北师大版五年级数学上册总复习知识点整理 完整版.docx
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北师大版五年级数学上册总复习知识点整理完整版
一单元小数除法
1.整数除法计算法则：
从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。
2.整数除以整数，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0再继续除，商应在个位右下角点上小数点，继续定商；如果被除数比除数小，应在商的个位用0占位，并在0的右下角点上小数点，同时要在被除数个位的右下角点上小数点，添0继续除。
1、除数是整数的小数除法：
按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，如果商的中间哪一位上不够商1，就在那一们补“0”占位
4.除数是小数的小数除法计算法则：
除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数;除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
1、在小数除法中的发现：
当除数大于1时，商小于被除数。
如：
3.5÷5=0.7
当除数小于1时，商大于被除数。
如：
3.5÷0.5=7
2、小数除法的验算方法：
商×除数=被除数（通用）被除数÷除数=商
3、商的近似数：
四舍五入、进一法、去尾法
根据要求要保留的小数位数，决定商要除出几位小数（比要求多除出一位），再根据“四舍五入”法保留要求的小数位数，求出商的近似数。
例如：
要求保留一位小数的，商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此类推。
人民币兑换：
人民币﹦外币×汇率 外币﹦人民币÷汇率。
货币一般保留两位小数
6、循环小数问题：
A、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
，
。
B、小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
，
。
C、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：
，
，
。
D、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。
E、用简便方法写循环小数的方法：
①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。
②例如：
只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，
写作
。
有两位小数循环的，就在这两位数字上面，记上小圆点，
写作
。
有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，
写作
。
4、除法中的变化规律：
1.商不变性质：
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
例：
23÷10=2.3÷0.1=230÷100
2.除数不变，被除数扩大，商随着扩大，被除数不变，除数缩小，商扩大。
例：
24÷4=648÷4=1224÷0.4=60
第二单元轴对称和平移
轴对称：
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕上那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：
对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4轴对称图形的画法：
（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；
（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；
（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；
（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：
1.平移的定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：
（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：
（1）确定平移的方向与距离。
（平移两要素：
方向和距离）
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。
设计图案的基本方法：
平移、对称、旋转。
1.运用旋转设计图案的方法：
（1）选好基本图案；
（2）根据所选的基本图案确定旋转点；
（3）确定旋转度数；
（4）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。
2.运用对称设计图案的方法：
（1）先选好基本图案；
（2）依据基本图案的特点定好对称轴；
（3）画出基本图形的对称图形
第三单元 倍数与因数
1、像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数。
2、像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数。
备注：
整数包括正整数，0，负整数，其中0和正整数也称自然数。
2、我们只在自然数（0除外）范围内研究倍数和因数。
因数与倍数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
例：
2X5=1010是2和5的倍数，2和5是10的因数。
3、两个自然数相乘（0除外）相乘的积是两个自然数的倍数，两个自然数是他们积的因数。
例：
15X6=90可知，15,6是90的因数，90是15和6的倍数。
4、被除数除于除数,商是整数且没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
例：
90÷15=6可知，15,6是90的因数，90是15和6的倍数。
5.找一个数的倍数和因数的方法：
通过乘法算式和除法算式
a．乘法算式：
找一个数倍数就是用这个数和任意一个数相乘的所得的积就是这个数的倍数。
通常从最小的自然数1开始乘起。
例：
7的倍数：
7,14,21,28,35。
。
。
。
。
b．除法算式：
判断一个非零自然数是不是另一个非零自然数的倍数，用这个数除于另一个数，商是整数且没有余数，那么这个数就是另一个数的倍数
c．一个数倍数特点：
一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，通常写一个数的倍数时，要在写出几个后面用省略号。
。
例：
7的倍数：
7,14,21,28,35。
。
。
。
。
其中7的倍数最小是7，没有最大倍数。
d．d找一个数所有因数的方法：
通过乘法，一对一对有序寻找，哪两个自然的乘积等于这个数，这个两个自然数就是这个数的因数。
8的因数：
1,8,2,4。
其中最小因数1，最大的因数是8.
