数学钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版.docx
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数学钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版
[数学]钱吉林《数学分析题解精粹》错误更正完整版
第一章函数
.28.C(x)=a()把i去掉kikP14
h(x)=„„=(a+a)x+(ax+ax)把()x后面的+改为-kk,1kk,1k,1k
加一句“不妨设x>0”30.证1
infE=min{x,x,„,x}把x改为x12100100Nx=min{x,x,„,x}同上改法.1p2100
第二章极限
31,()sin,1,1fxx337
(2)把下的“-1”去掉.limPx213,1x,0
22333357证
(2)令M=改为,,,,2aP3044
60故{x}当x?
6时为单调减小,改为“当n?
5时”nP31
61[]改为().P32
n,1n,11112n,12n,1,,,,95“=+2[1-]-”改为“x=1+2[1-]-”,,,,nPnn45222,,,,22
在题中令a=6即为100题
102“用数学归纳法可证:
„„P48
5a=3a+1”中的a改为a4335
30怎么想到的“用数学归纳法可证:
2?
na?
2+(n?
5)”,nn另外思路(注意不是解题过程~):
设b=na(求什么设什么,很正常的想法)nn
11由已知得b=b(+)+1(*)n,1n2n
(*)中若b存在(让证明的肯定成立),则对(*)两边取n?
?
,得b=2nnlimlimn,,n,,
现在的问题是b是递增还是递减的呢,没办法,只能硬算了。
n
3931由(*)及b=a=2算出b=4,b=5,b=,b=(考试时能算到b的人应该是相当沉着了)11243454568由此猜测当n?
4时,{b}单调递减。
n
411由b(+)+1=b2+(n?
4)nn,1nn2nn,2下面按正常书写过程
11证:
设b=na,则由已知得b=b(+)+1n,1nnn2n
4下面证明当n?
4时,b>2+。
nn,2
31当n=4时,b=>4,命题成立。
46
假设当n=k(k?
4)时命题成立,则当n=k+1时
42kk,22k441111b=b(+)+1>(2+)(+)+1=+1==2+>2+k,11k2kk,22kk,22kk,2k,2k,1
故当n=k+1时命题也成立.
4综上,对所有的n?
4,命题b>2+均成立.nn,2
4n,21111由b>2+,得<,即+b4111,1n亦即=++<1,b2+>2n,1nnn2n,2bbnn
故{b}单调递减有下界,极限存在.n
11对b=b(+)+1两边取n?
?
,得b=2(不必求出)n,1nnlim2nn,,
n(n,1)(2n,1)(n,1)(2n,1)104
(2)(?
)倒数第三行改为P235012n12n
114证明x存在的常规做法:
nlimP56n,,
2x-x=4-[(x+2)+],n,1nnx,2n
222函数g(t)=t+当t>时单调递增。
令t=x+2,则t>2>。
nt
22(x以为分界点是令4-[(x+2)+]=0求得的)0nx,2n
222当x>时,x=2-可用数学归纳法证明x>0nn,1x,2n
22x-x<4-[(+2)+]=0n,1n2,2
2即x22当022当x=时,{x}为常数列{},综上x存在。
n0nlimn,,
1nnn1,a116
(1)(?
)“1+?
”中的“?
”改为“?
”。
aP58n
5(n,1)5126“=”中的“=”改为“<”。
P2649n9(n,1)
132最好把x?
?
改为x?
+?
P67
333,3,xxx,1nnn141“=>1”?
明明是x=>1n,1P7133xn1,1,xxnn
6x-x=6-[(x+3)+]n,1nnx,3n
x以为分界点,以下完全类似114。
30P56144题中(3)分母少了n.P73
解
(2)42改为43
(2)
(3)具体是107
(1)
149
(2)不必如此麻烦,在(?
)令α<1即可。
P76
1151
(2)第一个积分前少了系数,所以整个解答都是错的。
P782
221cos21cos,px,px22=改为=,这题有问题。
sinpxsinpx22
b153
(2)觉得钱吉林证a=有点问题,下面是我的证法:
nlimP791,qn,,
*,ε>0,NN,当n>N时,|b-b|<ε(1-q),,11n
ln|a|n,11,N=1+[],当n>N时,|a|q<ε221lnq
n,2?
