沈文选教授发言稿.docx
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沈文选教授发言稿
从数学建模走向能力卓越
沈文选
湖南师范大学数学与计算机科学学院
数学建模（MathematicalModelling）是近些年来随着计算机的普及而谈论得比较多的话题。
一切现代科学技术的发展也紧紧地和数学建模联系在一起了。
因为一切科学研究都要和模型打交道，模型是对原型的形象化或模拟与抽象而来，是对原型的某（或某些）方面不失真的近似反映。
而研究模型，少不了研究其间的空间形式与数量关系，因而这实际上就是要研究并恰当地建立各种各样的数学模型。
运用数学模型，不仅可以定性地研究事物的性质，而且可以定量地研究或描述事物的本质，使其数量化、精确化，这也正是现代科学技术发展的一个重要特征。
因而，数学建模活动正在全世界形成一股热潮，这股热潮使得学校教育形成了鲜明的时代特色。
例如，强调让学生通过“做数学”来学习数学是近些年来国际上进行数学教育的特色之一，因为数学建模的过程就是一种做数学的过程。
根据中学的数学教育目标，在中学阶段就开始学习并探讨研究有关数学建模的问题是非常必要的，也是十分重要的。
在中学数学教学中，介绍数学模型的运用与怎样进行数学建模是学习、探讨研究数学建模的重要途径。
显然，通过实例来介绍数学模型的运用，通过实例来介绍怎样进行数学建模，说明如何分清实际问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设，建立相应的数学模型，然后将所得解与实际问题比较，进一步修改、完善模型，使用问题得到塞满的解决。
这样的建模学习可以使读者清楚地认识到：
数学建模就是有力的内驱力，又是数学应用研究的重要方面，也是“做数学”的实际行动。
宋代诗人陆游讲得好：
“纸上得来终觉线，绝知此事要躬行。
”学习与研究数学建模也是如此。
1理解数学建模的意义
1.1什么是数学建模？
在数学的教与学中，一般是侧重于学习、研究别人给我们建立的一个个数学模型和怎样建立数学模型的思想方法。
研究别人做成的现成的数学模型是一种被动的活动，与自己构建数学模型是完全不同的。
在研究他人的模型时，我们关心的仅仅是如何引入、运用数学模型，如何运用数学的方法和技巧从已知的数学模型中推导出问题的答案。
在数学教学中，这种练习无疑是非常重要的，它不仅有助于说明数学模型的作用，而且有助于增强学习的动机。
在数学的教与学中，为了拓宽学习者的思路，提高学习者的解题能力，贯通各种知识，强调问题别解，例如代数问题的几何解法，几何问题的三角解法、复数解法等等，这都是对数学模型的一些运用。
将原问题化归到某一数学模型上或引入某一模型加以解，这是一种非常有效的数学模型的运用。
诚然在数学模型的运用中，可以渗透并启引数学建模的初步思想，但是，这种运用和练习并不能展现数学建模的简化假设等过程，因而我们只能说这是数学建模的启蒙或入门。
为了提高学习者应用数学的能力，并训练思维，在中学数学教材中编排了不少应用题。
有些人认为做这些应用题就是一种数学建模的训练。
诚然，应用题的训练确能提高数学建模能力，因为它有一个从具体问题到数学问题的抽象、归纳过程，而且其中不乏来自于实际的应用题。
但是决不能在这种应用题与数学建模之间划等号。
因为很多应用题（特别是课本中的应用题）的条件仅是数学假设，不可能是实际问题的简化假设。
在现实中，能够直接运用数学方法解决实际问题的情形是很少见的。
恰恰相反，对于面临的实际问题人们往往难以表述为数学形式，甚至不知道应当从何处入手。
这里，主要的困难在于如何从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题，并确定出问题的答案。
在日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想。
例如，坐出租车是生活中常见的事情，同时出租车计费所涉及的知识主要是高一所学的函数知识，因此出租车计费不失为一个很好的进行数学建模教学的问题。
在人教社B版必修1中给出了这样的问题（见教材第68页），“某市一种出租车标价为1.2元/km，但事实上的收费标准如下：
