离散数学第一章命题逻辑知识点总结.docx

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离散数学第一章命题逻辑知识点总结

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分

第1章命题逻辑

1.1命题符号化及联结词

命题:

判断结果惟一的陈述句

命题的真值:

判断的结果

真值的取值:

真与假

真命题:

真值为真的命题

假命题:

真值为假的命题

注意:

感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题（原子命题）：

简单陈述句构成的命题

复合命题：

由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题

简单命题符号化

用小写英文字母p,q,r,…,pi,qi,ri（i≥1）表示

简单命题

用“1”表示真，用“0”表示假

例如，令p：

是有理数，则p的真值为0

q：

2+5=7，则q的真值为1

联结词与复合命题

1.否定式与否定联结词“”

定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称

为p的否定式，记作⌝p.符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.

2.合取式与合取联结词“∧”

定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q.∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真

注意：

描述合取式的灵活性与多样性

分清简单命题与复合命题

例将下列命题符号化.

（1）王晓既用功又聪明.

（2）王晓不仅聪明，而且用功.

（3）王晓虽然聪明，但不用功.

（4）张辉与王丽都是三好生.

（5）张辉与王丽是同学.

解令p：

王晓用功，q：

王晓聪明，则

（1）p∧q

（2）p∧q

（3）p∧⌝q.

令r:

张辉是三好学生，s:

王丽是三好学生

（4）r∧s.

（5）令t:

张辉与王丽是同学，t是简单命题.

说明:

（1）~（4）说明描述合取式的灵活性与多样性.

（5）中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.

3.析取式与析取联结词“∨”

定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q.∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.

例将下列命题符号化

（1）2或4是素数.

（2）2或3是素数.

（3）4或6是素数.

（4）小元元只能拿一个苹果或一个梨.

（5）王晓红生于1975年或1976年.

解令p:

2是素数,q:

3是素数,r:

4是素数,s:

6是素数,

则

（1）,

（2）,（3）均为相容或.

分别符号化为:

p∨r,p∨q,r∨s,

它们的真值分别为1,1,0.

而（4）,（5）为排斥或.

令t:

小元元拿一个苹果，u:

小元元拿一个梨，

则（4）符号化为（t∧⌝u）∨（⌝t∧u）.

令v:

王晓红生于1975年,w:

王晓红生于1976年,则（5）既可符号化为（v∧⌝w）∨（⌝v∧w）,又可符号化为v∨w,为什么

4.蕴涵式与蕴涵联结词“”

定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件.→称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p为真q为假.

p→q的逻辑关系：

q为p的必要条件

“如果p，则q”的不同表述法很多：

若p，就q

只要p，就q

p仅当q

只有q才p

除非q,才p或除非q,否则非p.

当p为假时，p→q为真

常出现的错误：

不分充分与必要条件

5.等价式与等价联结词“”

定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q.↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.

说明:

（1）p↔q的逻辑关系:

p与q互为充分必要条件

（2）p↔q为真当且仅当p与q同真或同假

联结词优先级:

（）,⌝,∧,∨,→,↔

同级按从左到右的顺序进行

以上给出了5个联结词：

⌝,∧,∨,→,↔，组成

一个联结词集合{⌝,∧,∨,→,↔}，

联结词的优先顺序为：

⌝,∧,∨,→,↔;如果出

现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右

的顺序运算;若遇有括号时，应该先进行括号

中的运算.

注意:

本书中使用的括号全为园括号.

⏹命题常项

⏹命题变项

1.2命题公式及分类

▪命题变项与合式公式

▪命题常项：

简单命题

▪命题变项：

真值不确定的陈述句

▪定义合式公式（命题公式,公式）递归定义如下：

▪

（1）单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1

▪是合式公式

▪

（2）若A是合式公式，则（⌝A）也是合式公式

▪（3）若A,B是合式公式，则（A∧B）,（A∨B）,（A→B）,（A↔B）也是合式公式

▪（4）只有有限次地应用

（1）~（3）形成的符号串才是合式公式

▪说明:

元语言与对象语言,外层括号可以省去

合式公式的层次

定义

（1）若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式.

（2）称A是n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一：

（a）A=⌝B,B是n层公式；

（b）A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式，且

n=max（i,j）；

（c）A=B∨C,其中B,C的层次及n同（b）；

（d）A=B→C,其中B,C的层次及n同（b）；

（e）A=B↔C,其中B,C的层次及n同（b）.

