高中必修一对数与对数运算教案.docx

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高中必修一对数与对数运算教案

青年教师基本功大赛参赛教案

参赛教案基本信息

姓名

性别

出生年月

1990.08

工作单位

邮政编码

834000

通讯地址

联系电话

电子邮箱

所用教科书

书名

人教A版高中数学必修1

所教年级

高一

所教册次、

单元

第一册第一单元

课题

对数与对数运算

1.整体设计思路、指导依据说明

整体设计指导依据

1课标要求;理解对数的概念，知道自然对数和常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

2自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力。

数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。

因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。

整体设计思路

1．教学主导方法设计：

通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。

2.教学流程设计：

2.教学背景分析

教学内容分析：

本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的，其主要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等内容。

本节学习内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。

对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。

学生情况分析：

学生在初中就已学习指数运算，在2.1学习了指数函数的主要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，学习函数时就已了解了反函数意义，对学习本课已具备条件。

3.教学目标分析

知识与技能

理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质；能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值.

过程与方法

学会对数式与指数式的的互化，培养学生类比，分析，归纳的能力。

情感、态度和价值观

通过对数式与指数式的互化，培养学生的类比分析、归纳能力；在学习过程中培养学生的探究意识；在理解指数与对数之间的内在联系的过程中，培养学生分析、解决问题的能力.

4.教学重点、难点分析

教学重点：

对数概念的理解，对数基本运算性质的运用.

教学难点：

灵活运用对数与指数的互化并用对数性质求值.

5.教学过程设计

步骤1：

已知变换，抽出问题

，，，？

，？

抽象出：

类似于?

都是已知底数和幂的值,求指数.

你还能能看得出来吗？

怎样求呢？

为了解决这个问题，我们引入一个新的符号表示——对数。

设计意图：

从具体的并且是已经学过的指数函数知识引入对数知识，学生易于接受；通过创设问题，形成思维撞针，激发深层次思考，揭示课题。

步骤2：

历史介绍，激发兴趣

在1770年出版一部著作中，欧拉指出，“对数源于指数”。

而早在16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。

苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其运算而发明了对数。

与解析几何的创始、微积分的建立一同，被恩格斯称为十七世纪数学三大成就。

对数源于指数，但对数的发明却先与指数，这成为数学史上的珍（趣）闻。

有兴趣的同学可以在课下阅读书本68—69页的内容，看看对数的发明史。

设计意图：

引发学生思考后，介绍对数的发明历史，涵养其人文精神，并激发学生对数学学习的兴趣，从而推动其自主学习。

步骤3：

动脑思考，探索新知

对数的概念

若，则叫做以为底的对数，

记作：

其中—底数，—真数，—对数式

说明：

注意底数的限制，且；

；并解决引入问题2x=10x=?

注意对数的书写格式．

设计意图：

（1）学习用数学语言定义对数，加深理解。

通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，运用所学知识解决问题，使学生真正感受成功的喜悦；

（2）多媒体课件展示对数式与指数式互化的对应关系，体现化归转化的思想。

步骤4：

巩固知识，典型例题

例1将下列指数式写成对数式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）

分析依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系．

解：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

例2将下列对数式写成指数式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

分析依照上述公式，由右至左对应好各字母的位置关系．

解：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

（所学不能解决，我们要来学习两种特殊对数）

设计意图：

（1）及时巩固所学的知识，对数式与指数式的互化。

（2）通过在例题中设置问题，激发学生的求知欲，为接下来讲特殊对数做铺垫。

步骤5：

动脑思考，探索新知

两种特殊的对数：

常用对数

自然对数（无理数e=2.71828……）

解决例2的问题，（3）；（4）．

设计意图：

现学现用，学习知识是为了解决问题。

掌握两种特殊对数，对今后学习有很大帮助，要帮助学生掌握。

步骤6：

运用知识,强化练习

练习

1．将下列各指数式写成对数式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

2．把下列对数式写成指数式：

（1）；

（2）

（3）；（4）．

设计意图：

及时巩固所学的知识，对数式与指数式的互化

步骤7：

动脑思考，探索新知

探究对数的性质

研究下列各式，，，；通过求x的值，结合对数的定义，你能得到什么结论？

（1）负数和零没有对数；N>0；

（2）1的对数是零：

；

（3）底数的对数是1：

；

设计意图：

（1）抓住对数的定义的不放松，引导学生探究如何利用对数式与指数式互化研究对数的性质。

（2）在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的

思路，能够引导学生从对数的定义出发，得出对数的性质。

步骤8：

巩固知识，典型例题

例3求下列各式中x的值．

（1）；

（2）．

（3）（4）

分析将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：

（1）

（2）

（3）

（4）所以

设计意图：

通过具体例子体会对数概念，理解对数性质。

步骤9：

探索思考，思维提升

（1）

（2）

分析：

（1），

（2）对数恒等式：

设计意图：

（1）在基础题目后设置思维提升题，使学生的思维得到稳步的提高。

（2）相信学生有能力独立的获取知识，并为其创造好的学习环境，让他们自由探索，在每一节课的学习中得到发展和提高。

步骤10：

运用知识,强化练习

课本P64练习第3题

步骤11:

归纳小结，强化思想

本次课学了哪些内容？

重点和难点各是什么？

设计意图：

（1）回顾新知，梳理所学知识，形成知识结构。

（2）ppt展示，说与看相结合的学习方式，加深学生对知识的理解。

6.作业与板书

布置作业：

课本64页1、2、4

阅读课本68—69页对数的发明。

板书设计：

课题

一、对数概念例题1情境导入

二、特殊对数例题2解决情境问题

三、对数性质例题3思维提升题

附录一

对数发明的历史

1、对数发明的背景

16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即

sinα·sinβ=[cos（α-β）－cos（α+β）]/2,

cosα·cosβ=[cos（α-β）＋cos（α+β）]/2.

大大简化了三角函数连乘的计算。

比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。

但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。

（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？

，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！

）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：

sin67°34'×sin9°3'

＝cos（67°34'-9°3'）－cos（67°34'+9°3'）

＝[cos（58°31'）－cos（76°37'）]/2

＝[0.52225052-0.23146492]/2

＝0.14539280

这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：

若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a,sinβ=b的α与β,然后计算（α-β）和（α+β），再由三角函数表查得cos（α-β）与cos（α+β）,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。

由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。

2、对数产生的前奏

请你观察下面两个数列,并找出规律:

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096，8192，16384⋯⋯

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，13，14⋯⋯

德国数学家Stifel（1487～1567）在观察上述两个数列时,称上排的数为“原数”,下排的数为“代表数”（德文Exponent）,Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。

Stifel指出：

“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。

”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数”4、1024的“代表数”10之和4+10=14，再查出与“代表数”14相对应的“原数”16384，就得到16×1024的乘积。

实际上,Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。

说明：

上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：

2０，

21，

22，

23，

24，

25，

26，

27，

28，

29，

210，

211，

212,

213

214

⋯⋯

0，

1，

2，

3，

4，

5，

6，

7，

8，

9，

10，

11，

12，

13

14

⋯⋯

则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。

此法可推广到任何二个数的乘除运算。

比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝aX,0.08304115＝aY，则17951235×0.08304115＝aX×aY＝aX+Y。

这里x是17951235的（以a为底的）对数，y是0.08304115的（以a为底的）对数。

底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数（以10为底的对数称为常用对数）x=lg17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.17338768