届高三高考适应性调研考试数学理.docx
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届高三高考适应性调研考试数学理
2018年1月高考适应性调研考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）
A．B．C．D．
3.下列命题中正确命题的个数是（）
①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③若为假命题，则，均为假命题；
④若命题：
，，则：
，；
A．B．C．D．
4.设，满足约束条件，则的最小值为（）
A．B．C.D．
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C.D．
6.设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递增，若数列是等差数列，且，则的值（）
A．恒为正数B．恒为负数C.恒为D．可正可负
7.已知函数，，的零点依次为，，，若在如图所示的算法中，令，，则输出的结果是（）
A．B．C.D．或
8.已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（）
A．B．C.D．
9.已知双曲线：
（，），，分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率是（）
A．B．C.D．
10.如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：
在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为（）
附表：
A．B．C.D．
11.已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．
C.D．
12.艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：
满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数（）有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，的前项和为，则等于（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等差数列的前项和为，若，，则的公差为．
14.设常数，若的二项展开式中含项的系数为，则．
15.已知长方体中，，，，点为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为．
16.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.
18.如图，已知四棱锥，平面，底面中，，，且，为的中点.
（1）求证：
平面平面；
（2）问在棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
19.某省高中男生身高统计调查数据显示：
全省名男生的身高服从正态分布，现从该生某校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：
第一组，第二组，…，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）求该学校高三年级男生的平均身高；
（2）求这名男生中身高在以上（含）的人数；
（3）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该中身高排名（从高到低）在全省前名的人数记为，求的数学期望.
（附：
参考数据：
若服从正态分布，则，，.）
20.已知抛物线：
（）的焦点是椭圆：
（）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为，，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？
若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
21.已知函数，，且曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）证明：
当时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：
上.
（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知，，，函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.
2018年1月高考适应性调研考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:
ABCBD6-10:
ACACD11、12：
BC
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17．解：
（1）在中，由，
又
又
（2）在中，由余弦定理可得
又
为等腰直角三角形
当时，四边形面积有最大值，最大值为
18．解：
方法一:
（1）证明：
∵平面，平面，
∴.∵为的中点，且梯形中，，
∴
∵平面，平面，且
∴平面.
平面，∴平面⊥平面
（2）存在点使平面，在内，过做垂足为
由
（1）平面，平面，，
，平面
又平面，平面知，
∵平面平面
∴为二面角的平面角.
在中，，，
，
故二面角的余弦值为.
方法二:
∴以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图
，，，，，，
为的中点，∴，
（1）
∴，
平面，平面，且
∴平面.
平面，∴平面⊥平面
（2）存在点使平面，在内，过做垂足为
由
（1）平面，平面，，
，平面
设平面的一个法向量为，
则，
取.
平面
是平面的一个法向量.
由图形知二面角的平面角是锐角，
故
所以二面角的余弦值为
19．解：
（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为
（2）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人
（3）∵
∴，而，
所以全省前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人.
随机变量可取，，，于是
，
∴．
20．解：
（1）将代入抛物线得
∴抛物线的焦点为，则椭圆中，
又点在椭圆上，
∴，解得，
椭圆的方程为
（2）方法一
当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得，
当点为椭圆的下顶点时，由对称性知：
.
猜想点在直线上，证明如下：
由条件可得直线的斜率存在，设直线，
联立方程，
消得：
有两个不等的实根，
，
设，则，
则直线与直线
联立两直线方程得（其中为点横坐标）
将代入上述方程中可得，
即，
即证
将代入上式可得
，此式成立
∴点在定直线上.
方法二
由条件可得直线的斜率存在，设直线
联立方程，
消得：
有两个不等的实根，
，
设，则，
由，，三点共线，有：
由，，三点共线，有：
上两式相比得
，
解得
∴点在定直线上．
21．解：
（1）由题设得，∴，
解得，．
（2）由
（1）知，，
令函数，∴，
当时，，递减；
当时，，递增；∴，即
∴当时，，且仅当时，
故在上单调递增，
∴；
（3）由题要证：
当时，，
即证：
，
因为，且曲线在处的切线方程为，
故可猜测：
当且时，的图象恒在切线的上方．
下面证明：
当时，，
证明：
设，，
则，令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，
所以，存在，使得，
当时，；当，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，∴，当且仅当时取等号．
故．
由
（2）知，，故，∴，当且仅当时取等号．
所以，．
即．所以，，
即成立，当时等号成立.
故：
当时，，12分
方法二：
要证，等价于，又，可转化为证明
令，
，
，因此当时，，单调递增；当时，，单调递减；
有最大值，即恒成立，即当时，
22．解：
（1）设点的坐标为，则有
消去参数，可得，为点的轨迹的方程；
由曲线：
，得，且，
由，故曲线的方程为：
；
（2）曲线的方程为：
，即
表示过点，斜率为的直线，
动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．
（或圆心到直线的距离小于半径和去求）
23.解：
（1）
或或，
解得或.
（2）
．
当且仅当时取得最小值．
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