式左端<ε(1-q)(1+q+„„+q)+ε<2ε,后面和书上一样。
5.f(x)应为f(x)。
limPlim81,x,ax,a
8.(?
)C?
0P82
22158解
(1)第一步分子5cosx改为8cosx。
P84
22161解cosx改为cosx。
P85
164证
(1)|x-(-3)|>0P87
171最后一个极限缺了x?
0。
P90
2x175倒数第二步分母中的2βxe(1-x)还得×ln10.P91
178解
(1)第二步sinx还得×xP93
(2)最后结果“+”改为“-”
2x(3)倒数第二步应为6lim2,x/2x,0
b179.第二个极限中的指数100b改为100
181题中括号里的分母缺了nP94
1,2an,1194
(2)a=分母中的“-”改为“+”nP1011,an,1
195.第一步[]外缺n
201M=max{|A+1|,|A-1|},{}里增加|f(x)|x0P1040
202解
(2)本页倒数第二行分子d改为αP105
翻到下一页,等价无穷小一般不能在求和时用,所以他的答案错了,不信你用洛必达法则试
试,虽然麻烦但还能算出来。
我用泰勒展开来做。
2424sinxsinxxx4,,,,o(x)111122424原式==--+=lim4242464xx,0
11ln(1,x)xx207.[(1+x)]`=(1+x)[]`,原题少了求导。
P107x
1ln(1,x)ln(1,x)1x所以原式=2(1+x)[]`=2e[](-)=-elimlimxx2,3xx,0x,0
1,x,208把()x后面的x去掉limP108xx,,
1x,2209.不用那么繁琐,||=1-<1,取δ=min{1,ε}即可。
x,33,x
第三章函数的连续性
p1214
(2)有理数列?
分母为q,如y=+nPn111qq
1np,pq1满足y=,但f(y)=f()nnlimnqqn,,
1)=(如p=1,q=3),则f(y)=0,产生这一错误的原因很简单,就是因很有可能f(ynnlimnqn,,为f(x)在x为有理数点时不连续。
此问按照书上的证法就可以解决,最后得到有理点应为
可移间断点。
(3)去掉“不”
216最后证明:
0?
„„?
|x|改为=|x|P112
xx230|-|?
„„中的“?
”改为“=”.12P117
236在?
的后面加一行:
P118
当a?
x?
x时,f(x)?
m(x)>m(x)-ε.000
接下来的几行有两个m(x)?
m(x)-ε均改为m(x)>m(x)-ε00这题和《吉米多维奇数学分析习题解答》748题类似
246.f(x)在[a,+?
)连续不能f(x)存在,所以书上的证法是错的。
limP122x,,,正确证明如下:
.由已知极限得
,对ε>0,X>0,当x>X时,|f(x)-cx-d|<.,3
,对上面的ε>0,δ=,当x,x>X,且|x-x|<δ时,12123c
|f(x)-f(x)|=|f(x)-cx-d-[f(x)-cx-d]+c(x-x)|12112212
,,?
|f(x)-cx-d|+|f(x)-cx-d|+c|x-x|<++c=ε112212333c故f(x)在{X,+?
}上一致连续
而f(x)在[a,X+1]上连续,从而一致连续
综上,f(x)在[a,+?
}一致连续.
248
(2)表述不清,重新叙述如下:
P123
`,对,G>0,X>0,当x>X时,|f(x)|>G
2,,ε=1,对δ=,x,x>X,且|x-x|=<δ,则,12120G2
`|f(x)-f(x)|=|f(ξ)(x-x)|>G=1(ξ在x,x之间)1212122
253.f(x)的最大值未必在开区间内取得,所以126页的证明有误。
P126
显然R(0)=f(0),故G(0)=1
,若f(x)不单调递增,则0?
x1,使得f(x)>f(x)1212则R(x)=f(y)?
f(x)>f(x),得G(x)=0sup21220,y,x2
由G(x)定义知其在[0,1]上最多取到0,1两值.故G(x)在[0,1]上为0,1两个孤立的值,显然不连续。
(否则由介值定理知G(x)可以取0,1之
间的一切值)
255(3)“?
f(a)<0,f(b)>0”前加“不妨令”三个字。
nnP128
(4)(?