E．一个数因数特点：
一个数的因数的个数有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
6、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。
质数只有两个因数
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫合数。
合数至少有3个因数。
1既不是质数，也不是合数（因为1只有1个因数）。
2是最小的质数，4是最小的合数。
在自然数中除了1和0外，不是质数就是合数。
7、按一个数的因数个数分，自然数可以分为三类：
质数、合数和1。
没有最大的质数和合数。
公式：
质数X质数=合数质数X合数=合数合数X合数=合数
100以内有25个质数，74个合数。
20以内的质数和合数：
质数：
2、3、5、7、11、13、17、19
合数：
4,6,8,10,12,14,15,16，18,20
1既不是质数也不是合数。
7.判断质数还是合数：
1．关键看它含有因数的个数，如果一个数只有2个因素是质数，如果大于等于3的是合数。
2．筛选法：
除1，2,5,3,5,7外，如果这个数2,3,5,7的倍数，那这个数是合数，其余的是质数。
9、2的倍数的特征：
一个数个位是0,2,4,6,8的数是2的倍数。
（例：
2,4,6,8,10,12。
。
这样的数一定是2的倍数，都能被2整除）
10、奇数和偶数：
是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（例：
1,3，5,7,9,11。
。
这样的数叫做奇数）（例：
0,2,4,6,8,10,12。
。
这样的数叫偶数）
按一个数是不是2的倍数来分，自然数可以分成两类：
奇数和偶数
在自然数中最小的偶数是0。
最小的奇数是1,
11、5的倍数的特征：
个位是0或5的数是5的倍数。
（例：
10,15,20。
。
这样的数一定是5的倍数，能被5整除）
12、3的倍数的特征：
各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（15,36,270。
。
这样的的数一定是3的倍数能被3整除。
例：
151+5=66÷3=2）
13、既是2的倍数又是5的倍数的特征：
个位是0的数。
既是2的倍数又是3的倍数的特征：
①个位是0，2，4，6，8的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数
既是3的倍数又是5的倍数的特征：
①个位是0或5的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数
既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数的特征：
①个位是0的数；②各个数位上的数字的和是3的倍数
9的倍数的特征：
各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
6的倍数特征：
即是2的倍数又是3的倍数。
4或25的倍数特征：
一个数末尾两位数是4或25的倍数，这个数就是4或25的倍数。
如果两个数都是同一个数的倍数，那么两个数的和或差也是这个数的倍数。
通过计算发现奇数和偶数相加奇偶性的变化的规律：
加减：
相同得偶，不同得奇
乘法：
有1偶得偶
偶数+偶数=偶数偶数-偶数=偶数奇数-奇数=偶数偶数-奇数=奇数
奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数偶数X偶数=偶数奇数X奇数=奇数偶数X奇数=偶数
第四单元 多边形的面积
1.比较图形面积的方法：
有数格法，重叠法，分割平移法、直接计算面积法、借助参照物比较等。
（备注：
数方格时不满一格当半格，借助参照比较，如果两个不规则图形不能直接比较，可以找一个与其中一个图形面积相等的规则图形，把两个不规则图形与规则图形进行比较。
重叠法：
把两个图形重叠一起，如果能够完全重合，两个图形面积相等。
分割平移法：
两个图形形状不一样，也不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种相似的图形，再比较它们面积的大小。
直接计算面积比较法：
把一些不规则图形通过割补后，转化成一些规则图形，利用图形面积的计算公式计算面积在进行比较）
2.两个形状完全相同的图形面积一定相等，两个面积相等的图形形状不一定相同。
例子：
㈢动手做
认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
平行四边形的高分别在两组对边平行之间的垂直线段，从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
平行四边形高有无数条
三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
任意三角形都有三条高
梯形的高在一组对边平行之间的垂直线段，从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。
高和底的关系是对应的。
用三角板画出平行四边形的高的方法：
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。
注意：
从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。
用三角板画出三角形的高的方法：
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。
用三角板画梯形的高的方法：
用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。
两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
（一）平行四边形的面积
1．把平行四边形同过剪切。
平移旋转化成长方形
平行四边形的面积=拼成的长方形的面积
长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。
因此：
平行四边形面积=底×高高=平行四边形面积÷高底=平行四边形面积÷高
如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：
S=ah
补充知识点：
当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。
（二）三角形的面积
三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2