开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元（即起步费），4km后到15km之间，每公里收费1.2元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.8元。
试写出收费金额
与打车路程
之间的函数关系（其他因素产生的费用不计）”。
教材中的问题不能说是一个严格的数学建模问题，而只是一个数学应用题，我们可把这个问题处理成一个娄科学实验建模问题，可在课堂教学中进行实践。
下面，我们介绍一个建模问题：
人口预测问题
（1）问题的背景与提出（建模准备）
众所周知，人口是一个现实问题，它对于一个国家或地区来说，是一个相当重要的因素，它可以对国家经济发展计划的制定、公共设施（如学校、医院等）的设置等重大问题有所制约，因此对人口数量进行预测很有必要。
早在18世纪，英国经济学家马尔萨斯（Malthus）通过分析一百多年的人口资料，就提出了一种人口增长的理论，并且提出人口增长能够用数学方法来模拟预测，从此以后，对人口数量进行预测就成为各国政治家、科学家关注的焦点。
显然，现在的人口预测情形更加复杂，因为各国采取了各种不同的干预人口控制的政策。
下面，给出历史上一个经典的人口预测模型建立的例子：
某地区从1790年到1950年的人口（单位：
百万）数据资料是：
1790年人口3.929，1800年人口5.308，1810年人口7.24；
1820年人口9.638，1830年人口12.866，1940年人口17.069；
1850年人口23.192，1860年人口31.443，1870年人口38.558；
1880年人口50.156，1890年人口62.948，1900年人口75.995；
1910年人口91.972，1920年人口105.711，1930年人口122.775；
1940年人口131.669，1950年人口150.697。
利用上述资料预测该地区1980年、2000年的人口数。
（2）假设化简
（i）因为人类可以看做一种特殊的生物种群，因此，这里假设该地区人口为一个与外界隔绝的、封闭的种群。
这条假设可以这样来理解，该地区的人口增长数是由其该地区人口的生育、死亡所引起的，与外界移民无关。
当然如果迁移到该地区的人口与迁出该地区的人口数相等，也可以看做为满足这条假设。
（ii）该地区的人口数量是时间的连续函数。
这条假设可以这样来理解，该地区的人口数变化是连续的，不出现间断式的增长或减少。
（iii）该地区人口的每一个个体都是相同的。
这条假设可以这样来理解，该地区的每一个人具有相同的生育能力与死亡条件。
（iv）该地区的人类生存资源丰富，政治、社会、经济环境稳定。
这条假设其实是前三条假设的总前提。
（3）建模与求解
基于上述四条假设，我们认为人口数量是时间的函数。
建模的思路就是根据给出的数据资料绘出的散点图（图略），寻找一条直线（或曲线），使它们尽量与这些散点相吻合，从而近似地认为这条直线（或曲线）描述了人口增长的规律，进而作出预测。
记时间为
时刻的人口数为
。
模型1观察散点图，可以发现从1880年后，散点近似在一条直线上，于是过（1990，75.995），（1920，105.711）两点作直线
即
从而得到1980年，2000年的人口预测数分别为
P（1980）=194.859（百万），P（2000）=224.575（百万）
模型2由从散点图的整体趋势来看，可以认为散点近似在一条关于
轴对称的抛物线上，于是过（1790，3.929），（1890，62.948）的抛物线方程为
从而得到1980年，2000年的人口预测分别为
P（1980）=216.919（百万），P（2000）=264.019（百万）
模型3从图中看来，有些点既不在模型1的直线上，也不在模型2的抛物线上，例如点（1940，131.669）和（1950，150.697），它们即为，而这两点离我们的预测时间1980年最近，为充分利用这两点的信息，可以采用分段函数来描述，当
时，
采用模型2的抛物线，当
930时，
