二次根式。
四、范例
例1、要使式子x—1有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
提问：
若将式子.x—1改为1—x,则字母x的取值必须满足什么条件？
五、课堂练习
PIO页练习1、2、
六、思考提高
我们已经研究了（.a）2（a>0）等于a,现在研究.a2等于什么、
提冋：
1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？
2、在•.a2中，a的取值有没有限制？
3、取一些数值来验证。
通过验证，你能发现什么规律
因此，今后我们遇到，a2时，可先改写成a的绝对值丨a丨，再按照a取正数值,是负数值来取值、例如当x<0时，16x2=|4x|=—4x
4、（.a）2与.a2是一样的吗？
说说你的理由，并与同学交流。
七、小结
1、什么叫做二次根式？
你们能举出几个例子吗？
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
3、二次根式有哪些性质？
八、作业
习题22.1第1、2、3、4题、
教学后记：
22.2二次根式的乘除法
第一课时二次根式的乘除法
教学目标
1使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式、
3、培养学生合情推理能力。
教学过程
一、复习提问
1什么叫做二次根式？
下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
2、二次根式有哪些性质？
计算下列各题：
（0.5）2144（7）2.（—5）2
二、提出问题，导入新知
1、试一试
计算：
（1）4X25=（）=（）
4X25=（）=（）
（2）16X9=（）=（）
16X9=（）=（）
提问：
观察以上计算结果，你能发现什么？
2、思考
.2X,3与,2X3是否相等？
提问：
（1）你将用什么方法计算？
（2）通过计算，你发现了什么？
是否与前面试一试的结果一样？
3、概括
让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：
aXb=,axb（a>0,b>0）
注意，a,b必须都是非负数，上式才能成立。
三、举例应用
例1、计算。
说明：
二次根式运算的结果，应该尽量化简、如⑵结果不要写成.16，而应化简成4。
等式.aXb=,aXb（a>0,b>0），也可以写成，ab=.aX,b（a>0,b>0）
利用它可以进行二次根式的化简，例如：
，a4b=.a4Xb=.（a2）2.b=a2.b
例2、化简
说明：
（1）如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简；
（2）在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式（偶次方因式）或因数用
它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。
四、课堂练习
1、计算下列各式，将所得结果化简：
.3X.63aX.15a
2、P12页练习1
（1）、
（2）、2
五、想一想
1、aX,bX,c与,a•b•c是否相等？
a、b、c有什么限制？
请举一个例子加以说明。
2、a•b•c等于,axbxc吗？
3、化简：
・.4a4bc4
六、小结
这节课我们学习了以下知识：
1、二次根式的乘法运算法则，即■_axb=•.a•b（a>0,b>0）
2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即.a・b=,axb（a>0,b>0）……）
要特别注意，以上
（1）、
（2）中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就
不成立、想一想，（—4）x（-9）=-4x-9成立吗？
为什么？
3、应用⑴、⑵进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质.a2=a（a>0），加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识、
七、作业
习题22.2第2、
（1）,⑵题，第3、⑴、⑵题、第4题
教学后记：
第二课时二次根式的乘除法
教学目标
1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、
4、经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
教学过程
一、创设问题情境
问题I上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？
问题2是否也有二次根式的除法法则呢？
问题2两个二次根式相除，怎样进行呢？
二、加强合作，探索规律
让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：
提冋：
1、a和b有没有限制？
如果有限制，其取值范围是什么？
2、
（a>0，b>0）成立吗？
为什么？
请举例
三、范例
例1、计算。
教学要求：
（1）对于
（1）可由教师解答示范；
（2）对于
（2）可由学生自己计算。
提冋：
1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法？
如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便？
例2、化简
（要求分母不带根号）
说明：
二次根式的化简要求满足以下两条：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：
化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做
化简：
教学要点：
（1）叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、
（2）可用提问
的方式引导学生探索其他解法。
五、课堂练习
P12练习1、（3）、⑷
六、小结
本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即
（a>0，b>0），并
利用它进行计算和化简。
化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
具体办法是：
化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面、化简的具
体方法可用于计算。
七、作业
P14页习题22.22（3）、3（3）
教学后记：
22.3二次根式的加减法
教学目标
1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式.
2、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算.
3、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法.
