春季学期新版新人教版九年级数学下学期273位似教案24.docx

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春季学期新版新人教版九年级数学下学期273位似教案24

相似

27.3　位似

第2课时　位似图形的坐标变化规律

素材一　新课导入设计

情景导入　置疑导入　归纳导入　复习导入　类比导入　悬念激趣

置疑导入　如图27－3－46，在直角坐标系中，

图27－3－46

△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）．按要求完成下列问题：

（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？

如果位似，指出位似中心和相似比；

（2）如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以－2呢？

[说明与建议]说明：

能让学生在活动中举一反三，触类旁通、善于发现、勤于探究、敢于质疑、学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生总结，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．

建议：

首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在直角坐标系中描出各对应点，得到对应的三角形，然后由教师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结．

归纳导入　1.如图27－3－47，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

方法一：

　　方法二：

图27－3－47

探究：

（1）在方法一中，点A′的坐标是__（2，1）__，点B′的坐标是__（2，0）__；

（2）在方法二中，点A′的坐标是__（－2，－1）__，点B′的坐标是__（－2，0）__．

2．如图27－3－48，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2）．以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

位似变换后A，B，C的对应点分别为A′（4，6），B′（4，2），C′（12，4）或A″（－4，－6），B″（－4，－2），C″（－12，－4）．

图27－3－48

[说明与建议]说明：

学生已经掌握了位似图形的概念和性质，通过在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标规律．

建议：

先留给学生动手填写的时间，然后教师要引导学生分析坐标的变化规律．

素材二　教材母题挖掘

教材母题——第51页习题27.3第5题

如图27－3－49，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3）．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，写出新矩形各顶点的坐标．

图27－3－49

【模型建立】

在平面直角坐标系中解决位似图形中对应点的坐标问题，一般先找到位似中心，再确定位似比，然后再写出对应点的坐标．

【变式变形】

1．如图27－3－50，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（3，0），（2，－3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为（－1，0），则点B′的坐标为____．

图27－3－50　　　　　图27－3－51

2．如图27－3－51，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中点A，B的对应点分别为A′，B′且点A，B，A′，B′均在图27－3－51中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（D）

A.B．（m，n）C.D.

3．绥化中考已知：

如图27－3－52，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，则点C1的坐标是__（2，－2）__；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，则点C2的坐标是__（1，0）__；

（3）△A2B2C2的面积是__10__平方单位．

图27－3－52　　　图27－3－53

解：

（1）

（2）如图27－3－53所示．

素材三　考情考向分析

[命题角度1]利用位似的性质求点的坐标

利用位似可以成比例地放大或缩小一个图形．在图象上的对应点也会发生相应的变换：

在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k作位似图形时，在同一象限，横、纵坐标的比都为k；不在同一象限，横、纵坐标的比都为－k.根据这一特点，可以帮助我们解决根据位似求坐标的问题.

图27－3－54

例　武汉中考如图27－3－54，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（A）

A．（3，3）　　B．（4，3）　　C．（3，1）　　D．（4，1）

[命题角度2]利用位似的性质画图并解决实际问题

利用位似图形的性质画图并解决问题时，利用两图形的位似比得出对应点横、纵坐标的关系是解题关键．

例　巴中中考如图27－3－55，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－2，1），C（－5，2）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.

（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2.

（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即＝____（不写解答过程，直接写出结果）．

图27－3－55

解：

（1）、

（2）如图27－3－55所示．

（3）由画图可知：

＝＝＝，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝＝，故填.

素材四　教材习题答案

P48　练习

1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？

为什么？

解：

平行．

∵△OAB∽△OCD，

∴∠ABO＝∠D.

∴AB∥CD.

2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍．

解：

连接OB，OA，OC并延长至B′，A′，C′，使OB′＝3OB，OA′＝3OA，OC′＝3OC，连接A′B′，B′C′，A′C′，则得到的图形就是将△ABC放大为原来的3倍的三角形．（图略）

P50　练习

1．如图，把△AOB缩小后得到的△COD，求△COD与△AOB的相似比．

解：

由图可知D（2，0），B（5，0），则OB＝5，OD＝2.