三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。
因此：
三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2高=2×三角形面积÷底底=2×三角形面积÷高
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：
S=ah÷2
补充知识点：
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。
（三）梯形的面积
梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2
梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。
因此：
梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=（上底+下底）×高÷2
高=2×梯形面积÷（上底+下底）上底=2×梯形面积÷高-下底下底=2×梯形面积÷高-上底
补充知识点：
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。
等底等高的三角形的面积相等。
等底等高的平行四边形的面积相等。
平面图形巩固：
1.长方形特征：
对边平行且相等，4个角都是直角的四边形，长边的长叫长，短边的长叫宽，有两条对称轴。
计算公式：
长方形周长=2（长+宽）长方形面积=长×宽
c=2（a+b）s=a×b
3．正方形特征：
四条边相等，四个角都是直角且对边平行。
正方形每条边的边长叫边长。
有四条对称轴。
计算公式：
正方形周长=边长+边长+边长+边长=4X边长正方形面积=边长X边长
C=4as=a×a
3.三角形特征：
有三条线段围成的图形的封闭图形。
三角形的内角和是180度，三角形具有稳定性，按角分锐角三角形：
三个角都是锐角。
直角三角形：
有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：
有一个角是钝角。
按边分：
不等边三角形：
三条边不相等。
等腰三角形：
两条边长度相等，两个底角相等，有一条对称轴。
等边三角形：
三条边长度都相等，有一条对称轴，三个内角都是60度，有三条对称。
4.平行四边形特征：
在同一平面内两两组对边分别平行的四边形，对边平行且相等，对角相等，相邻的两个叫为180度。
容易变形。
5.梯形：
只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫梯形的底边，较长的底边叫下底，较短的底边叫上底。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形，等腰梯形只有一条对称轴。
6.两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足，从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
点到直线的距离，垂直线段最短
第五单元分数的意义
㈠分数的再认识
整体“1”的含义：
一个物体或一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数“1”来表示，通常叫做整体“1”。
分数的意义：
把整体“1”平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。
分母是几，整体就被分成了几份，分子是几，就表示其中的几份。
分数单位：
把整体“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做这个分数的分数单位（像
、
、。
。
这样的数就是分数单位）
分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，即分数具有相对性。
同一个分数对应的整体大，表示的具体数量就大；对应的整体小，表示的具体数量就小。
同一个分数表示的具体数量大，对应的整体就大；表示的具体数量小，对应的整体就小。
真分数：
分子小于分母的分数叫做真分数。
真分数小于1。
（分子＜分母
、
、
等）
假分数：
分子大于或等于分母的分数，叫做假分数。
假分数都大于或等于1。
假分数（分子=分母或者分子＞分母
、
、
、
，…）
带分数的读法（先读整数部分，再读分数部分）如2
读作：
二又四分之一。
注意：
①分子是分母倍数的假分数可以化成整数。
②分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
分子大于分母的假分数，都可以写成带分数
二、分数与除法
分数与除法的关系：
被除数÷除数=
=（除数不为0）。
分数的分母不能是0。
因为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分数中的分母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。
可以用分数来表示两数相除的商。
分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数的值相当于商。
。
①知道这个关系可以让我们把除法算式改写成分数形式。
练习：
将下面几个除法算式改写成分数形式
3÷2=
1÷4=
1÷2=
②把假分数化为带分数的方法：
用分子÷分母，把所得的商写在带分数的整数位置上，余数写在分数部分的分子上，仍用原来的分母做分母。
如：
12÷7=
=1
③把带分数化成假分数的方法。
（两种）
a）把带分数分成整数与真分数的和的形式，把整数化成用真分数的分母作分母的假分数，再加上原来的真分数，就可以把带分数转化成假分数。
如：
2
=2+
=
=
b）将整数与分母相乘的积加上分子作分子，分母不变。
如：
2
想：
2×4+1=9，所以2
=
三、分数的基本性质
分数的分子和分同时都乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外）商不变。
因此，分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。
填一填：
12÷24=
（写成分母为2）
求一个数是另一个数的几分之几：
一个数÷另一个数=分率，即比较量÷标准量=分率，得到的商表示两个数的关系，没有单位名称。
2、 互质数：
两个数的公因数只有1，就说这两个数互质。
互质的规律：
（1） 相邻的自然数互质；
（2） 相邻的奇数都是互质数；
（3） 1和任何数互质；（4）两个不同的质数互质（5） 2和任何奇数互质。