例如公式

p0层

⌝p1层

⌝p→q2层

⌝（p→q）↔r3层

（（⌝p∧q）→r）↔（⌝r∨s）4层

▪公式的赋值

▪定义给公式A中的命题变项p1,p2,…,pn指定

▪一组真值称为对A的一个赋值或解释

▪成真赋值:

使公式为真的赋值

▪成假赋值:

使公式为假的赋值

▪说明：

▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.

▪A中仅出现p1,p2,…,pn，给A赋值α1α2…αn是

▪指p1=α1,p2=α2,…,pn=αn

▪A中仅出现p,q,r,…,给A赋值α1α2α3…是指

▪p=α1,q=α2,r=α3…

▪含n个变项的公式有2n个赋值.

▪真值表

真值表:

公式A在所有赋值下的取值情况列成的表

例给出公式的真值表

A=（q→p）∧q→p的真值表

例B=⌝（⌝p∨q）∧q的真值表

例C=（p∨q）→⌝r的真值表

命题的分类

重言式

矛盾式

可满足式

定义设A为一个命题公式

（1）若A无成假赋值，则称A为重言式（也称永真式）

（2）若A无成真赋值，则称A为矛盾式（也称永假式）

（3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式

注意：

重言式是可满足式，但反之不真.

上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式

A=（q→p）∧q→p，B=⌝（⌝p∨q）∧q，C=（p∨q）→⌝r

1.3等值演算

⏹等值式

定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，

记作A⇔B，并称A⇔B是等值式

说明：

定义中，A,B,⇔均为元语言符号,A或B中

可能有哑元出现.

例如，在（p→q）⇔（（⌝p∨q）∨（⌝r∧r））中，r为左边

公式的哑元.

用真值表可验证两个公式是否等值

请验证：

p→（q→r）⇔（p∧q）→r

p→（q→r）（p→q）→r

⏹基本等值式

双重否定律:

⌝⌝A⇔A

等幂律：

A∨A⇔A,A∧A⇔A

交换律:

A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A

结合律:

（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）

（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）

分配律:

A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C）

A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）

德·摩根律:

⌝（A∨B）⇔⌝A∧⌝B

⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B

吸收律:

A∨（A∧B）⇔A,A∧（A∨B）⇔A

零律:

A∨1⇔1,A∧0⇔0

同一律:

A∨0⇔A,A∧1⇔A

排中律:

A∨⌝A⇔1

矛盾律:

A∧⌝A⇔0

⏹等值演算:

由已知的等值式推演出新的等值式的过程

置换规则：

若A⇔B,则Φ（B）⇔Φ（A）

等值演算的基础：

（1）等值关系的性质：

自反、对称、传递

（2）基本的等值式

（3）置换规则

应用举例——证明两个公式等值

例1证明p→（q→r）⇔（p∧q）→r

证p→（q→r）

⇔⌝p∨（⌝q∨r）（蕴涵等值式，置换规则）

⇔（⌝p∨⌝q）∨r（结合律，置换规则）

⇔⌝（p∧q）∨r（德⋅摩根律，置换规则）

⇔（p∧q）→r（蕴涵等值式，置换规则）

说明:

也可以从右边开始演算（请做一遍）

因为每一步都用置换规则，故可不写出

熟练后，基本等值式也可以不写出

应用举例——证明两个公式不等值

例2证明:

p→（q→r）（p→q）→r

用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两

个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成

真,另一个成假.

方法一真值表法（自己证）

方法二观察赋值法.容易看出000,010等是左边的

的成真赋值，是右边的成假赋值.

方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.

应用举例——判断公式类型

例3用等值演算法判断下列公式的类型

（1）q∧⌝（p→q）

解q∧⌝（p→q）

⇔q∧⌝（⌝p∨q）（蕴涵等值式）

⇔q∧（p∧⌝q）（德⋅摩根律）

⇔p∧（q∧⌝q）（交换律，结合律）

⇔p∧0（矛盾律）

⇔0（零律）

由最后一步可知，该式为矛盾式.

（2）（p→q）↔（⌝q→⌝p）

解（p→q）↔（⌝q→⌝p）

⇔（⌝p∨q）↔（q∨⌝p）（蕴涵等值式）

⇔（⌝p∨q）↔（⌝p∨q）（交换律）

⇔1

由最后一步可知，该式为重言式.

问：

最后一步为什么等值于1

（3）（（p∧q）∨（p∧⌝q））∧r）

解（（p∧q）∨（p∧⌝q））∧r）

⇔（p∧（q∨⌝q））∧r（分配律）

⇔p∧1∧r（排中律）

⇔p∧r（同一律）

这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可

满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.

