等，两直线平行；

（2）　多边形的内角和等于180°．

2公理、定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）．

我们已经知道下列命题是真命题：

一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

全等三角形的对应边、对应角分别相等．

在本书中我们将这些真命题均作为公理．

从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．

§19.2三角形全等的判定

1.全等三角形的判定条件

如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？

这时，这两个三角形一定会全等吗？

练习

1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.

2　如图，AE是平行四边形ABCD的高，将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E与点F重合，则△ABE≌_________，　∠F＝_________°．

3　如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D与点E重合，则△ABD≌_________，　AD＝_________，　BD＝_________．

2　边角边

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

3．角边角

现在，讨论相对的情况：

　如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？

这时同样应有两种不同的情况：

　如图19.2.6所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．

如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）．

如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

4．边边边

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S．S．S．（或边边边）.

我们可以将前面探索得到的结论归纳成下表：

对应相等的元素

两边一角

两角一边

三角

三边

两边及其夹角

两边及其中一边的对角

两角及其夹边

两角及其中一角的对边

三角形是否全等

一定（S.A.S）

不一定

一定（A.S.A）

一定（A.A.S）

不一定

一定（S.S.S）

5斜边直角边

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．

§19.3尺规作图

只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．

1．作一条线段等于已知线段

2．作一个角等于已知角

已知：

∠AOB。

求作：

一个角，使它等于∠AOB。

步骤如下：

（1）作射线O′A′

（2）以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D

（3）以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′

（4）以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′

（5）过D′作射线O′B′则∠A′O′B′就是所求作的角

练习

1．任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB＋2CD．

2．任意画出两个角∠1和∠2，使∠1>∠2，再作一个角，使它等于∠1－∠2．

3．作已知角的平分线

如图19．3．4，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．

第一步：

在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；

第二步：

分别以点D、E为圆心，以适当长（大于线段DE长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；

第三步：

作射线OC．

射线OC就是所要作的∠AOB的平分线．

我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即证明∠AOC＝∠BOC．

如图19．3．5，连结EC、DC，

∵OD＝OE，DC＝EC，

OC＝OC，

∴△OCD≌△OCE（S．S．S．），

∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）．

练习

1．如图，已知∠A，试作∠B＝1〖〗2∠A（不写作法，保留作图痕迹）．

2．作出图中三角形三个内角的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．

4．经过一已知点作已知直线的垂线（做过该点的角平分线）

已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：

点在直线上，点不在直线上．因此要分别按这两种情况作图．

（1）经过已知直线上一点作已知直线的垂线．

已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．

如图19．3．6，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线．

第一步：

作平角ACB的平分线CD；

第二步：

反向延长射线CD．

直线CD就是所要作的垂线．

（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线．

动手试一试，现在你知道具体作法了吧，你能说说其中的道理吗？

已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．

如图19．3．7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”可知，只需作出∠DCE的平分线．

例利用直尺和圆规作一个等于45°的角．

作法：

1．作直线AB；

2．过点A作直线AB的垂线AC；

3．作∠CAB的平分线AD．

∠DAB就是所要作的角（如图19．3．8所示）．

练习

1．如图，过点P作∠O两边的垂线．

2．如图，作△ABC边BC上的高．

5．作已知线段的垂直平分线

思考

如图19．3．9，对已知线段AB的垂直平分线上的任意两点C、D，总有CA＝CB，DA＝DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？

如图19．3．10，已知线段AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线．

第一步：

分别以点A和B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

第二步：

作直线CD．

直线CD就是所要作的线段AB的垂直平分线．

我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的，即证明直线CD垂直平分线段AB．

如图19．3．11，连结CA、CB、DA、DB，

∵AC＝BC，AD＝BD，

CD＝CD，

∴△ACD≌△BCD（S．S．S．），

∴∠ACD＝∠BCD（全等三角形的对应角相等），

∴CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”）．

由于直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任一个三角形的三条中线．

练习

1．四等分已知线段AB．

2．如图，作△ABC边BC的垂直平分线．

习题19．3

完成下列作图，并写出作法．

1．如图，已知线段AB和CD，求作一条线段，使它等于AB－2CD．

2．如图，已知∠A和∠B，求作一个角，使它等于∠A－2∠B．

3．如图，已知线段a和b，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于a，底边长等于b．

4．如图，已知线段a和b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段a和b．

5．作一个四边形，使它的两组对边分别相等．

6．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A≠90°，在AC所在的直线上求作一点P，使PA＝PB．

§194逆命题与逆定理

1．互逆命题与互逆定理

一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．等腰三角形的判定

等腰三角形的底角相等，这是等腰三角形的性质定理．它的逆命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”也是定理，是判定三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

3．角平分线

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

三角形三条角平分线交于一点．

从图19．4．6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．

请你完成证明．

练习

1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

2．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：

点F在∠DAE的平分线上．

4．线段垂直平分线

垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

三角形三边的垂直平分线交于一点．

从图19．4．9中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．

试试看，现在你会证了吗？

练习

1．如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB．

2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：

AB＋CD＝AD＋BC．

3．如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：

点D在AC的垂直平分线上．

习题19．4

1．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题：

（1）如果x＝y，那么x2＝y2；

（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：

（1）∠BAE＝∠CAE；

（2）AE⊥BC．

3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EF∥BC．求证：

EF＝BE＋CF．

4．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D．求证：

∠EDC＝∠ECD．

5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D．求证：

点D在AB的垂直平分线上．

6．如图，△ABD、△ACE都是等边三角形．求证：

CD＝BE．（提示：

找出分别以CD、BE为边的两个全等三角形）