高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题doc.docx
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高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题doc
与焦点弦相关的问题
8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）
问题探究8
实验成果
动态课件
已知椭圆x
2
y
2
1，F1为椭圆之左焦点，过点
F1的直线交
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为
常数
4
3
椭圆于
，
两点，是否存在实常数
，使
uuur
uuuruuur
恒
1
1
2
AB
AB
FA?
FB
|AF1|
|BF1|
ep
成立.并由此求∣AB∣的最小值.（借用柯西不等式）
备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和
为常数
性质（定值2）
112
|AF1||BF1|ep
实验成果动态课件
椭|
1
1
2
圆互相垂直的焦点|
弦倒数之和为常数
|AF1|
|BF1|
ep
1
1
2e2
备用课件
2ep
|AB|
|CD|
备用课件
抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和
为常数
112
|AF||BF|ep
双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常
数
备用课件
|2e2|
1
1
|AB|
|CD|
2ep
备用课件
抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常
数
问题探究9
1
1
2e2
|AB|
|CD|
2ep
已知椭圆x2
y2
1，F1为椭圆之左焦点，过点
F1的直线
4
3
备用课件
l1,l2分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，且l1
l2，是否存
uuur
uuur
uuuruuur
恒成立.并由此求四边形
在实常数
，使
AB
CD
AB?
CD
面积的最小值和最
ABCD
大值.
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值
3）
实验成果动态课件
设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴
于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为
离心率的一半（F为焦点）
备用课件
设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦
点所在直线于点D，则∣DF∣与∣
AB∣之比为离心率的一半（F为焦
点）
备用课件
设抛物线焦点弦AB的中垂线与对
问题探究10
称轴交于点D，则∣DF∣与
已知椭圆x2
y2
∣AB∣之比为离心率的一半（F为
1，F1为椭圆之左焦点，过点
F1的直线交椭
焦点）
4
3
圆于A，B两点，AB中垂线交x轴于点D，是否存在实常数
，
备用课件
uuuruuuur
使AB
F1D恒成立？
11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1
（中点共线）
实验成果动态课件
椭圆的焦点弦的端点在相应准线上
的投影与端点的交叉连线与对称轴
的交点平分焦点与准线与对称轴的
交点线段．
备用课件
双曲线的焦点弦的端点在相应准线
上投影与端点的交叉连线与对称轴
的交点平分焦点与准线与对称轴的
交点线段．
备用课件
问题探究11
已知椭圆x2
y2
1，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1交
4
3
椭圆于A，B两点，直线l2：
x
4交x轴于点G，点A,B在直
抛物线的焦点弦的端点在相应准线
上投影与端点的交叉连线与对称轴
的交点平分焦点与准线与对称轴的
交点线段．
备用课件
线l2
上的射影分别是
N,M，设直线
AM,BN的交点为
D，是否存在实常数
，使
uuur
uuuur
GD
DF1恒成立.
12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）
实验成果动态课件
椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D
连线与相应准线的交点N、M，则N、
C、B三点共线，M、C、A三点共线
备用课件
双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点
D连线与相应准线的交点N、M，则
N、C、B三点共线，M、C、A三点共
线
备用课件
抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点
问题探究12
D连线与相应准线的交点
N、M，则
x2
y2
N、C、B三点共线，M、C、A三点共
线（抛物线的
点在无穷远处）.
已知椭圆
1，F1为椭圆之左焦点，过点F1的
D
4
3
直线l1交椭圆于A，B两点，
C,D分别为椭圆的左、
备用课件
uuur
uuuruuur
uuur
右顶点，动点P满足PA
AD,PC
CB,试探究
点P的轨迹.