质数与互质的区别：
质数是就一个数而言，而互质是指两个或两个以上的数之间的关系；这些数本身不一定是质数，但它们之间最大的公因数是1，如8和9
3、 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数最小公倍数
4、 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。
找两个数的公因数和最大公因数的方法：
列举法：
运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数，再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数。
补充知识点：
其他找最大公因数的方法：
1.找两个数的公因数和最大公因数，可以先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数。
其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如：
找15和50的公因数和最大公因数：
可以先找出15的因数：
1，3，5，15。
再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和5，1和5就是15和50的公因数。
5就是它们的最大公因数。
2.如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
（如3和6，3是3和6的最大公因数）
3.两个数的公因数和最大公因数的方法三：
短除法：
短除符号就是除号倒过来。
短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）
而在用短除计算最小公倍数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。
直到剩下每两个都是互质关系
短除法求最大公因数，先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然
后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
把所有除数和商连乘起来求这两数的最小公倍数
㈥约分
约分：
把一个分数的分子和分母同时除以公因数，分数值不变，这个过程叫做约分。
计算结果通常用最简分数表示。
理解最简分数的含义：
像
、
、这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这样的分数是最简分数。
分子与分母是相邻的自然数的分数一定是最简分数；分子分母是两个不同质数的分数一定是最简分数；分子是“1”的分数一定是最简分数。
掌握约分的方法：
约分的方法一般有两种，一种是用两个数的公因数一个一个去除，另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
㈦找最小公倍数
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。
找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：
1、先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），再找出公有的倍数，找出两个数公有的倍数，看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。
两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
补充知识点：
其他找公倍数和最小公倍数的方法：
2、找两个数的公倍数和最小公倍数，可以先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数。
其中最小的就是这两个数的最小公倍数。
例如：
找6和9的公倍数和最小公倍数。
（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：
9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。
3、如果两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
4、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
5、如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
6、短除法求最小公倍数
7、两个数相乘的积等于这两个数的
㈧分数的大小
把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。
★通分的两个要点：
和原来分数相等；分母相同。
通分的方法：
先求出原来几个分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质进行通分。
补充知识点：
通分一般以最小公倍数作分母较为简便。
8 。
比较分数的大小：
同分母，比分子，分子大分数大；
同分子，比分母，分母小分数大；
分子分母都不同时，先通分再比较。
与一个中间量比较，判定分数大小。
第六单元 组合图形的面积
1、求组合图形面积的方法：
① 分割法：
根据图形和所给的条件，将图形进行合理的分割，形成基本图形，基本图形面积的和就是组合图形面积。
② 添补法：
将图形所缺部分进行添补，组成几个基本图形。
基本图形面积-添补的图形面积=组合图形面积。
2、不规则图形面积的估计与计算：
①数格子的方法；
②根据不规则图形确定近似的基本图形，量出求基本图形的面积是所需要的条件，算出面积。
3、面积单位
1平方千米=100公顷=1000000平方米
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方米=1000平方厘米
点阵中的规律：
1、数与数之间的变化规律：
根据已知数前后或上下之间的关系，找到其中的规律，得出相应的数。
2、图形与图形之间的变化规律：
观察图形的变化，可以从图形的形状、数量、大小等方面入手，从中找到规律，推导出后面的图形。
鸡兔同笼：
方法：
①列表法：
一般采用取中间数列表的方法；
②假设法：
鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，
假设里面全是鸡，算出共有几只脚，
和脚总数做比较，做差除
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