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1、离散数学第一章命题逻辑知识点总结离散数学第一章命题逻辑知识点总结 数理逻辑部分第1章 命题逻辑1.1 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化用小写英文字母 p, q, r, ,pi,qi,ri (i1）表示简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假例如，令 p： 是有理数，则 p 的真值为

2、 0 q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1 联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“ ” 定义 设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p 为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“” 定义 设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作pq. 称作合取联结词，并规定 pq为真当且仅当p与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例 将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与

3、王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学.解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) pq (2) pq (3) pq. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) rs. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明: (1)(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题. 3.析取式与析取联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作pq. 称作析取联结词，并规定pq为假当且仅当p与q同时为假.例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3)

4、4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年. 解 令 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数, 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: pr , pq, rs, 它们的真值分别为 1, 1, 0. 而 (4), (5) 为排斥或. 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨， 则 (4) 符号化为 (tu) (tu). 令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (vw)(vw), 又可符号化为 vw , 为什么 4.蕴涵式与蕴涵联结词“ ” 定义 设 p

5、,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件 5.等价式与等价联结词“ ” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词.并规定pq为真当且仅当p与q同时

6、为真或同时为假.说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件 (2) pq为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ), , , , 同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合, , , , ， 联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算. 注意: 本书中使用的 括号全为园括号. 命题常项 命题变项 1.2 命题公式及分类 命题变项与合式公式命题常项：简单命题 命题变项：真值不确定的陈述句 定义 合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1

7、) 单个命题常项或变项 p,q,r,pi ,qi ,ri ,0,1 是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去 合式公式的层次定义 (1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n0)层公式是指下面情况之一： (a) A=B, B是n层公式； (b) A=BC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且 n=max(i, j)； (c) A=BC, 其中B,C的层次及

8、n同(b)； (d) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b)； (e) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b). 例如 公式 p 0层 p 1层 pq 2层 (pq)r 3层 (pq) r)(rs) 4层公式的赋值定义 给公式A中的命题变项 p1, p2, , pn指定一组真值称为对A的一个赋值或解释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值: 使公式为假的赋值 说明： 赋值=12n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, , pn，给A赋值12n是指 p1=1, p2=2, , pn=n A中仅出现 p, q, r, , 给A赋值123是指p=1,q=2 , r=3 含n

9、个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表 例 给出公式的真值表 A= (qp) qp 的真值表例 B = (pq) q 的真值表例 C= (pq) r 的真值表命题的分类 重言式 矛盾式 可满足式定义 设A为一个命题公式 (1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式) (2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式) (3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式 注意：重言式是可满足式，但反之不真. 上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式 A= (qp)qp，B =(pq)q，C= (pq)r1.3 等值演算 等值式定义 若等价式AB是重言式，则

10、称A与B等值，记作AB，并称AB是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (pq) (pq) (rr)中，r为左边公式的哑元. 用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(qr) (pq) r p(qr) (pq) r 基本等值式双重否定律 : AA 等幂律： AAA, AAA 交换律: ABBA, ABBA 结合律: (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)分配律: A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)德摩根律: (AB)AB (AB)AB 吸收律: A(AB)A, A(AB)A 零律: A11, A00 同一律: A0A, A1A

11、 排中律: AA1矛盾律: AA0等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则：若AB, 则(B)(A) 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 应用举例证明两个公式等值例1 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq) r （蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍） 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 应用举例证明两个公式不等值例2 证明: p(qr)

12、 (pq) r 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假. 方法一 真值表法（自己证） 方法二 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值. 方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 由最后一步可知，该式为矛盾式. (2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值

13、式） (pq)(pq) （交换律） 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1 (3) (pq)(pq)r) 解 (pq)(pq)r) (p(qq)r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0 A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理 定义 在仅含有联结词, ,的命题公式A中，将换成, 换成，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*. 从定义不难看出，

14、(A*)* 还原成A 定理 设A和A*互为对偶式，p1,p2,pn是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,pn) A* ( p1, p2, pn) (2) A( p1, p2, pn) A* (p1,p2,pn) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式 文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,Ar是简

15、单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 pqr, pqr既是析取范式，又是合取范式(为什么) 命题公式的范式定理 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式. 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 否定联结词的内移或消去 (3) 使用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式） 公式的范式存在，但不惟一 求公式的范式举例例 求下列公式的析取范

16、式与合取范式 (1) A=(pq)r 解 (pq)r (pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式） (2) B=(pq)r 解 (pq)r (pq)r （消去第一个） (pq)r （消去第二个） (pq)r （否定号内移德摩根律） 这一步已为析取范式（两个简单合取式构成） 继续： (pq)r (pr)(qr) （对分配律） 这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成） 极小项与极大项定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1

17、in）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi 主析取范式与主合取范式 主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr)

18、M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式 A的主合取范式: 与A等值的主合取范式. 定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤： (1) 先求析取范式（合取范式） (2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简 单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析 取（极大项的合取），需要利用同一律（零 律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. (3) 极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并按角标从小到大顺序排序. 求公式的主范式例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合 取范式. (1) 求主析取范式 (p

19、q)r (pq)r , （析取范式） (pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 , r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 , 代入并排序，得 (pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范式） (2) 求A的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) , （合取范式） pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2, qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 , 代入并排序，得 (pq)r M0M2M4 （主合取范式） 主范式的用途与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7，

20、 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值. (2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式A的主析取范式含2n个极小项 A的主合取范式为1.A为矛盾式 A的主析取范式为0 A的主合取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项 例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件： (1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有

21、一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？ 解此类问题的步骤为： 将简单命题符号化 写出各复合命题 写出由中复合命题组成的合取式 求中所得公式的主析取范式 解 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， s：派李去，u：派周去. (1) (pq) (2) (su) (3) (qr)(qr) (4) (rs)(rs) (5) (u(pq) (1) (5)构成的合取式为 A=(pq)(su)(qr)(qr) (rs)(rs)(u(pq) A (pqrsu)(pqrsu)结论：由可知，A的成

22、真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）. A的演算过程如下: A (pq)(qr)(qr)(su)(u(pq) (rs)(rs) （交换律)B1= (pq)(qr)(qr) (pqr)(pqr)(qr) （分配律）B2= (su)(u(pq) (su)(pqs)(pqu) （分配律）B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)再令 B3 = (rs)(rs)得 A B1B2B3 (pqrsu)(pqrsu)注意：在以上演算中多次用矛盾律 要求：自己演算一遍 1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构问题的

23、引入 推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程. 判断推理是否正确的方法真值表法等值演算法 判断推理是否正确主析取范式法构造证明法 证明推理正确 说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”. 推理定律与推理规则推理定律重言蕴涵式 构造证明直接证明法例 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三. 解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课推理的形式结构为 例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq 证明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段论 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论请用直接证明法证明之