教学过程
一、创设问题情境
1、化简:
2.试一试计算：
33—233a+2a
二、做一做
1.观察以上两道计算题，你联想到什么？
让学生类比、联想，讨论、交流，然后举手回答，老师归纳，评价.
2.你能试着解决它吗？
让学生动手计算，鼓励学生加强合作，同桌，上下桌同学可以互相交流，并请两位同学上台板演，教师进行讲评.
上面两个例子表明.遇到两个二次根式相加（或加减）时，我们希望利用分配律.这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同.这种类似的
情况我们过去也遇到过：
将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同.这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢？
3.同类二次根式
像33和—23，3.a和2a这样的两个二次根式，称为同类二次根式.
说明：
⑴被开方数相同.问：
.3-E与355是不是同类二次根式？
（2）二次根式不能再化简.
（3）与二次根式的系数无关.
（4）你还能说出几个与3,3同类的二次根式吗？
三、举例与应用
二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并.
例1:
计算3,2+3-22-33
例2•计算8+.18+.12
提冋：
1•这里三个加项中有同类二次根式吗？
2•能否将它们化简？
化简情况详见上面，可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是,将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果。
小结：
先化简，再合并同类二次根式。
例3•计算:
（1）,50+32
（2）27-23+45
让学生试试看，完成例3的计算.
四、课堂练习
P14页练习1、2;思考：
P14页打开计算黑盒。
五、小结
这节课，我们学习了同类二次根式概念，同类二次根式必须满足两个条件：
（1）它们都是最简二次根式，⑵它们被开方数必须完全相同•同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算。
通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式。
为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式，再按它们的被开方数是否完全相同去判断.
六、作业
习题22.33（4）（5）
教学后记:
第23章一元二次方程
23.1一元二次方程
教学目标：
1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式
ax2bxc0（a工o）
2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：
1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
一做一做：
1．问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块
长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少
分析：
设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x（x+10）=900
整理可得x2＋10x－900=0.
（1）
2．问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解：
设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的
图书数是5（1+x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1
+x）（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程
5（1+x）2=7.2,
整理可得5x2+10x－2.2=0.
（2）
3．思考、讨论
这样,问题1和问题2分别归结为解方程
（1）和
（2）.显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里它们有什么共同特点呢
（学生分组讨论,然后各组交流）共同特点：
（1）都是整式方程
（2）只含有一个未知数
（3）未知数的最高次数是2
二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一
元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a*0）。
其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫
做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
三、例题讲解与练习巩固
1例1下列方程中哪些是一元二次方程试说明理由。
x2
（1）3x
25x3
2
（2）x
1x
4（3）x1
2
（4）x4（x2）
2.例2
将下列方程化为-
般形式，
并分别指出它们的二次项系数、
一次项系数和常数项：
1）6y2
y
2）（x-2）
（x+3）=83）（X3）（3x
2
4）（x2）
说明：
一元二次方程的-
一般形式
2
axbxc0（a工0）具有两个特征：
一是方程的
右边为0;
二是左边的二次项系数不能为0。
此外要使学生意识到：
二次项、二次项系数、
一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3.例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程在什么条件下此方程为一元一次方程
本题先由同学讨论，再由教师归纳。
解：
当a工2时是一元二次方程；当a=2,b工0时是一元一次方程;
4.例4已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
分析：
一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
5.练习一将下列方程化为一般形式，
2
2x23x2x（x-1）=3（x-5）-4
并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
22
练习二关于x的方程（m3）x2nxm
件下是一元一次方程
本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2、一元二次方程的一般形式为axbxc
0，在什么条件下是一元二次方程在什么条
2的整式方程，叫做一元二次方程。
0（a工0）,一元二次方程的项及系数都是根
2y12y12y3y2
据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必
要性和重要性。
布置作业：
课本习题23.11、2、3
教学后记：
23.2一元二次方程的解法
第一课时一元二次方程的解法
教学目标：
1、会用直接开平方法解形如a（xk）b（0,ab>0）的方程;
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
重点难点：
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
教学过程：
问：
怎样解方程x256的让学生说出作业中的解法，教师板书。
解：
1、直接开平方，得x+1=±16
所以原方程的解是x1=15,x2=-17
2、原方程可变形为方程左边分解因式，得
（x+1+16）（x+1－16）=0
即可（x+17）（x－15）=0
所以x＋17=0，x－15=0
原方程的蟹x1=15,x2=-17
二、例题讲解与练习巩固
1、例1解下列方程
（1）（x+1）-4=0;
（2）12（2-x）2-9=0.