)“有无数多个相同”,加个“点”字。
262“当|x-x|<δ时”,δ改为δ.110P132
sinx264.f(x)=分子少了||.x
272可以更严谨些.P138
若C在直线上方,则令a=c;若C在直线下方,则令b=c.1111类似地继续下去,则可得到f(a)?
a,f(b)?
bnnnn
````````276证(3)分子f(x)-xf(x)-f(x)改为f(x)+xf(x)-f(x)P140
f(x,t),f(x,t)`282若f(x)存在,则存在,limP143tt,0
f(x,t),f(x,t)`且=2f(x),反之不成立.limtt,0
2
3如f(x)=,-11f(0,t),f(0,t)2,``3=0,但f(x)=,f(0)不存在!
limxt3t,0
虽然上面的反例并不满足此题在定义域内都有f(a)严谨的.
证明:
用反证法
假设对,x(a,b),g(x)<0,即,
f(x,t),f(x,t)<0limtt,0
f(x,t),f(x,t)g(x),令ε=-,δ>0,当|t|<δ时,<0t2
若t>0,则f(x+t)f(x-t)总之对x(a,b),f(x)单调递减,.,,
而f(x)在[a,b]上连续,故f(a)>f(b),矛盾!
,所以c(a,b),使g(c)?
0.,
t2u,uef()du283.证第一行最后中的x改为t.,0x
u在?
中0?
u?
t,0?
?
1.t
所以必须δ?
1.
2u因为只有当u<δt时,才有|f()-f(0)|<ε,t,
tt222u,u,ue|f(),f(0)|du所以?
ε不一定成立,edu,,00t,这类题有其常规证法:
ttt222uuu,u,u,uef()duef()duef()du令=+=I+I12,,,00tttt
t2,,u则I=f()(0?
ξ?
)edut1,0t
所以I=f(0)1lim2t,,,
由f(x)在[0,1]上连续,知其在该区间上有界,即,M>0,使得对x[0,1],|f(x)|?
M,,
t,,22,,uu,由于收敛,故|edu|t2,,u所以|I|?
M|edu|故I=02limt,,,
t2,u,uef()du=I+I=f(0)12limlimlim,02tt,,,t,,,t,,,
284T改为T,改为mnlimlimP144n,,n,,另证:
取f(x)的一个周期[0,T],则存在最大值M=f(x),最小值m=f(x).12
f(x)在(-?
+?
)上连续,即
,对ε>0,δ>0,当|x`-x``|<δ时,|f(x`)-f(x``)|<ε,
依题意得
,对ε>0,δ>0,|x-x|?
T<δ,故|f(x)-f(x)|<ε,1212
即|M-m|<ε,所以M=m.
在任意小的周期内,f(x)取值为常数所以f(x)在(-?
+?
)上均为常数.
291同137PP14769
292?
少个=号P148
294
(2)f(b)>0改为f(b)<0P149
第四章导数、中值定理及导数的应用
300F(0)=„„后面一步加–号,再下面一步-改+,P155
312最后结果第二段应为x>0P159
317与303完全一样PP160156
11323这题的倒数第四行改为Pn,1n,116322
2329f``(x)=2ωcosωx+ωxsinωx.+改-P165
332g(x)=后面少了两个+号P167
1,2x335当x?
0时,f(x)=e题目和证的第一行第二步各少了一个-号P168
n,1n,1342y`=nx[2cos(lnx)+5sin(lnx)]+x[-2sin(lnx)+5cos(lnx)]P172
n,22y``=x{(n-n-1)[2cos(lnx)+5sin(lnx)]+(2n-1)[5cos(lnx)-2sin(lnx)]}
原题这两个式子的后一半都是错的,按我给的改。
344与304是同一道题P156
nn347
(1)作者错把dx当作d(x)P174
2dy22222=2cosx+2x(-sinx)(2x)=2cosx-4xsinx2dx
3dy2222=2(-sinx)(2x)-4(2x)sinx-4xcosx(2x)3dx
2232232=-4xsinx-8xsinx-8xcosx=-12xsinx-8xcosx
(2)这题的倒数第二行,分子的-改为+
353第一个极限f(x)和f(a)各少了一半的绝对值符号|P177
356
(1)“不一定”改为“一定不”理由仿照
(2)可以得出P179
1,358F(x)=F(x)中的x?