采用过（1940，131.669）和（1950，150.697）的直线。
从而得到1980年，2000年的人口预测数分别为
P（1980）=207.781（百万），P（2000）=245.837（百万）
模型4观察散点图的整体趋势，可以认为散点近似在一条指数曲线上，又因为1940，1950这两年离1980年最近，于是过（1940，131.669）和（1950，150.697）的指数曲线方程
从而得到1980年，2000年的人口预测数分别为
P（1980）=226.02（百万），P（2000）=305.22（百万）
（4）模型的检验与分析
在上述四个模型中，由于使用的方法不同，得到的结论也各不相同。
实际上该地区1980年的人口数为227百万，其中以模型2，模型4的结果最接近，其误差只是4.4%和0.43%。
对于2000年的人口预测模型2或4的结果也比较接近些。
从上例可以看到，一般地说，建模过程基本上按照上述步骤或循环往复地通过这些步骤。
但是，这并不意味着，建模过程总是按照上述次序或者循环往复通过这些步骤。
有时建模过程会十分复杂，上述步骤也往往相互交融，模型形式也不是唯一的。
上述问题的解决，具体地说明了数学建模这一过程，我们也可以用下面的框图更清晰地说明数学建模这一过程：
因此，我们有如下的
定义：
数学建模就是上述框图（流程图）的多次循环执行的过程。
对于上述框图还作如下几点说明：
（1）实际问题往往是极为复杂的，因而只能抓住主要的方面来首先进行定量研究，这正是抽象和简化的过程。
正确的抽象和简化也往往不是一次能够完成的。
例如哥白尼（Kepler）和牛顿（Newton）发现的万有引力定律正是把星球、物体简化成没有大小而只有质量的质点，再应用物理规律和数学推导而得到的，而万有引力定律正是发射卫生、宇宙飞船（登月飞船）等空间飞行器的重要依据（当然在真正设计、研究宇宙飞船及飞行轨道时必须考虑其质量、形状结构等因素，从而必须研究修正的数学模型）。
变量和参数的确定不仅重要，往往也是复杂和困难的。
（2）应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系。
这里的“规律”可以是人们熟知的物理学或其他学科的定律，例如牛顿第二定律、能量守恒定律等等，也可以是实验规律等。
这里说的明确的数学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，甚至可以是一个明确的算法，在这一、二两个分过程中能用数学语言把实际问题的诸多方面（关系）“翻译”成数学问题是极为重要的。
（3）框图中形成的许多数学模型往往是很复杂、很难的，许多模型的求解对数学提出了很多挑战性，能推动数学发展的问题。
所以，当不能解析地（完全地）解决时，就先考虑近似求解，它常常包含两方面的含义：
数值近似求解或从工程、物理上进一步对模型作简化（例如忽略高阶量等等手段），使得解析或数值求解成为可能。
这样做本质上是改变了问题，有可能得到的不是原问题的解。
因而怎样才能做到正确的近似需要很强的洞察力，从这里也可以看出整个数学建模过程往往是多次循环执行的过程就不足为怪了。
（4）数学建模的重要性主要在于通过建模对各种实际问题获得深刻的认识，在此基础上才能解决问题。
而数学的求解往往是用非数学家不易了解的数学语言、公式等表示的，因而把它们“翻译”成与实际问题有关的物理、化学或生物学等的语言，甚至是平常人能懂的语言是极为重要的，只有这样才有可能让有关领域的专家来判定是否获得了深刻的认识。
建模是否正确还必须验证（常常是用实验、现场测试或历史记录来验证），通过验证的才能付之使用，因而解释和验证是必不可少的。
（5）综上可见，要进行真正好的数学建模必须要有各有关领域的专家、工作人员的能力合作，也就是说数学建模的过程往往是一个跨学科的合作过程。
由此可见，作为青少年学生若有志于在数学建模活动中作出一点成绩，也须得努力学习，开拓视野，刻苦钻研专业知识，只有这样，才能使自己在数学建模中干得更好。
还有一点值得一提，即Modeling一词的基本含义是“塑造艺术”（《简明不列颠百科全书》7卷P547），该条目中说“塑造与雕刻相反，它是一种添加性工艺，它不同于雕刻之处在于塑造过程中可以修正形象。
