东北大学期末考核《离散数学X》期末考试备战高分题集.docx
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东北大学期末考核《离散数学X》期末考试备战高分题集
离散数学X期末考试备战题集
一、有两个小题
1．分别说明联结词、∧、∨、→和在自然语言中表示什么含义。
解：
“”表示“…不成立”，“不…”。
“∧”表示“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”等。
“∨”表示“或者”，是可兼取的或。
“”表示如果…，则…；只要…，就…；只有…,才…；仅当…。
“”表示“当且仅当”、“充分且必要”。
2．分别列出PQ、PQ、PQ、PQ的真值表（填下表）。
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
解：
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
二、1.指出下面的命题公式中哪些是永真式（只写题号即可）。
（1）.（P∧（P→Q））→Q
（2）.P→（P∨Q）
（3）.（P∧Q）→Q（4）.（P∨Q）→P
解:
（1）,
（2）,（3）为永真式。
2.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明（方法不限）。
证明（3）.（P∧Q）→Q
设前件（P∧Q）为真，则得Q为真。
所以（P∧Q）→Q是永真式。
3.上面哪个不是永真式（找出一个即可），请说明它为什么不是永真式。
解：
（4）.（P∨Q）→P不是永真式。
因为如果前件P∨Q为真，后件P不一定为真。
所以（P∨Q）→P不是永真式。
三、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
要求按照推理的格式书写推理过程。
x（B（x）C（x））,xA（x）,x（A（x）C（x））xB（x）
解：
⑴xA（x）P
⑵A（a）ES⑴
⑶x（A（x）C（x））P
⑷A（a）C（a）US⑶
⑸C（a）T⑵⑷I
⑹x（B（x）C（x））P
⑺B（a）C（a）US⑹
⑻B（a）T⑸⑺I
⑼xB（（x）EG⑻
四、令全集E={1,2},A={1},P（A）表示集合A的幂集。
（注意：
要求有计算过程，不能直接写出计算结果！
）
1.指出P（E）和P（A）各有多少个元素。
即求|P（E）|和|P（A）|。
解：
因为P（E）＝{Φ,{1},{2},{1,2}}所以P（E）有4个元素。
即|P（E）|＝4。
P（A）＝{Φ,{1}}所以P（A）有2个元素。
即|P（A）|＝2。
2.计算P（E）－P（A）
解：
P（E）－P（A）＝{Φ,{1},{2},{1,2}－{Φ,{1}}
＝{{2},{1,2}}
3．计算～AE
解：
因为～A＝E－A={1,2}-{1}={2}
～AE＝{2}{1,2}＝（{2}{1,2}）－（{2}{1,2}）＝{1,2}－{2}＝{1}
五、给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：
R=A×A（完全关系（全域关系））
S={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
T={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}
M={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
1.写出关系S的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。
解：
关系S的矩阵如下：
下面是几个关系的有向图：
2.判断各个关系性质。
用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
R
S
T
M
解：
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
R
√
×
√
×
√
S
×
√
×
√
×
T
√
×
√
×
√
M
√
×
×
√
√
3.上述四个关系中，哪些是等价关系？
哪些是偏序关系？
对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。
解：
T和R是等价关系。
M是偏序关系。
A/T={{1,2},{3}}A/R={{1,2,3}}
4.求复合关系SoT
解：
SoT＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}
六、写出命题公式（Q→P）→Q的主合取范式。
（要求有解题过程）
解：
方法1：
等价变换
（QP）Q
（Q∨P）∨Q（去）
（Q∧P）∨Q（摩根定律）
Q（吸收律）
（P∧P）∨Q（互补、同一律）
（P∨Q）∧（P∨Q）（分配律）
方法2：
真值表法
先列（QP）Q的真值表如下：
P
Q
P
QP
（QP）Q
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
从真值表看出，该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2，即（P∨Q）和
（P∨Q）。
于是此命题公式的主合取范式为：
（QP）Q（P∨Q）∧（P∨Q）
七、用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
要求按照推理的格式书写推理过程。
xC（x）,x（A（x）B（x））,x（B（x）C（x））xA（x）
解：
⑴x（A（x）B（x））P
⑵A（a）B（a）ES⑴
⑶xC（x）P
⑷C（a）US⑶
⑸x（B（x）→C（x））P
⑹B（a）→C（a）US⑸
⑺B（a）T⑷⑹I
⑻A（a）T⑵⑺I
⑼xA（x））EG⑻
八、令集合A={1,{1}},B={1}，P（A）表示A的幂集。
（注意：
要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！
）
（1）A×P（B）
（2）A⊕B
（3）P（A）－P（B）
解：
A={1,{1}},B={1}，
⑴A×P（B）＝{1,{1}}×{Φ,{1}}
＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>}
⑵A⊕B＝（AB）－（AB）
=（{1,{1}}{1}）－（{1,{1}}{1}）＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。
⑶P（A）－P（B）＝{Φ,{1},{{1}},{1,{1}}－{Φ,{1}}
＝{{{1}},{1,{1}}}
九、R是实数集合，给出R上的运算：
+、－、×、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。
1.判断各个运算性质。
用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：
+
－
×
max
min
|x-y|
有交换性
有结合性
有幂等性
有幺元
有零元
2.分别指出R对上面哪些运算是半群、独异点和群。
3.如果有群，请说明它为什么是群。
解:
1.
+
－
×
max
min
|x-y|
有交换性
√
×
√
√
√
√
有结合性
√
×
√
√
√
×
有幂等性
×
×
×
√
√
×
有幺元
√
×
√
×
×
×
有零元
×
×
√
×
×
×
2.构成半群的有：
，，,.
构成独异点的有：
，。
构成群的有：
。
3.是群的理由：
（1）＋在实数集合内满足封闭性。
即
任何a,b∈R,有ａ＋ｂ∈R。
（2）＋是可结合的。
（3）0是＋运算的幺元。
任何a∈R,有0+a=a=a+0.
（4）任何实数a,都有逆元－a∈R,使得（-a）+a=0=a+（-a）.
所以是群。
十、有三个小题
1.指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
解：
a、h、i同构；b、d同构；c、g同构；e、f同构。
2.完全二叉树中，设边数为e，叶结点数为t，求证e=2（t-1）。
解：
由完全m叉树公式（m－1）i=t－1这里m＝2，得（2－1）i=t－1,
∴i=t－1,
∴T中总的结点数v为:
v=i＋t=（t－1）＋t=2t－1，
于是T的边数e：
e=v－1=2t－1－1=2t－2=2（t－1）
3．根据给定一组权值:
1,6,2,5,3,4,1,6,2画出一棵最优完全二叉树。
要求有画图的过程。
解权值排序并画图：
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