ξ改为x?
n,1n,11Plimlim181,1,x,,x,0
364由?
到?
,方程两边都除以f`(x),没考虑f`(x)为0的问题P184
1,12(n)x368先用数学归纳法证f(x)=P()e(x?
0),然后再代入。
nP186x
370f(x)Plim190,x,0
371.?
下面g``(x)=1改为g``
(1)=1
374再由(x-1)f`(x)?
0中的1改为ξP191
11122384倒数第二步改为[1+1+(2-x)+x]P195222
391.最后一步分子少了(a+b)P197
393题中f(0)+f
(1)外应有[].P198
395
(1)f(x)f(x)=0后面的字去掉,改为nn,1P199
*,f(x)f(x)=0f(x)=0,k?
Nn2k,1n,1
(2)要找到一个负数a,使得f(a)<02k,1
ea2k即e12k2k注意到a<ξ<0,所以只要a>(2k)!
,即a<-(2k)!
,就有f(a)<0n
2396.等号成立条件还有cosx=cosx
1cosxcosx为什么不用f`(x)=++-2222cosx
cosx1312333()2?
3-2=3-2=-22242cosx
1cosx3原因就在于上式“=”当且仅当=,即cosx=2时取得,但根本就不存在这样22cosx的x!
这题的倒数第四行多了一个“,但x?
(0,)”2
397
(1)当且仅当f(x+2h)=-f(x)=?
M且f``(ξ)=-(?
M)时“=”成立,这是不可能的,20P200
2所以“=”取不到,即M<4MM201
(2)|f`(x)|ε改为|f`(x)|?
M<ε11
(2)中并未提到f(x)有界,怎么能直接套用
(1)的结果,补充证明f(x)有界:
设f``(x)的上确界为M,即|f``(x)|?
M22
f`(x)=f`(x)+(x-x)f``(ξ)(ξ在x与x之间)000则|f`(x)|?
|f`(x)|+|f``(ξ)||x-x|?
|f`(x)|+M|x-x|?
+?
(当x?
+?
时)20000
若f`(x)=+?
,则f(x)=+?
,与已知矛盾~limlimx,,,x,,,
故f`(x)有界,这个界就设为M,即|f`(x)|?
M11
13399另证:
令F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)[f`(a)+f`(x)],G(x)=(x-a)P2012
则F(a)=F`(a)=G(a)=G`(a)=0.由柯西中值定理得
,,F`(),F`(a)F(b),F(a)F`()F``()F(b)11====G(b)G(b),G(a)G``(,)G`(,)G`(,),G`(a)11
1,,,(,a)f```()12==-f```(ξ),代入整理即可。
6(,,a)12
410?
下面第二、三行l-λ改为1-λP206
f(x)412?
ln,分子中的x改为1P207f(x)
418.题目f(x)改为F(x)P210
(2)由极值定义知F(x)在闭区间[0,π]上无极小值。
419与401是同一道题P201
421第一行h(x)改为p(x)P212
n,1m,1422?
下面第二行应为f`(x)=(m+n)sinxcosxsin(α-x)sin(α+x)P213
423.?
下面第二行多了个]
424.题目里x,y参数式分母中的t均少了平方。
x2427?
分母应改为x1P215x2
435
(1)原题没什么问题,我画蛇添足一下,把g(x)的范围缩小一点。
P219
3787628762828g(x)=(x-1)x+x+x-11112828()()
(2)改为,下一行改为:
33
111111118077752728282828()()()()g`(x)>81[]-78[]+76[]+28[]>03333
111111118077752728282828()()()()81[]-78[]+76[]+28[]>0成立是没有问题的,但那是通过3333
计算器(还是电脑里的)算出来的,考试时怎么能知道(把唯一的负项和任意正项放在一起也证
不出来),下面证明g`(x)>0在(0,1]上恒为正。
80777527755227g`(x)=81x-78x+76x+28x=x(81x-78x+76)+28x
52令h(x)=81x-78x+76,下证h(x)在(0,1]上恒为正
17626523要证81x-78x+76>0,即证x+>成立。
28127x
33x11x76767653235345()()2,19当x>0时,x+=2+3?