”这与数学建模过程中多次迭代修改是一致的。
由于数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，从不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术——数学的塑造艺术。
它需要熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，更要自己动手，亲身体验。
1.2数学建模的初步体会
从解决这个问题的过程中体验到了数学建模除提出问题这个环节外的其它环节，从收集信息，分析信息开始；然后根据问题提炼出主要因素，忽略次要因素；接着根据数量关系选取合适的数学模型进行构建；再根据实际情况，不断优化模型，最后得到一个最佳模型。
收集到信息是社会生活中人所必备的一种重要能力，一般包括从实际生活、网络、文献等途径，而现在最常用的方式是网络、文献，忽视实际生活。
然而实际生活能提供一手数据，真实可靠，是从事科学研究的必备素质。
在数学建模过程中，收集数据既有网络也有实际生活，应体现收集数据的多样性。
构建模型前要对信息进行分析，对问题做出一些假设，忽略一些自己无法控制的因素，留下可控的因素，忽略的标准应该与建构者的知识水平相一致。
让学生感受模型的多样性，要求不同，模型也不同，对人口问题给出了4种形式的模型，这4种形式各有所长，也各有所短。
让学生感受数学建模的过程是一个对模型不断调整的过程，是一个由浅入深不断完善的过程，刚开始构建模型时，由于一些因素考虑不全，构建的模型的基础上不断调整、完善、使之尽可能与实际相符合。
人口问题很好地体现了这个过程。
提出问题是数学建模的关键，这需要一段时间的磨炼。
1.3建立数学模型的一般要求
一般地，建立数学模型有如下要求：
（1）足够的精度，即要求把本质的关系和规律反映进去，把非本质的去掉。
（2）简单，便于处理，过于复杂，则无法求解或求解困难。
（3）依据要充分，即要依据科学规律、客观规律来建立公式和图表或算法等。
（4）尽量借鉴标准形式
（5）模型所表示的系统要能操纵和控制，便于检验和修改。
1.4建立数学模型的一般步骤
一个实际问题往往是很复杂的，而影响它的因素总是很多的。
如果想把它的全部影响因素（或特征）都反映到模型中来，这样的模型很难甚至无法建立，即使建立也是不可取的，因为这样的模型太复杂，很难进行数学处理和计算。
但仅考虑易于数学处理，当然模型越简单越好，不过这样做又难于反映系统的有关主要特性。
通常所建立的模型往往是这两种相互矛盾要求的折中处理。
建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何建立。
这里所说的步骤仅是一种大体上的规范，我们应具体问题具体分析，灵活运用，边干边创造，现结合前面的实例及流程图，大致归纳一下建模的一般步骤。
（1）模型准备
了解问题（事件或系统）的实际背景，明确建模的目的、分析、研究问题的各种信息如数据资料等，弄清问题的特征，为了做好准备，有时要求建模者作一番深入细致的调查研究，碰到疑问要虚心向有关方面的专家、能人请教，掌握第一手资料，并将面临建模的周围种种事物区分为不重要的、局外的、局内的等部分，想象问题的运动变化情况，用非形式语言（自然语言）进行描述，初步确定描述问题的变量及相互关系。
（2）模型假设
根据实际对象的特征和建模目的，在掌握必要资料的基础（诸如确定问题的所属系统（例如力学系统、生态系统、管理系统等）模型的大概类型（如离散模型、连续模型、随机模型等）以及描述这类系统所用的数学工具（即数学形式或数学方法））上，提出假说，对问题进行必要的简化，并且用精确的数学语言来描述，这是建模的关键一步，没有科学的假设，人们对现实世界的感性认识就不可能上升到理性的阶段，不同的简化和假设会得到不同的模型，假设做得不合理或过分简单，会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设做得过于详细，考虑的因素过多，会使模型太复杂而无法进行下一步工作。