13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点
弦性质3（对焦点直张角）
实验成果动态课件
椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D
连线与相应准线的交点N、M，则
NF1MF1
备用课件
双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点
D连线与相应准线的交点N、M，则
NF1MF1
备用课件
抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点
问题探究13
D连线与相应准线的交点
N、M，则
已知双曲线x
2
y
2
NFMF（抛物线的
D点在无穷
1，F1为双曲线之左焦点，过
3
1
远处）
点F1的直线l1交双曲线于A，B两点，C,D分别为双
曲线的左、右顶点，动点
P满足
备用课件
uuur
uuuruuur
uuur
点Q
PA
1AD,PC
1CB,动
满
足
uuur
uuuruuur
uuur
QA
2AC,QB
2BD,试探究
PF1Q是否为定
值.
14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系
实验成果动态课件
椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨
迹是准线
备用课件
本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），
因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的
轨迹是准线
备用课件
抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的
问题探究14
轨迹是准线
已知椭圆x2
y2
1，F1为椭圆之左焦点，过点
F1的直线
备用课件
4
3
l1,l2分别交椭圆于
A，B两点和C，D两点，直线l2：
x
4，
直线AD交直线l2于点P，试判断点P、C、B是否三点共线，
并证明之.
15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平
分线）
实验成果动态课件
椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交
点必在准线上且交点与焦点的连线平
分AF2C
备用课件
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线
交点必在准线上且交点和焦点的连线
平分AF1C
备用课件
抛物线的任意两焦点弦端点所在直线
交点必在准线上且交点和焦点的连线
问题探究15
平分AFD
已知椭圆x2
y2
1，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1,l2分别
4
3
交椭圆于A，B两点和C，D两点，直线l3：
x
备用课件
4，直线AD交直线
l3于点P，试证明
PF1APF1D.
16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广
实验成果动态课件
过椭圆长轴上任意一点N（t,0）的两
条弦端点的直线的交点的轨迹是一定
直线x
a2
t
备用课件
过双曲线实轴上任意一点N（t,0）的
两条弦端点的直线的交点的轨迹是一
定直线x
备用课件
a2
t
过抛物线对称轴上任意一定点N
（t,0）的两条弦端点的直线的交点的
问题探究16
轨迹是一定直线xt
x2
y2
已知椭圆
8
1，过点N（2,0）的直线l1,l2分别交椭圆于
备用课件
4
A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线x4.
17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直
线被曲线
及对称轴所分比之和为定值
实验成果动态课件
椭圆的焦点弦所在直线被曲线
及短轴直线所分比之和为定
值.
备用课件
双曲线的焦点弦所在直线被曲
线及虚轴直线所分比之和为定
值.
备用课件
问题探究17
已知椭圆x2
y2
1，点F1为椭圆之左焦点，过点
F1的直线l1分别交
8
4
uuur
uuuruuur
uuur
椭圆于A，B两点，设直线AB与y轴于点M，MA
AF1,MB
BF1,
试求
的值.
过抛物线的焦点弦所在直线被
曲线及顶点处的切线所分比之
和为定值.
备用课件
18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值
实验成果动态课件
过椭圆上任点A作两焦点的焦点弦AC，
AB，其共线向量比之和为定值．即
AF1
m1F1B
AF2
m2F2B
备用课件
m1
m221
e2
定值
1
e2
过双曲线上任点A作两焦点的焦点弦
AC，AB，其共线向量比之和为定值．即
AF1
m1F1B
AF2
m2F2B
备用课件
m1
m221
e2
定值
1
e2
（注：
图中测算不是向量，故中间一式
用的是差）
问题探究18
已知方向向量为
由于抛物线的开放性，焦点只有一个，
故准线相应地替换了焦点，即
备用课件
r
23）和椭圆
e（1,3）的直线l过点A（0,
C:
x2y2
1（ab0）的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆
a2b2
的右准线上的点
uuurruuuruuur
B满足：
OB?
e0,ABAO.⑴求椭圆C
的方程；⑵设E
为椭圆C上任一点，过焦点
F1
F2的弦分别为
uuur
uuur
uuuur
uuur
ES,ET,设EF
1
FS,EF
2
2
FT，求
1
2的值.
1
1
2
升级会员 