总结：

A为矛盾式当且仅当A⇔0

A为重言式当且仅当A⇔1

说明：

演算步骤不惟一,应尽量使演算短些

1.5对偶与范式

对偶式与对偶原理

定义在仅含有联结词⌝,∧,∨的命题公式A中，将

∨换成∧,∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成

1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.

从定义不难看出，（A*）*还原成A

定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,pn是出现在A和

A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，

则

（1）⌝A（p1,p2,…,pn）⇔A*（⌝p1,⌝p2,…,⌝pn）

（2）A（⌝p1,⌝p2,…,⌝pn）⇔⌝A*（p1,p2,…,pn）

定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，

若A⇔B，则A*⇔B*.

析取范式与合取范式

文字:

命题变项及其否定的总称

简单析取式:

有限个文字构成的析取式

如p,⌝q,p∨⌝q,p∨q∨r,…

简单合取式:

有限个文字构成的合取式

如p,⌝q,p∧⌝q,p∧q∧r,…

析取范式:

由有限个简单合取式组成的析取式

A1∨A2∨⋯∨Ar,其中A1,A2,⋯,Ar是简单合取式

合取范式:

由有限个简单析取式组成的合取式

A1∧A2∧⋯∧Ar,其中A1,A2,⋯,Ar是简单析取式

范式:

析取范式与合取范式的总称 

公式A的析取范式:

与A等值的析取范式

公式A的合取范式:

与A等值的合取范式

说明：

单个文字既是简单析取式，又是简单合取式

p∧⌝q∧r,⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式

（为什么）

命题公式的范式

定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式

与合取范式.

求公式A的范式的步骤：

（1）消去A中的→,↔（若存在）

（2）否定联结词⌝的内移或消去

（3）使用分配律

∧对∨分配（析取范式）

∨对∧分配（合取范式）

公式的范式存在，但不惟一

求公式的范式举例

例求下列公式的析取范式与合取范式

（1）A=（p→⌝q）∨⌝r

解（p→⌝q）∨⌝r

⇔（⌝p∨⌝q）∨⌝r（消去→）

⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）

这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析

取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式

组成的合取式）

（2）B=（p→⌝q）→r

解（p→⌝q）→r

⇔（⌝p∨⌝q）→r（消去第一个→）

⇔⌝（⌝p∨⌝q）∨r（消去第二个→）

⇔（p∧q）∨r（否定号内移——德⋅摩根律）

这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）

继续：

（p∧q）∨r

⇔（p∨r）∧（q∨r）（∨对∧分配律）

这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）

极小项与极大项

定义在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，

若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一

次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样

的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.

说明：

n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项

2n个极小项（极大项）均互不等值

用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示.用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示,mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称.

mi与Mi的关系:

⌝mi⇔Mi,⌝Mi⇔mi

主析取范式与主合取范式

主析取范式:

由极小项构成的析取范式

主合取范式:

由极大项构成的合取范式

例如，n=3,命题变项为p,q,r时，

（⌝p∧⌝q∧r）∨（⌝p∧q∧r）⇔m1∨m3是主析取范式

（p∨q∨⌝r）∧（⌝p∨q∨⌝r）⇔M1∧M5是主合取范式

A的主析取范式:

与A等值的主析取范式

A的主合取范式:

与A等值的主合取范式.

定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范

式和主合取范式,并且是惟一的.

用等值演算法求公式的主范式的步骤：

（1）先求析取范式（合取范式）

（2）将不是极小项（极大项）的简单合取式（简

单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析

取（极大项的合取），需要利用同一律（零

律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.

（3）极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并

按角标从小到大顺序排序.

求公式的主范式

例求公式A=（p→⌝q）→r的主析取范式与主合

取范式.

（1）求主析取范式

（p→⌝q）→r

⇔（p∧q）∨r,（析取范式）①

（p∧q）

⇔（p∧q）∧（⌝r∨r）

⇔（p∧q∧⌝r）∨（p∧q∧r）

⇔m6∨m7,

r

⇔（⌝p∨p）∧（⌝q∨q）∧r

⇔（⌝p∧⌝q∧r）∨（⌝p∧q∧r）∨（p∧⌝q∧r）∨（p∧q∧r）

⇔m1∨m3∨m5∨m7③

②,③代入①并排序，得

（p→⌝q）→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）

（2）求A的主合取范式

（p→⌝q）→r

⇔（p∨r）∧（q∨r）,（合取范式）①

p∨r

⇔p∨（q∧⌝q）∨r

⇔（p∨q∨r）∧（p∨⌝q∨r）

⇔M0∧M2,②

q∨r

⇔（p∧⌝p）∨q∨r

⇔（p∨q∨r）∧（⌝p∨q∨r）

⇔M0∧M4③

②,③代入①并排序，得

（p→⌝q）→r⇔M0∧M2∧M4（主合取范式）

主范式的用途——与真值表相同

（1）求公式的成真赋值和成假赋值

例如（p→⌝q）→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，

其成真赋值为001,011,101,110,111，

其余的赋值000,010,100为成假赋值.