所以，重要的是，要善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化。
（3）模型建立
根据所做的假设，利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构（公式、表格、图形等），在建模时究竟采用什么数学工具要根据问题的特征、建模的目的要求及建模者的数学特长而定。
数学的任一分支在建立各种模型时都可能用到，而同一实际问题也可以采用不同的数学方法建立起不同的模型，但应遵循这样一个原则，尽量采用简单的数学工具，以便得到的模型被更多的人了解和使用。
（4）模型求解
根据采用的数学工具，对模型求解。
包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等，要求建模者掌握相应的数学知识，尤其是计算机技术、计算技巧。
（5）模型分析
对模型求解的结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定状态；有时是根据所得结果给出数学上的预测；有时是给出数学上的最优决策或控制。
（6）模型检验
将模型分析的结果“翻译”回实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，即验证模型的正确性。
通常，一个较成功的模型不仅应当能解释已知现象，还应当能预预言一些未知的现象，并能被实践所证明。
如牛顿创立的万有引力定律模型就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验，才被证明是完全正确的。
应该说，模型检验对于建模的成败至关重要，必不可少。
当然，如核战模型就不可能要求接受实际的检验了。
如果检验结果与实际不符或部分不符，或者不如你预期的那样精确，最好试着去弄清原因，揭露出隐蔽的错误或求解失误，如果肯定建模和求解过程中无误的话，一般讲，问题出在模型假设上，就应该修改或补充假设，重新建模。
在检验时完全依赖常识是不妥的，因为常识可能恰好是错误的。
如果检验结果正确，满足问题所要求的精度，认为模型可用，便可进行最后一步——“模型应用”了。
最后，我们还必须指出的是，应用是进一步的检验。
在应用模型时，要是盲目地把这模型用于同检验时所用的迥然不同的问题上，那是危险的，每一次应用都应看做是对模型的一次检验。
在模型的应用检验分析中，更要特别注意第二步的假设化简，模型的精度往往与明确什么因素是可以忽略的，与弄清某些局外变量精确的程度密切相关。
有时把一些性质相同或相似的变量合并，有时把在晨主要或暂时的变量看做常量，把连续变量看做离散变量或反过来，有时实现视角的转换，或改变变量之间的函数关系等等，以达到建立的数学模型切实是对原型的某个（或一些）方面不失真的近似反映。
2掌握数学建模的一些基本方法
数学建模有各种各样的方法，这里主要讲中学生可以学习并掌握的一些基本方法。
2.1数学建模的逻辑思维方法
建立数学模型是一种积极的思维活动，从认识论角度看，是一种极为复杂且应变能力很强的心理过程。
建模时，没有统一的模式，没有固定的套路，其中既有逻辑思维，又有非逻辑思维。
建模中，大体都要经过分析与综合、抽象与概括、归纳与类比、系统化与具体化等，甚至还要经过想象与猜测，直感与顿悟，其中分析与综合是基础，抽象与概括是核心，想象与猜测是关键，逻辑思维方法的大量被采用，这无疑对提高建模能力有所帮助。
2.2数学建模的非逻辑思维方法
逻辑思维与非逻辑思维，作为人类不同的思维方式，它们各有自己的功能，都是人类健全理智的要素，就数学而言，它们构成了数学进展的两翼。
例如就数学成果的表述而论，数学以严密的演绎系统为其主要特征运用逻辑思维建构形式呈现的，然而在发现这些数学成果时所运用的思维形式却运非单纯的逻辑思维，还需运用非逻辑思维形式，特别地，建构数学模型是一种创造性工作，更需要运用想象、直觉和灵感（顿悟）这些非逻辑思维的方法。
2.3数学建模的机理分析方法
建立数学模型不仅是一种高级的思维活动，一种极为复杂且应变能力很强的心理过程，而且是一种通过“做数学”来学习数学的实践活动，一种广泛运用数学方法且数理应用能力极活的理事手段。