5=222812433x2x2243x
35x1152761525当且仅当=,即=,x=时,上式“,”成立。
x232432432x
176********,19故x+?
>1>,即h(x)>0281327x
80777527752775所以g`(x)=81x-78x+76x+28x=xh(x)+28x>xh(x)>0
436
(2)少讨论了:
x?
0且x?
-1时,f`(x)<0P220
所以在“当0437第一行:
“因为”改为“因此”。
P221
439最后一行“类似可证”,我看没什么类似的地方。
P222
x,x证:
令F(x)=ef(x),则F`(x)=e[f`(x)-f(x)]?
0
即F(x)单调递减,F(x)?
F(0)=0
而F(x)?
0,所以F(x)?
0,即f(x)=0。
443题目中已有m,所以最小值改为m。
1P225
0,m?
0(但不同时为0)M>0,m<0改为M?
1
d=改为d=maxmaxa,x,da,x,b
,另证:
由罗尔定理,知ξ?
(a,b)使得g`(ξ)=0,由泰勒公式,得
22a,,b,,()()g(a)=g(ξ)+g``(η),g(b)=g(ξ)+g``(η)1222
而g(a)=g(b)=0,故
22a,,b,,()()mm22|g(ξ)|=|g``(η)|?
(ξ-a),|g(ξ)|=|g``(η)|?
(b-ξ)122222
mm|g(,)|上两式分别两边开平方,相加得2?
[(ξ-a)+(b-ξ)]=(b-a)22
mm22所以|g(ξ)|?
(b-a),而|g(x)|?
|g(ξ)|?
(b-a)。
max88a,x,b
444.最后“由零点定理知”,应该是“由406知”PP226204
445.题目中f`(ξ)=M改为f`(ξ)=μ
3449题目中x改为x3P229
457证第一行f``(x)改为f`(x)P233
458.
(2)f``(x)=„,最后加“x?
0”
461题目中(1-λ)+(x)改为(1-λ)f(x)22P234
?
若g(a)=0,由?
,下面错,改为:
bf(a),af(b)f(b),f(a)则令x=a+T,得f(x)=x+b,ab,a
465.证的第二行f(c)改为|f(c)|P237
466.证的第三行把n改为x
467.证的第五行f`(x)改为f(x)P238
f`(x)f`(x)33468.题目中改为222x3x33
32471.解
(1)第二行最后2cosx改为2cosxP240
RRh2h,2Rh472.这页倒数第二行r=改为r=2hh,2Rh
11474.本页最后一行改为P24124
22475.f``(x)=„-2sinxsecxtanx-2改为f``(x)=„+2sinxsecxtanx-2P242
a,ba,b478.?
1-改为x-下面第二行P24422
bb,,abab2(x,)dx(x,)dxf``(η)改为f``(ξ),,aa22
480.
(2)倒数第二行f(x)=f(0)改为f(x)-f(0),最后一行多了一个f(x)112P246
2x481.f`(x)表达式第二段1-改为1-P22247xx483.最后一行(1-t)改成(1-α)
483.第五行-(1-α)改为+(1-α)。
P248
第五章不定积分
第一行左边少了dxP252
508解的第一行dt改为dxP259
第六章定积分
511?
x>1时F(x)有误,正确结果如下:
P263
21xxx,,221[
(1)]tdttdt,,F(x)==,故选(A),,01x2x
22aa0520题目中,k应从1开始。
证的第七行,应为Pb266k44527
(1)题中最后“属于”二字去掉P269
n用不着题中这么复杂的例子。
令f(x)=即可。
xn
,,,,,,,,,nnn2222sin(),dx534解的第二行改为,第三行改为sinxdxsinxdxP,272,,,0002
,,,,,,,nnn22sin(),dxsin(),sin(),,第四行改为,后面三个同样改法。
,022222
537这种题有一般解法,令P274
111nnnnfxdx()()fxdx=+=+,则()IIfxdx1122222,,22,00nx,11nx,1nx,n
11nndx==arctan0?
ξ?
f(),f