类似地，由主合取范式也可立即求出成

假赋值和成真赋值.

（2）判断公式的类型

设A含n个命题变项，则

A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项

⇔A的主合取范式为1.

A为矛盾式⇔A的主析取范式为0

⇔A的主合取范式含2n个极大项

A为非重言式的可满足式

⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项

⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项

例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕

业的大学生中选派一些人出国学习.选派必须

满足以下条件：

（1）若赵去，钱也去；

（2）李、周两人中至少有一人去；

（3）钱、孙两人中有一人去且仅去一人；

（4）孙、李两人同去或同不去；

（5）若周去，则赵、钱也去.

试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出

国？

解此类问题的步骤为：

①将简单命题符号化

②写出各复合命题

③写出由②中复合命题组成的合取式

④求③中所得公式的主析取范式

解①设p：

派赵去，q：

派钱去，r：

派孙去，

s：

派李去，u：

派周去.

②

（1）（p→q）

（2）（s∨u）

（3）（（q∧⌝r）∨（⌝q∧r））

（4）（（r∧s）∨（⌝r∧⌝s））

（5）（u→（p∧q））

③

（1）~（5）构成的合取式为

A=（p→q）∧（s∨u）∧（（q∧⌝r）∨（⌝q∧r））∧

（（r∧s）∨（⌝r∧⌝s））∧（u→（p∧q））

④A⇔（⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u）∨（p∧q∧⌝r∧⌝s∧u）

结论：

由④可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、

周去（孙、李不去）.

A的演算过程如下:

A⇔（⌝p∨q）∧（（q∧⌝r）∨（⌝q∧r））∧（s∨u）∧（⌝u∨（p∧q））∧

（（r∧s）∨（⌝r∧⌝s））（交换律）

B1=（⌝p∨q）∧（（q∧⌝r）∨（⌝q∧r））

⇔（（⌝p∧q∧⌝r）∨（⌝p∧⌝q∧r）∨（q∧⌝r））（分配律）

B2=（s∨u）∧（⌝u∨（p∧q））

⇔（（s∧⌝u）∨（p∧q∧s）∨（p∧q∧u））（分配律）

B1∧B2⇔（⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u）∨（⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u）

∨（q∧⌝r∧s∧⌝u）∨（p∧q∧⌝r∧s）∨（p∧q∧⌝r∧u）

再令B3=（（r∧s）∨（⌝r∧⌝s））

得A⇔B1∧B2∧B3

⇔（⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u）∨（p∧q∧⌝r∧⌝s∧u）

注意：

在以上演算中多次用矛盾律

要求：

自己演算一遍

1.6推理理论

推理的形式结构

推理的形式结构—问题的引入

推理举例:

（1）正项级数收敛当且仅当部分和有上界.

（2）若

推理:

从前提出发推出结论的思维过程

上面

（1）是正确的推理，而

（2）是错误的推理.

证明:

描述推理正确的过程.

判断推理是否正确的方法

•真值表法

•等值演算法判断推理是否正确

•主析取范式法

•构造证明法证明推理正确

说明：

当命题变项比较少时，用前3个方法比较方

便,此时采用形式结构“

”.而在构

造证明时，采用“前提:

结论:

B”.

推理定律与推理规则

推理定律——重言蕴涵式

构造证明——直接证明法

例构造下面推理的证明：

若明天是星期一或星期三，我就有课.若有课，今天必备课.我今天下午没备课.所以，

明天不是星期一和星期三.

解 设p：

明天是星期一，q：

明天是星期三，

r：

我有课，s：

我备课

推理的形式结构为

例构造下面推理的证明:

2是素数或合数.若2是素数，则是无理数.

若是无理数，则4不是素数.所以，如果4是

素数，则2是合数.

用附加前提证明法构造证明

解设p：

2是素数，q：

2是合数，

r：

是无理数，s：

4是素数

推理的形式结构

前提：

p∨q,p→r,r→⌝s

结论：

s→q

证明

①s附加前提引入

②p→r前提引入

③r→⌝s前提引入

④p→⌝s②③假言三段论

⑤⌝p①④拒取式

⑥p∨q前提引入

⑦q⑤⑥析取三段论

请用直接证明法证明之