第24讲尺规作图讲练中考一轮复习数学附解析.docx

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第24讲尺规作图讲练中考一轮复习数学附解析

一、目标要求：

1．能用尺规完成五种基本作图．

2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题.

二、课前热身

1．尺规的作图是指（）

A用直尺规范作图B用刻度尺和圆规作图

C用没有刻度的直尺和圆规作图D直尺和圆规是作图工具

【答案】C

2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）

作法：

以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点D，E．分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．作射线OC．则OC就是∠AOB的平分线．

A.SSSB．SASC．ASAD．AAS

【答案】A．

【解析】如图，连接EC、DC．

根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，∴△EOC≌△DOC（SSS）．

故选A．

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AD是∠BAC的平分线B．∠ADC=60°

C．点D在AB的中垂线上D．S△DAC：

S△ABD=1：

3

【答案】D

4．如图，已知△ABC，∠ABC=2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点，则下列说法不正确的是（）

A．∠ADB=∠ABCB．AB=BDC．AC=AD+BDD．∠ABD=∠BCD

【答案】B．

5.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）

A．一组邻边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

【答案】B.

【解析】由图形作法可知：

AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选B．

6.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）

A．勾股定理B．勾股定理是逆定理

C．直径所对的圆周角是直角D．90°的圆周角所对的弦是直径

【答案】C

三、【基础知识重温】

一）尺规作图

1．定义

只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．

二）五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．

三）基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

四、例题分析

题型一基本作图

例1.（2016广西河池）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．

（1）尺规作图：

过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在

（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）AB=AD=BC．

【分析】

（1）利用基本作图作BO⊥AC即可；

（2）先利用平行线的性质得∠EAC=∠BCA，再根据角平分线的定义和等量代换得到∠BCA=∠BAC，则BA=BC，然后根据等腰三角形的判定方法由BD⊥AO，AO平分∠BAD得到AB=AD，所以AB=AD=BC．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的作法，作图要保留作图痕迹.

【方法技巧规律】依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．

【趁热打铁】

1.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）连接BD，求证：

BD平分∠CBA．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；

（2）∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠CBA．

题型二基本作图的实际应用

例.（2016湖南怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断

（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）BC与⊙P相切，理由见解析.

【分析】

（1）根据题目要求作出图形即可，如图所示；

（2）BC与⊙P相切，理由为：

过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得BC与⊙P相切．

【点评】本题考查了角平分线的作法以及作圆，并考查了直线与圆的位置关系.

【方法技巧规律】能够准确作图是解题的关键.

【趁热打铁】

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请你判断

（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）AB与⊙O相切，证明见解析.

5、牛刀小试

1、【题源】2016福建漳州

下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）

A．B．

C．D．

【答案】B．

【解析】过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．

2、【题源】2016浙江台州

如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）

A．B．C．D．

【答案】B．

3、【题源】2016湖北宜昌

任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）

A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形

C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形

【答案】B．

【解析】根据线段垂直平分线的性质可得EG=EH=FH=GF，由此可得选项A正确，选项B错误，选项C、正确，选项D正确．故选B．

4、【题源】2016江苏淮安

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）

A．15B．30C．45D．60

【答案】B．

5、【题源】2016广西来宾

如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q

（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）

（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；

（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，，①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）△MPQ是等腰三角形；（3）．