分析两个方程都可以转化为a（xk）2b（玄工o,ab>0）
的形式,从而用直接开平方法求解.
解
（1）原方程可以变形为
（x＋1）2=4,
直接开平方,得
x＋1=±2.
所以原方程的解是x1=1,x2=-3.
原方程可以变形为
x2b（b>O）型的方
3）（x-2）2—x+2=0
49。
x2=.
1）看作一个整体,就可以转化为
（2）（x-1）2-18=0；
4）（2x＋3）2-25=0.
2）2y（y-3）=9-3y
（5）x22x1
1、对于形如a（x
k）2
b（0,ab>0）的方程，只要把（xk）看作一个整体，就可转
2化为xn（nA0）的形式用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
布置作业：
课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2）
教学后记：
第二课时一元二次方程的解法
教学目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。
重点难点：
使学生掌握配方法，解一元二次方程。
把一元二次方程转化为（xp）q
教学过程：
一、复习提问
解下列方程，并说明解法的依据：
1）32x21
3）
通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果2
如x12
请说出完全平方公式。
b<0，方程就没有实数解。
222
xax2axa
222
xax2axa
、引入新课
2
我们知道，形如xA0的方程，可变形为
A（A0），再根据平方根的意义，
用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如
2
xbxc0的一类方程，化为上述形式求
解呢这正是我们这节课要解决的问题．
三、探索：
1、例1、解下列方程：
2
X+2x=5;
2
2）x－4x＋3=0.
思考能否经过适当变形，将它们转化为
2
=a的形式，应用直接开方法求解
2
解
（1）原方程化为X+2x+1=6,
（方程两边同时加上1）
2
（2）原方程化为x—4x+4=—3+4
（方程两边同时加上4）
三、归纳
2
上面，我们把方程X—4x+3=0变形为
方式，右边是一个非负常数•这样，就能应用直接开平方的方法求解方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢
四、试一试：
对下列各式进行配方：
2
x2=1,它的左边是一个含有未知数的完全平
•这种解一元二次方程的
左边可以用完全平方公式从而转化为用直接
8x
（x
）2；
10x
（x
）2
5x
（x
）2
9x
（x
）2
（x
）2
bx
（x
）2
通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例2、用配方法解下列方程：
2
（2）x+3x+1=0.
2、练习:
①.填空:
（1）
x26x
2
（2）x—8x+（）=（x-）
（3）
2
x+x+（）=（x+
）2；
2
（4）4x—6x+（）=4（x—
用配方法解方程:
（1）
2
x+8x—2=0
（2）
2
x—5x—6=0.
用配方法解方程x2+px+q=0（p2—4q丸）.先由学生讨论探索，教师再板书讲解。
解：
移项，得x2+px=—q,
p2p
配方，得x2+2•x•2+
（2）2=
（2）2—q,
PP24q
即（x+2）2=4.
因为p2—4q%时，直接开平方，得
pP24q
x+2=±2.
pp24q
所以x=-2±2,
PP24q
即x=2.
思考：
这里为什么要规定p2—4q%
七、讨论
1如何用配方法解下列方程
4x2—12x—1=0;
兀二次方程。
请你和同学讨论一下：
当二次项系数不为1时，如何应用配方法
2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
1
解：
（1）将方程两边同时除以4,得x2—3x—1=0
4
1
移项，得x2—3x=
4
313
配方，得x2—3x+（—）2=—+（—）2
242
35
即（x—）2=
22
直接开平方，得x—=±』
22
3■10
所以
x=—±
22
（1）2x7x20
（2）3x2+2x—3=0.
2
（3）2x4x0（原方程无实数解）
本课小结：
让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数
项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两
边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程
无实根。
布置作业：
P38页习题2.（3）、（4）、（5）、（6），3，4.
（1）、
（2）
教学后记：
第三课时一元二次方程的解法
教学目标：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点：
1、难点：
掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
2、重点：
对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。
教学过程：
一、复习旧知，提出问题
升级会员 