因此，为了培养建构建数学模型的能力，除了加强逻辑思维能力与非逻辑思维能力的训练与培养外同时要学得“杂”一些，知识面要广一些，要尽量多掌握有关的自然科学、工程技术等方面的一些基本原理、方法和定律等，对于数学知识、方法更要加强学习与掌握，以便在需要时能灵活运用这些知识与方法。
数学建模方法的组成至今尚无公论，不同的人有不同的方法去建模，同时，方法有时还依赖于具体的问题。
毫无疑问，在建模过程中作为建模专家的一般经验和在特定的领域的实际经验起着重要的作用。
因此，介绍一些数学建模专家侧重于实际问题本身或系统的基本的机制或原理以及系统内部的因果关系，反映内部机理的规律而推导出模型的机理分析建模方法，或侧重于实际问题或系统的运行和测试、调查数据而建立起模型的数据分析建模方法，诸如比例分析、位置分析、因互分析、层次分析、图解分析、实验分析、比较分析、公理化分析以及数字分析、数式分析、回归分析、矩阵分析、时序分析等简单、初等的建模方法对于初学数学建模的人是必要的，这跟告诉小学生识字一样，学习这些方法，掌握这些方法也是重要的。
2.4数学建模的数据分析方法
我们的社会已进入信息时代，研究问题、处理问题离不开信息，信息是问题研究的基础，而许多信息是通过数据反映出来的。
因此学会捕捉信息、搜集数据是我们的重要工作。
捕捉信息、搜集数据，首先要制订计划，明确目的、目标，这样可以少走弯路，避免无效劳动，其次要讲究方法，捕捉信息、搜集数据主要依赖于对所处环境、事物的留心观察。
除了可以运用已有的诸如报纸、杂志、报表上刊登的信息、数据外，也可采用定点调查、个别访问及随机问卷抽查等，获取信息、数据；有些信息、数据还需通过实地测试及通过实验获得。
最后，还要善于处理搜集来的信息、数成。
这在数学建模中显得更为突出。
2.5数学建模的学科知识方法
数学学科知识是一个个经典的模型，因而，数学各学科的知识都是可以运用来建模的，它们在建模中发挥着极为重要的作用。
3认识数学建模教育的重要意义
现代数学教育学认为，数学教学的任务是提高公民的数学素养，形成和发展那些具有数学思维特点的智力活动结构，并且促进数学发现与应用；同时，又把数学教学看做是数学活动的教学，而数学建模就是这样一种既能创设情境来完成教学任务又能促进数学发现与应用的特别活跃的数学活动。
因此，数学建模是现代数学教育研究中不可缺少的课题，数学建模教育具有特殊的教育性质与功能。
3.1探求数学建模教育的性质
经过近些年的数学建模教育实践，我们可发现数学建模教育具有如下性质：
（1）面向未来的基础教育
1994年，王梓坤院士执笔为中国科学院数学物理学部写的报告《今日数学及其应用》中指出：
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高效率经济管理，这是当代有识之士的一个共同见解，也已为各发达国家的历史所证实。
在我国，党和政府已把科技对生产建设的重要性提到前所未有的高度，美国的科学院院士J.G.Glimm也曾幽默地说过，40年前，中国有句话说“松子杆子里面出政力”，而从20世纪90年代起，在全球应是“科学技术里面出政权”。
他的话反映了国外许多人士对科技重要性的新认识，从海湾（伊拉克）战争也可以看出，高技术是保持国家竞争力的关键因素。
“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。
”这句话把数学对高新技术的作用，从而对国富民强的作用，清楚地表达出来。
当代科技的一个突出特点是定量化。
人们在许多现代化的设计和控制中，从一个大工程的战略计划、新产品的制作、成本的结算、施工、验收直到贮存、运输、销售和维修等等都必须十分精确地规定大小、方位、时间、施工、速度、成本等数字指标。
精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。
所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出
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