高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 平行关系教师用书 文 北师大版.docx

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高考数学一轮复习第7章立体几何初步第3节平行关系教师用书文北师大版

第三节　平行关系

[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．

1．直线与平面平行的判定与性质

（1）判定定理：

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

（2）性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．

（3）符号与图形语言

2.平面与平面平行的判定与性质

（1）判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

（2）性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

（3）符号与图形语言

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（　　）

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．（　　）

（3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（　　）

（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（教材改编）下列命题中，正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]

3．（2015·北京高考）设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF平面ACE，

BD1平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

5．（2017·河北石家庄质检）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mα，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中是真命题的是________（填上序号）．

②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或mβ，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]

与线、面平行相关命题真假的判断

　（2015·安徽高考）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

D　[A项，α，β可能相交，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]

[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．

2．

（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．

[变式训练1]　（2017·唐山模拟）若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β

D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⃘β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]

直线与平面平行的判定与性质

　（2016·南通模拟）如图731所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．

（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?

（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

图731

[解]　

（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.2分

连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.

由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，

∴点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

∴OD1∥BC1.4分

又∵OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分

（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得

BC1∥D1O，8分

∴＝，

又由题

（1）可知＝，＝1，

∴＝1，即＝1.12分

[规律方法]　1.判断或证明线面平行的常用方法有：

（1）利用反证法（线面平行的定义）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⃘α，bα，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，aα⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⃘β，a∥α⇒a∥β）．

2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

[变式训练2]　（2014·全国卷Ⅱ）如图732，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

图732

（1）证明：

PB∥平面AEC；

（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

[解]　

（1）证明：

设BD与AC的交点为O，连接EO.

因为四边形ABCD为矩形，

所以O为BD的中点，

又E为PD的中点，

所以EO∥PB.3分

因为EO平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.5分

（2）由V＝PA·AB·AD＝AB，

又V＝，可得AB＝.

作AH⊥PB交PB于点H.7分

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，

故AH⊥平面PBC.

在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.

所以A到平面PBC的距离为.12分

平面与平面平行的判定与性质

　如图733所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

图733

[证明]　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面.5分

（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.7分

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.

∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.10分

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.12分

[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA.

[证明]　如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B.5分

又HD平面A1B1BA，

A1B平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA.12分

[规律方法]　1.判定面面平行的主要方法：

（1）面面平行的判定定理．

（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）．

2．面面平行的性质定理的作用：

（1）判定线面平行；

（2）判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．

易错警示：

利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．

[变式训练3]　（2016·山东高考）在如图734所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

图734

（1）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：

GH∥平面ABC.

[证明]　

（1）因为EF∥DB，

①

所以EF与DB确定平面BDEF.2分

如图①，连接DE.

因为AE＝EC，D为AC的中点，

所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分

因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB.5分

②

（2）如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.

在△CEF中，因为G是CE的中点，

所以GI∥EF.8分

又EF∥DB，所以GI∥DB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，

所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，

所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分

[思想与方法]

1．线线、线面、面面平行的相互转化

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．

2．直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）面与面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

[易错与防范]

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．

2．

（1）在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．

（2）如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．

3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．