∵△COD∽△AOB，∴＝＝.

∴△COD与△AOB的相似比是.

2．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，－5），B（6，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标．

解：

图略．△A′B′O′三个顶点的坐标分别为A′（8，－10），B′（12，0），O′（0，0）或A′（－8，10），B′（－12，0），O′（0，0）．

P51　习题27.3

1．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.

解：

位似中心如下图：

第一个图中的相似比是1∶2；第二个图中的相似比为2∶1；第三个图中的相似比是4∶1.

2．如图，以点P为位似中心，将五角星的边长缩小为原来的.

解：

答案不唯一．可分别连接点P和五角星的10个顶点得到10条线段，再依次取所连线段的中点，将这10个点按顺序连接，所得的图形即为所求作的五角星．图略．

3．△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4）．以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？

解：

根据平面直角坐标系中位似图形点的坐标变化的特点，将点A，B，C的坐标分别乘或－即可得到△DEF各顶点的坐标．分别是D（1，1），E（2，1），F（3，2）或D（－1，－1），E（－2，－1），F（－3，－2）．

4．如图，正方形EFGH，IJML都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心．

（1）哪个图形与正方形ABCD的相似比为3?

（2）正方形IJML是正方形EFGH的位似图形吗？

如果是，求相似比；

（3）正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？

解：

（1）正方形IJML与正方形ABCD的相似比为3.

（2）因为对应点连线交于一点，对应边互相平行，所以正方形IJML是正方形EFGH的位似图形；因为＝＝＝，则相似比为.

（3）因为＝＝＝，所以正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为2.

5．如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3）．以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，写出新矩形各顶点的坐标．

解：

设将矩形AOBC缩小后得到的矩形为A′O′B′C′，点A，O，B，C，的对应点分别为A′，O′，B′，C′，则A′（0，），O′（0，0），B′（2，0），C′（2，）或A′（0，－），O′（0，0），B′（－2，0），C′（－2，－）．

6．如图，图中的图案与“A”字图案（虚线图案）相比，发生了什么变化？

对应点的坐标之间有什么关系？

解：

（1）横向变宽了；纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍．

（2）纵向变长了；横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍．

7．如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的相似比为0.75的一个图形．

解：

如图所示：

P57　复习题27

1．如图，四边形EFGH相似于四边形MLMN，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．

解：

∠E＝∠M＝67°，∠G＝∠M＝107°，∠L＝∠F＝143°，∠N＝360°－（67°＋107°＋143°）＝43°.∵＝＝＝，∴x＝14，y＝15，z＝25.

2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长．

解：

设△DEF的其他两边的长为x，y（x

3．根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．

解：

在图

（1）中，由勾股定理求得x＝4，y＝10,∵＝＝，且∠1＝∠2，

∴△FGH∽△JIH.

图

（2）中，∠MHG＋∠MHJ＝90°，∠MHG＋∠GHF＝90°，∴∠MHJ＝∠GHF.

又＝＝，∴△MJH∽△GFH，x＝124，＝，∴y＝33.

4．李华要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付180元的广告费．如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，要付多少广告费（假设每平方厘米版面的广告费相同）?

解：

扩大版面后的长方形与原版面相似，相似比为3∶1，面积比为（3∶1）2＝9∶1，所以要付广告费180×9＝1620（元）．

5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为2∶1.

解：

作图如下：

6．某同学的座位到黑板的距离是6m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书的字的感觉相同（教科书上的小四号字大小约为0.42cm×0.42cm）?

解：

设黑板上的字长为xcm，宽为ycm，则＝＝，x＝8.4,y＝8.4.

∴黑板上的字应为8.4cm×8.4cm大．

7．如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求AB以及零件厚度x.

解：

∵OA∶OC＝OB∶OD，

且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD，

∴AB∶CD＝OA∶OC＝OB∶OD＝n.

∴AB＝n·CD＝nb，x＝.

8．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证PC2＝PA·PB